(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第10讲拓展四：圆锥曲线的方程(面积问题)(6类热点题型讲练)(学生版+解析)

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第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）知识点一：三角形面积问题直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积.【典例2】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.【典例3】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.【变式1】（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足.(1)求椭圆的离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.【变式2】（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，左焦点为，过点的直线交椭圆于点（不与顶点重合），交轴于点，且满足，若，求直线的方程.题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.【典例2】（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.【变式1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．【变式2】（2024·辽宁丹东·二模）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；(2)求面积的最大值.【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆，直线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的右侧）．(1)若点是线段的中点，求点的坐标；(2)过作轴的垂线交椭圆于点，连，求面积的取值范围．题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．【典例2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.(1)求双曲线C的渐近线方程.(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.【典例3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.【变式1】（23-24高二上·四川自贡·期末）双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于两点，求（O为坐标原点）的面积．【变式3】（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，实轴长为.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程.题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在上.(1)求的方程；(2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值.【典例2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．【典例3】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，．(1)求双曲线的方程；(2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标；(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标．【变式1】（23-24高二上·湖北荆州·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值【变式2】（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．(1)若，求P的坐标；(2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．【典例3】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若过点的直线交于两点，且，求的面积．【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积.【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知过点的直线与抛物线交于两点，且当的斜率为1时，恰为的中点.(1)求抛物线的方程；(2)当经过抛物线的焦点时，求（为原点）的面积.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作直线交抛物线于两点，.(1)求直线的方程；(2)过点作抛物线的切线，切点分别为，，求的面积.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为.(1)求；(2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值.【典例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）过点作直线与抛物线 相交于两点，且点在的准线上．(1)求抛物线的方程；(2)若的中点为，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的取值范围．【典例3】（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；(2)若点为轴上一定点，且；（ⅰ）求出点坐标；（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．【变式1】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足.(1)求证：直线过定点；(2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值.