(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第三章第十三讲第3章圆锥曲线的方程章节验收测评卷(学生版+解析)

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7．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ）A． B．2 C． D．38．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知双曲线过点且渐近线为，则（    ）A．的方程为B．的离心率为C．直线经过的一个焦点D．的两条渐近线的夹角的正切值为10．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为811．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（    ）A．B．C．D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·四川成都·三模）抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，若，则直线的倾斜角等于 .13．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 .14．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为．(1)求直线的方程；(2)求两点间距离．16．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.17．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；(2)若，求直线的方程；(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.18．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．(1)求椭圆的离心率；(2)设和的面积分别为，求．第13讲 第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【详解】抛物线C：的标准方程为，所以其准线方程为.故选：C2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将题目转化为，再解不等式.【详解】命题等价于，解得.故选：C.3．（2024·青海海南·二模）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，若A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，则（    ）A．14 B．12 C．16 D．18【答案】A【分析】将代入，得，将代入，得，利用梯形的面积公式得，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】将代入，得，将代入，得，所以，因为A，B，C，D四点构成的梯形的面积为18，所以，解得，故由抛物线定义知.故选：A4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的渐近线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，根据之间的关系可得，即可得结果.【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，则，所以双曲线的渐近线的方程为.故选：D.5．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用抛物线的定义表示出点到轴距离，结合最值求得参数.【详解】因为，所以， 设，，是该抛物线的焦点，连接，则，，所以点到轴的距离， 当且仅当直线过焦点时，取得最小值，故，所以．故选：B6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.【详解】由，得，因为是焦点在轴上的椭圆，所以，直线过定点，因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得，综上所述，.故选：D.7．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线，则其渐近线方程为，且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，则直线方程为，联立直线方程，解得，所以，过点作轴的垂线，交轴于点，因为，则，则，且，即，化简可得，则.故选：C8．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，设，，在双曲线上可得，联立渐近线与抛物线方程可得进而可得，代入可得，可求的值.【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，由过的焦点，可设，，又在双曲线上，可得，由，解得由过的焦点，可得，即有，代入，可得，解得，则.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知双曲线过点且渐近线为，则（    ）A．的方程为B．的离心率为C．直线经过的一个焦点D．的两条渐近线的夹角的正切值为【答案】ACD【分析】用待定系数法求出双曲线的方程即可判断ABC；利用正切函数二倍角公式可判断D。【详解】若的焦点在轴，，又，则，若的焦点在轴，，又，则，舍；故的方程为，故A正确；所以的离心率为，故B错误；直线过的右焦点，故C正确；的两条渐近线夹角的正切值为，故D正确。故选：ACD10．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8【答案】ABD【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解.【详解】由于，所以,故，因此，故，所以椭圆，对于A，焦距为，故A正确，对于B，短轴长为，B正确，对于C，离心率为，C错误，对于D，的周长为，D正确，故选：ABD11．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（    ）A．B．C．D．若，则 【答案】BCD【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.【详解】根据题意，设，对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，即，所以A错误；对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，因为，所以，由可得，所以，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·四川成都·三模）抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点（在第一象限），分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，若，则直线的倾斜角等于 .【答案】/【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示，，，求出直线的斜率，即可求解.【详解】抛物线的准线为：，设，，则，，又在第一象限，所以，，所以，由抛物线定义可得，，所以，又，所以，所以，故直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故答案为：.13．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可.【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示，设，则，由，可得，解得.又，可得，即，⑤将①②代入⑤可得，⑥联立①⑥，即，解得，将点带入椭圆方程可得，整理得，由可得，解得，又，所以，故实数的取值范围是.故答案为：.14．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ．【答案】【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可．【详解】不妨设，则，所以，所以，恒成立，即恒成立，当时，恒成立；当时，不等式等价于恒成立，设，则恒成立，又因为函数在上单调递减，所以，所以，即，又因为，所以的取值范围为，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为．(1)求直线的方程；(2)求两点间距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设直线方程为，然后联立方程，结合韦达定理即可得到，从而得到直线方程；（2）根据题意，由韦达定理可得，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程则，经检验符合题意，则直线的方程为．（2）由（1）可知联立后的方程为，．16．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再结合已知列式求解即得.（2）求出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出三角形面积得解.【详解】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为，于是，解得：，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，直线的方程为，设，，由消去x得：，则，所以的面积.17．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；(2)若，求直线的方程；(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解；（2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可；（3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解.【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为，因此焦点到渐近线的距离为.（2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为，由，得，由，得，其中，恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直线的方程为.（3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，所以，故，故，所以，，故椭圆方程为：.（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设， 由可得，故且而，故，因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19．（2024·重庆·模拟预测）已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．(1)求椭圆的离心率；(2)设和的面积分别为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线的焦点为，知，由结合抛物线的定义表示出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程化简求解离心率即可，（2）设出椭圆的方程，设直线为代入椭圆方程化简，转化求解的横坐标，然后求解面积之比即可.【详解】（1）由抛物线的焦点为，知，所以抛物线方程为，准线方程为，因为，所以，得，所以，所以，所以点的坐标为，点在椭圆上，所以，，所以，，化简整理得，所以，，解得（舍去），或，所以；（2）由（1）知，则，所以椭圆方程为，因为的坐标为，，所以，所以直线为，由，得，化简整理得，所以，得，或，所以，，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和抛物线的综合问题，考查椭圆离心率的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积关系，第（2）问解题的关键是将转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.