(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第09讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(8类热点题型讲练)(学生版+解析)

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第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）题型01求椭圆的弦长 【典例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知椭圆C：（）经过点，．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．【典例2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆．(1)求实数的取值范围；(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．【变式1】（2024·广东·二模）已知是椭圆的左顶点，且经过点.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.【变式2】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点.(1)求直线的方程(2)求弦的长度题型02求椭圆的弦长的最值（范围） 【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．【典例2】（2024·贵州毕节·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.(1)证明：；(2)求的最大值.【变式1】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．【变式2】（2023·新疆阿勒泰·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆，、分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．【典例2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，(1)求的方程；(2)若l过点，求.【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.(1)求的方程，并说明是什么曲线：(2)若直线和曲线相交于两点，求.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.【变式2】（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长（2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长题型05根据双曲线的弦长求参数 【典例1】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.(1)求E的方程；(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程【典例3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.(1)求的离心率；(2)若直线与交于两点，且，求.【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点．(1)求曲线E的方程；(2)求实数k的取值范围；(3)若，求直线AB的方程．【变式2】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.(1)求的方程；(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.【变式3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）题型01求椭圆的弦长 【典例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知椭圆C：（）经过点，．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用椭圆经过的点，列出方程组求出即得.（2）求出直线的方程，利用弦长公式计算即得.【详解】（1）由椭圆C：经过点，，得，而，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，而直线的斜率为，因此直线的方程为，由消去y得，显然，设，则，，所以.【典例2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆．(1)求实数的取值范围；(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用椭圆方程的标准方程特征求的取值范围；（2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求.【详解】（1）因为表示椭圆，所以，解得且，故实数的取值范围是.（2）因为直线过椭圆的右焦点，所以，所以，设椭圆右焦点为，将点代入得，所以，所以，所以椭圆方程为，由得，，设，，则，，所以.故弦的长为.【变式1】（2024·广东·二模）已知是椭圆的左顶点，且经过点.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件列式计算得解；（2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解.【详解】（1）依题意可得，解得，所以的方程为.（2）联立，消去得，则，.因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立.由，解得.所以，所以.  【变式2】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点.(1)求直线的方程所以.题型02求椭圆的弦长的最值（范围） 【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得；（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为；（2），故可设，，，联立，消去可得，，即，，，则，则当时，有最大值，且其最大值为.【典例2】（2024·贵州毕节·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.(1)证明：；因此，的最大值为.  【变式1】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）确定圆在圆内，设且对应圆半径为，根据题设及两点距离公式得到关于关系，代入距离公式整理即得轨迹方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式建立关系并求出最大值即得.【详解】（1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，即圆在圆内，设，半径为，显然以为圆心的圆与圆外切，与圆内切，则有，则，所以轨迹的方程为.（2）由（1）知，轨迹的方程为，设直线的方程为，由消去y并整理得，显然，解得，设，则，因此，当且仅当时取等号，所以长度的最大值为.【变式2】（2023·新疆阿勒泰·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.（2）设直线，设，联立直线与椭圆方程，得，则恒成立，所以由韦达定理可得，可得的中点的纵坐标的中点为，线段的垂直平分线方程为，，由已知条件得：，解得，，，，所以.题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆，、分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用椭圆的定义及通经即可求解；（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理及弦长公式，结合点到直线的距离公式和圆的弦长、半径及弦心距三者的关系，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由椭圆的性质可知，，      解得，                              所以椭圆方程为.（2）由题意知直线l的斜率不为0，由（1）知，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程整理得：，，             所以，    圆到的距离，              被圆截得的弦长为得：，解得，所以,所以.【典例2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．  当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，，．所以．联立，得，，则，因为，所以，解得．所以直线的方程为或．【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.(1)求椭圆方程.(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.【答案】(1)(2)联立得，设，，，，则，得，故，，，，由可得解得，得．即存在符合条件的直线．【变式2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．(1)求椭圆的方程；(2)求动点的轨迹的方程；(3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于､两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)即，解得．故直线的方程为或  题型04求双曲线的弦长 【典例1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，(1)求的方程；(2)若l过点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由双曲线的性质得到右焦点，由点斜式写出直线方程，由点同当时，，故，当时，，故，所以，方法二：因为l过点且斜率为1，故直线，由得，即，设，则，所以.【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.(1)求的方程，并说明是什么曲线：(2)若直线和曲线相交于两点，求.  【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率、、焦点坐标求出可得答案；（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理利用可得答案.【详解】（1）由题可得，解得，所以双曲线的方程为；（2）因为双曲线的右焦点的坐标为，所以经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，联立，得，设，，则，，所以.  【变式2】（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长（2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长【答案】（1）（2）【分析】（1）直接由抛物线的定义求解即可.（2）根据弦长公式求解即可.【详解】（1）  因为椭圆的右焦点坐标为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，即，所以抛物线方程为，设抛物线的焦点为，准线为，则，过作，垂足为，过作，垂足为，由抛物线的定义知：.（2）  由双曲线的方程得，，设直线的方程为，将其代入双曲线方程消去y得，，得，.题型05根据双曲线的弦长求参数 【典例1】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程；（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，设双曲线的方程（，），由已知得，，所以，.所以双曲线方程为.（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，联立方程组，得，当时，设，，.所以令，解得.经检验符合题意，所以.【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.(1)求E的方程；(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程【答案】(1)(2)或或.【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据可求出a的值，即可求得答案；（2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案.【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为，，，到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即，则，又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且，将代入中，得，故，故E的方程为.（2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入，得，即，不符合题意；    故直线l的斜率存在，设其方程为，联立，得，需满足，且，设，则，则，【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点．(1)求曲线E的方程；(2)求实数k的取值范围；(3)若，求直线AB的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的取值范围；（3）由，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可得结果.【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以，为焦点的双曲线的左支，且，由，所以，，所以曲线的方程为.故曲线的方程为：.（2）设，，由题意联立方程组，消去得，又因为直线与双曲线左支交于两点，有，解得 .故的取值范围为.（3）因为，整理化简得，解得或，因为，所以，直线的方程为.故直线的方程为：.【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解.【变式2】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.(1)求的方程；(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)当时，的方程为；当时，的方程为(2)或【分析】（1）由双曲线特点知，得或，分和分类讨论，结合双曲线关系式化简即可求解；（2）分直线斜率为0和不为零两种情况讨论，当斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程，写出关于的韦达定理，由弦长公式可求，进而得解.【详解】（1）根据已知条件表示双曲线，可知，解得或.由双曲线的焦距长为8可知，即.当时，有，则，此时双曲线的方程为；当时，双曲线的方程为，有，则，此时双曲线的方程为.综上所述，当时，的方程为；当时，的方程为；（2）由（1）可知，当时，双曲线的方程为，其中，.当直线的斜率为0时，直线为，代入得，则，不适合题意；当直线的斜率不为0时，设直线，联立，消去得.则，设，，则，.，解得或，则或.故直线的方程为或.【变式3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意可得，又因为且，解得，可得双曲线方程，进而可得的渐近线方程．（2）设直线的方程为：，，，联立直线与双曲线方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由两点之间距离公式得，解得，进而由可求出，即可求得离心率.【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，又∵且，解得，∴双曲线方程为，∴的渐近线方程为：；（2）设直线的方程为，且，，联立，可得，则，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故双曲线的离心率或.