【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．(1)求椭圆与抛物线的标准方程；(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线过定点；(2)当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值．第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）知识点一：三角形面积问题直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；（2）直线求出来，发现经过原点，得出B坐标，用两点间的距离公式求出长度，再运用点到直线距离公式求出的高，求出面积即可．【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为：（2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即，即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称，则，，由点到直线距离公式求得到的距离，则，故的面积为．【典例2】（2024·吉林通化·模拟预测）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线 与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积.【答案】(1)(2)或；【分析】（1）根据所给条件求出，，，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程，根据根与系数的关系及，列出方程求出值，由点到直线的距离公式以及弦长公式，计算得到三角形的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意可知 ，解得，所以椭圆的标准方程为 （2）设，，联立，消去，可得，，则或由韦达定理可得：，，所以因为，，即，所以，解得：或经检验知，所以的值为或，当时，直线方程为，原点到直线的距离，因为，所以所以当，由对称性可得，所以的面积为【典例3】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程；（2）首先设点的坐标，并表示直线的方程，并求点的坐标，结合图形表示四边形的面积，并化解求值.【详解】（1）由得，设，，则所以，∵，得，所以点的轨迹的方程为；（2）由题知，，设，则，所以，  令，解得，同理，，所以  又因为所以所以四边形的面积为2【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是以点的坐标为关键变量，并表示面积后，化解求值.【变式1】（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足.(1)求椭圆的离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由以及满足的关系即可列出方程组，得到关于的齐次方程，进而得解；（2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立可表示出点的坐标，结合可表示出斜率，联立的方程与直线得出的坐标，进而得的斜率，由此结合斜率的积为-1可以判定，从而可定出的外接圆的圆心、半径以及圆的方程，进一步可以证明是等边三角形，边长，由此即可得解.【详解】（1），解得，则.（2）由（1）知椭圆方程为，因为点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），所以直线斜率不为0，设直线方程为，联立，得，解得，代入，解得.又因为，联立，解得，所以，因此，所以，垂足为因此的外接圆是以为直径，中点为圆心的圆，半径为.因此圆的方程为，因此.所以是等边三角形，边长，因此，解得.因此椭圆的标准方程为.【变式2】（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得.【详解】（1）依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，，所以椭圆的方程为.（2）显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，由消去得：，则，解得，，又，由（1）知，，，由，得，即，解得，满足，所以直线的方程.【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，左焦点为，过点的直线交椭圆于点（不与顶点重合），交轴于点，且满足，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由离心率得到，再由椭圆过点，代入方程求出，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）设直线的方程为，，，则，由面积比得到，联立直线与椭圆方程，求出，即可求出，从而求出直线方程.【详解】（1）由题知即，即，所以，则椭圆方程为，又点在椭圆上，即，解得，所以，，则椭圆的标准方程；（2）依题意直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，，∴，因为，所以，即，则有，又，可得与同号，所以，联立椭圆和直线的方程：得，则，所以，即，所以，所以直线的方程为：或.  题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到，再由，得到，求得的值，即可求解；（2）先求得直线的方程，求得弦的长度，进而求得的面积表达式，换元法后利用函数单调性求得的面积最小值.【详解】（1）由椭圆上顶点为，可得，因为，，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，，则椭圆C在点的切线方程分别为，，又在两条切线上，则，，则直线的方程为，由整理得，则，则，又点P到直线的距离，则的面积为，令，，则，，则在上单调递减，则在上单调递增，所以，当且仅当即点P坐标为时等号成立，则面积的最小值为.【典例2】（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题可知椭圆的焦点在轴上，标准方程可设为，由椭圆的性质可得四边形面积为，由焦点坐标可知，联立方程即可求出、（2）由点斜式设出直线、的方程，联立直线与椭圆的方程，写出判别式和韦达定理，由弦长公式得到，同理可得，四边形面积为，而、，利用和进行转化，即可求出面积的最小值.【详解】（1）根据题意可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 椭圆四个顶点的连线围成的四边形是菱形，两条对角线互相垂直，而两条对角线长分别为，，由已知得，即，因为左焦点为，所以，可得，联立，解得，故椭圆的标准方程为.（2）作出椭圆的图象，如下图所示：根据题意可知直线、的斜率存在，且，所以两直线、的斜率存在且不为0，因此设直线AB、CD的斜率分别为、，又，设直线方程为，直线方程为，设、、、的坐标分别为、、、，设四边形面积为.联立，得，，因为、是该方程两根，由韦达定理可得，由弦长公式可得，则，同理可得，.因为、分别是线段、的中点，且，所以，，，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故四边形面积的最小值为.【变式1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由点B、F都在直线上，结合平方关系即可列出关于的方程组并求解即可；（2）设出直线方程，由直线与圆相切可得，联立直线与椭圆方程结合椭圆方程表示出弦长，进一步表示出面积，从而即可得解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，因为点B、F都在直线上，所以，，又，所以，，，所以椭圆的方程为：，（2）由题知的斜率存在且不为0．设．因为与圆相切，所以，得．联立与的方程，可得，设，，，则，．所以，将代入，可得．用替换，可得．四边形的面积．令，则，可得，再令，，则，可得，等号成立当且仅当，即，即，即四边形面积的最小值为．【变式2】（2024·辽宁丹东·二模）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.(1)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；(2)求面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设点，表示，，结合点在椭圆上即可证明；（2）令，，，设出直线的方程，代入椭圆方程，用表示，，所以，设函数，根据函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意可知，，设点，，，因为，得，所以，即；（2）不妨令，，，  由（1）可设直线的斜率，则直线：，将代入中，得，所以，所以，因为，用替换，得，，所以的面积，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以当时，有最小值，即，所以（当且仅当，即时等号成立），所以面积的最大值为.【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆，直线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的右侧）．(1)若点是线段的中点，求点的坐标；(2)过作轴的垂线交椭圆于点，连，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设点，表示出点，代入椭圆方程建立方程组，求解方程组即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理探求直线过定点，进而设出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的函数关系求解即得.【详解】（1）依题意，，设点，由点是线段的中点，得，由点都在椭圆上，得，解得， 所以点的坐标为.（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由点在点的右侧，得，由消去y得，由，得，，则有，显然，直线的方程为：，当时，，因此直线过定点，设直线的方程为，由消去x得，则，，于是，点到直线的距离，因此，当且仅当时取等号，而当时，直线与椭圆相切，不符合题意，所以面积的取值范围为.  题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（2024·甘肃酒泉·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程；（2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出.【详解】（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，所以，又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，又，所以，，则双曲线的方程为；（2）由（1）可得，，则直线的方程为，设，，，，由题意可知，，由的面积是面积的倍，可得，即，所以，由，消去，可得，解得，由，消去，可得，解得，由，可得，解得或（舍去），当时，，符合题意，所以直线的斜率为.【典例2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.(1)求双曲线C的渐近线方程.(2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为.(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可；（2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程；（3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为双曲线过点，，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为.（2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上，所以，联立，消去y并整理得，此时，即，所以，又，所以，解得，所以切线方程为，即；当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足；综上，直线l的方程为.（3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为，即，设，由（2）可知切线方程为，联立，解得，即，此时，同理可得，所以的面积.  【典例3】（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，结合即可求解，（2）根据相切得判别式为0可得，进而联立直线方程可得的坐标，即可判断四边形为矩形，利用面积公式化简求解即可.【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，,因为，所以，故双曲线的方程为（2）当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线，故由，从而，化简得又因为双曲线的渐近线方程为，故由，从而点.同理可得，，故MN中点横坐标为，所以为的中点，故四边形MONQ为矩形设四边形MONQ面积为，则【变式1】（23-24高二上·四川自贡·期末）双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）先求出直线的方程，求出原点到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，进而可得出答案.【详解】（1）由题意可得，，解得，所以双曲线C的方程为；（2），则直线的方程为，即，则原点到直线的距离，设，联立，消得，，则，所以，所以的面积.  【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于两点，求（O为坐标原点）的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意结合渐近线方程以及实轴长即可求出，进一步可得双曲线方程.（2）设出直线方程为，联立直线方程与双曲线方程，结合直线与双曲线相切即可得，进一步联立直线与渐近线方程，求出，由点到直线距离公式求出原点到直线的距离，结合三角形面积公式、即可得解.【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为.（2）如图所示：  不妨设直线l与双曲线C相切于点，由题意直线的斜率不为0，故设直线方程为，将其与双曲线方程联立，消去并整理得，从而，即，不妨设，而双曲线的渐近线方程可统一写成，将其与直线方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，，由得，所以，原点到直线的距离为，所以（O为坐标原点）的面积为，结合以及得，即（O为坐标原点）的面积为.【变式3】（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，实轴长为.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）焦点坐标和实轴长得到，再结合得到，即可得到双曲线方程；（2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得到，根据点到直线的距离公式得到点到直线的距离，然后利用三角形面积公式列方程，解方程即可.【详解】（1）由题意得，，则，，所以双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，，，，联立得，令，解得且，则，，，设点到直线的距离为，则，所以，解得或0（舍去），即，所以直线的方程为或.题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在上.(1)求的方程；(2)，分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果；（2）根据题意，设过且与相切的直线，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，由斜率乘积为，列出方程，即可得到结果.【详解】（1）由题可知，解得，故的方程为.（2）由题可知，直线，的斜率均存在，设，过且与相切的直线，联立方程组，整理得，则，整理得.将代入，得，则，从而.因为切线，互相垂直，所以，即.所以，，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.【典例2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，结合中点坐标公式即可求解曲线C的方程为（2）将代入双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）由于点P和Q分别在直线和上，所以可设，，由，得，所以，根据点P，Q在y轴同侧，得，所以．设，则于是得，即，故曲线C的方程为．（2）设，，把代入，得，故，，，所以，又点O到直线的距离，所以的面积令，则，令，则，因为，所以，由，得，由，得，由，得，当且仅当，即，即，即时等号成立，故面积的最小值为．  【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤：一是求出面积的表达式（常用直接法或分割法）；二是明确自变量及自变量的限制条件（如方程根的判别式大于0等）；三是利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围．【典例3】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知曲线，焦距长为，右顶点A的横坐标为1．上有一动点，和关于轴对称，直线记为，直线为，而且，与轴的交点分别为，．(1)求双曲线的方程；(2)已知以线段为直径的圆过点，且为轴上一点，求的坐标；(3)记S为三角形的面积，当S取最小值时．求此时点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)M的坐标是或或或.【分析】（1）由已知，得，，利用双曲线中a，b，c的关系，求出b，即可得到双曲线的方程；（2）由题意写出直线MA和NA的方程，令求出，两点的坐标，即可得到半径和中点，写出圆的方程，令，求出，可得的坐标；（3）由（2）可得的表达式，进而求出三角形的面积S的表达式，由（2）知m，n的关系继续化简，再由均值不等式可得三角形面积的最小值，进而求出点的坐标.【详解】（1）因为焦距长为，即，且右顶点A的横坐标为1，则，所以，所以双曲线的方程为；（2）已知，由于和关于轴对称，可知，，则，直线，令，可得，则，直线，令，可得，则，所以，则以线段为直径的圆的半径为，所以以线段为直径的圆的方程为，令，得，又，所以，即；（3）因为，当且仅当时，取得最小值，此时M的坐标是或或或.【变式1】（23-24高二上·湖北荆州·阶段练习）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值【答案】(1)(2)12【分析】（1）结合题意，得到的最小值为，从而利用双曲线的几何性质得到关于的方程组，解之即可；（2）先由条件得到，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到关于的解析式，利用换元法与的单调性即可求得的最小值.【详解】（1）依题意得，当轴时，取得最小值，不妨设，则，故，则，所以，则，又，则，联立，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）得，设，，直线，因为双曲线的渐近线为，又由直线与双曲线的右支交于两点，所以，则，从而，联立，得，则，，，所以，设，则，，令，易得在上单调递减，则，所以，即面积的最小值为.【变式2】（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)的面积不存在最小值，理由见解析【分析】（1）把已知条件用坐标表示后化简即可得；（2）设，，，，，且．求出点坐标，利用在双曲线上可求得点轨迹方程，设直线的斜率为，直线的斜率为，求出，，求出三角形面积关于的表达式，利用基本不等式得最小值，及相应的，检验直线是否与双曲线相交即可得．【详解】（1）由，，，，，，，得，即．（2）设，，，，，，且．，，，，则，得，，得．即．将A，B两点的坐标代入双曲线中，得，即，，（且），则，得动点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为，直线的斜率为，，，（当且仅当时取“=”，此时直线与双曲线不存在相交于两个不同点A，B，因此，的面积不存在最小值．【变式3】（2024·辽宁·三模）设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求直线l倾斜角的取值范围；(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．【答案】(1)(2)最小值为；直线l的方程为.【分析】（1）由题意设直线l的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用根与系数的关系，由题意得，解不等式组可求出的范围，从而可求出直线l倾斜角的取值范围；（2）由题意可得，由（1）得到的式子代入化简，换元后利用函数的单调性可求得结果【详解】（1）由双曲线得，则右焦点，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，由得，因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，则，解得，当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，综上，直线l倾斜角的取值范围为（2）因为O是AB中点，所以，令，则，其中，且又在单调减，所以，当，即时求得，此时直线l的方程为题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（23-24高二下·重庆·期中）已知点，在抛物线上.(1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离；(2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积.【答案】(1)点到轴的最短距离为，点的坐标为或(2)或【分析】（1）利用抛物线定义以及三角形的边长之间的不等式得到点到轴的最短距离，根据点到轴的最短距离可知三点共线，然后联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理即可求解；（2）由题意可得，且，设直线的方程为，联立方程，利用弦长公式求出，再根据直线和直线之间的距离等于，可求出，进而可得出答案.【详解】（1）由抛物线方程可知，其焦点，准线方程：，从而，当且仅当三点共线时，不等式取等号，设线段的中点为到轴的距离为，由抛物线定义和梯形中位线性质可知，，即，从而点到轴的最短距离为，不妨设，且此时三点共线，不妨设，，直线的方程为：，由，恒成立，则，，从而，即，从而，即，故点的坐标为或；（2）由题意可得，且，设直线的方程为，则直线和直线之间的距离，联立，消得，，所以，设，，则，所以，所以，解得或，当时，，此时正方形的面积为，当时，，此时正方形的面积为，综上所述，正方形的面积为或.【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．(1)若，求P的坐标；(2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积.【详解】（1）因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，，由消去x得，，所以，，，由，得，解得，满足，所以直线方程为，令得，即P的坐标.（2）由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，由消去x得，，所以，，，所以，解得，点到直线的距离为，所以,故的面积为.  【典例3】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若过点的直线交于两点，且，求的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式，建立方程方程，可得答案；（2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案.【详解】（1）设，动圆的半径，整理可得．故曲线的方程为.（2）法一：设，不妨设点在轴上方，由可得，由已知直线斜率必不为0，故可设直线，联立方程，可得，故，解得，故，．法二：设，不妨设点在轴上方，由可得，若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去；设直线，联立方程可得，，解得，，，解得．原点到直线的距离，故的面积.【变式1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的定义，结合点坐标，列出等式求出即可求得抛物线方程；（2）根据抛物线方程求出点坐标,进而求得直线方程，联立直线与抛物线方程求得两根之和，根据抛物线定义即可得，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式即可求得面积值。【详解】（1）解：由题知A为抛物线上一点，所以，解得，故抛物线方程为；（2）由（1）知，抛物线方程为，所以，，，所以，，即，因为直线交抛物线另一点为，记点横坐标为，点横坐标为，联立，可得：，所以，所以，而点到直线的距离，所以.【变式2】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知过点的直线与抛物线交于两点，且当的斜率为1时，恰为的中点.(1)求抛物线的方程；(2)当经过抛物线的焦点时，求（为原点）的面积.【答案】(1)(2).【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解.【详解】（1）当斜率为1时，可得直线的方程为，此时直线恰好经过坐标原点，不妨设，则为抛物线上的点，所以，解得，所以抛物线的方程为.  （2）由（1）可知抛物线的焦点，当直线经过时，直线的方程为，联立消去并整理得，不妨设，由韦达定理得，则的面积.  【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作直线交抛物线于两点，.(1)求直线的方程；(2)过点作抛物线的切线，切点分别为，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，由可知为线段的中点，利用中点公式以及，在抛物线上列出关系，化简即可得到直线的斜率，从而得到答案；（2）设抛物线的切点为，利用导数求出切线的斜率为，再用两点的斜率公式表示出切线的斜率，即，化简即可求出，的坐标，求出以及直线方程，利用点到直线的距离即可求出的高，从而求出面积.【详解】（1），是线段的中点.设，，则，①，②，  ①-②得，，，直线的方程为，即.（2）设抛物线的切点为，由得，，    抛物线切线斜率为，，解得或，，，，直线的方程为，即，点到直线的距离，.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线上的动点与距离的最小值为.(1)求；(2)过点的直线交抛物线于两点，直线平行于，且与抛物线仅有一个公共点，求面积的最小值.【答案】(1)1(2)【分析】（1）设抛物线上的动点为，则，根据二次函数的性质，找出最小值，得到的值.（2）先设直线，与抛物线联立计算得到，设平行线的方程为，与抛物线联立令，得到，计算到的距离，求得面积公式，算出范围即可.【详解】（1）设抛物线上的动点为，，因为的最小值为，且时，，故可知，且，解得舍.（2）由（1）知，抛物线方程为，由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，  代入，可得，则，所以.设平行线的方程为，将代入，可得，当时，，则，即，所以点到直线的距离为：，故，当时，取得最小值，此时【点睛】思路点睛：① 通过点与点的距离，求得最小值，得到的值.② 设直线，得到弦长，与平行，设出，联立求出坐标，求出到距离，算出面积公式，求出范围.【典例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）过点作直线与抛物线 相交于两点，且点在的准线上．(1)求抛物线的方程；(2)若的中点为，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据准线方程求出即可；（2）设直线的方程，和抛物线联立求出点的坐标，再求出中垂线方程以及的坐标，最后求出的表达式和范围.【详解】（1）由题意得：，所以抛物线方程为；（2）由题意可知，直线的斜率显然是存在的且，设直线的方程为，，直线的方程与抛物线方程联立消去得：，故，，，，所以点的坐标为，直线的中垂线方程为，令，得，即的坐标为，所以，到的距离为，所以，设，由于且，所以，设，显然在单调递增，，即的取值范围是.【典例3】（23-24高三下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；(2)若点为轴上一定点，且；（ⅰ）求出点坐标；（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．【答案】(1)证明见解析，定点为；(2)（ⅰ）点坐标为，（ⅱ）.【分析】（1）根据题意求出抛物线方程，设直线方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系，结合，求解即可；（2）（ⅰ）由题意可知，联立方程，即可求出点坐标；（ⅱ）先求直线过定点，利用三角形面积公式及二次函数最值问题即可求解.【详解】（1）证明：由题意知，所以，所以抛物线，设，，由条件可设直线方程，联立，得，则，，由，得，因为，，所以，解得或，因为是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，所以，所以，又，所以，所以直线方程，所以直线恒过一定点，且定点坐标为；（2）（ⅰ）由小问（1）可知直线方程，，，设轴上的定点，由，得为的角平分线，即直线与直线关于轴对称，则，即，所以，化简可得，因为位于轴两侧不对称，所以，所以，因为，所以，所以点坐标为.（ⅱ）设，，，，，对求导得，，则抛物线在的切线方程为，同理抛物线在的切线方程为，又切线过，所以，，所以直线的方程为，即，整理得，所以直线过定点，点到的距离，联立方程，得，，，，，，，所以，而，代入得：，解得：或（舍去），直线的方程为，必过一定点.（2）由抛物线的方程为,得:,所以,:,:,联立方程由（1）知:,.解得，即.点到直线的距离,,所以,因,所以,故当时,的面积取得最小值32.【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．(1)求椭圆与抛物线的标准方程；(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．【答案】(1)椭圆:，抛物线:(2)【分析】（1）根据焦点求出可得抛物线方程，代入点以及关系可得椭圆方程；（2）利用导数求出抛物线的切线方程，将切线方程联立可得点坐标，再求出，点到的距离，表示出，消元，利用二次函数的性质求最值.【详解】（1）由，得，故抛物线的标准方程为，由，得，得， 由椭圆过点，得，得，， 故椭圆的标准方程为；（2）设，，由得，，故抛物线在点处的切线方程为，化简得，同理可得抛物线在点处的切线方程为． 联立得，得， 易得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，得，，故，，   因此，由于点在椭圆上，故． 又，点到直线的距离，故． 令，又，故，其中，因此当时，最大，则， 所以，即的面积的最大值为．【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）设为抛物线准线上的一个动点，过作的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线过定点；(2)当直线斜率不为0时，直线交的准线于，设为线段的中点，求面积的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设直线，，，表示点处，点处的切线方程，根据两个切线方程联立求出点，再直线与抛物线方程联立，结合韦达定理得出结果；（2）求出点，点的坐标，表示面积函数，利用导数求函数的最值得出结果.【详解】（1）证明：设直线，与抛物线联立可得，所以，设，，，点处的切线斜率为，所以点处的切线方程为，即，同理可得，点处的切线方程为，联立两直线方程可得，依题意，，所以，解得，所以直线过定点；（2）由（1）可知，直线，，，所以，，对于直线，令，解得，即，点Q到直线的距离为，所以的面积，不妨设，则，设，则，所以当时，取得极小值，也是最小值，，所以面积的最小值为．