(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第02讲3.1.2椭圆的简单几何性质(学生版+解析)

这是一份(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第02讲3.1.2椭圆的简单几何性质(学生版+解析)，共108页。

第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 知识点01：椭圆的简单几何性质【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．知识点03：常用结论1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2），，；（3）,，；知识点04：直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．2、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： · ①由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　）A．4 B．2C．1 D．4题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 .【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ）A． B． C． D．题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)过点且与椭圆有相同焦点.题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ）A． B． C． D．【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【变式3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ）A． B． C． D．【典例3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ）A． B． C． D．【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．3 B． C．2 D．【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ．【变式1】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．2 B．4 C． D．【变式2】（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ）A． B． C． D．题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【典例2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【典例3】（23-24高二·全国·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ）A．0 B．1C．2 D．需根据a，b的取值来确定【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【变式2】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高二上·江西吉安·期末）过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【变式1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　)A． B．C． D．【变式2】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为 .题型08弦长 【典例1】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．【典例2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值．【变式1】（23-24高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．【变式2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．(1)求的面积；(2)若直线交于两点，求．题型09中点弦和点差法 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .【典例3】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．【变式1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线过点且与椭圆相交于两点,若点为弦的中点,则直线的方程为 ．题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.【典例2】（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；(2)若直线的倾斜角为，求的面积．【典例3】（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【变式1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．【变式2】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，求的面积．  题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．【典例3】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上.【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值．【变式3】（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上．题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.(1)当面积最大时，求椭圆的方程；(2)当时，若是线段的中点，求直线的方程；(3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.【典例3】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程．【变式1】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ）A． B．1．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．3 B． C．2 D．2．（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ）A． B．或C． D．或5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ）A． B． C． D．6．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.A． B． C． D．7．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）A． B． C． D．8．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ）A．16 B．14 C．12 D．10二、多选题9．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．B．离心率C．面积的最大值为12D．以线段为直径的圆与圆相切10．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ）A．的周长为10 B．面积的最大值为C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为三、填空题11．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则的最大值为 .12．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．四、解答题13．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的离心率；(2)求的面积.14．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.B能力提升 1．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ）A．2 B． C．3 D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．课程标准学习目标①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴　对称中心：原点离心率，第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 知识点01：椭圆的简单几何性质【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．【答案】答案见解析【分析】写出椭圆的标准形式确定对应椭圆参数，即可得长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．【详解】由题设，椭圆标准方程为，则，所以长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率为.知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.【详解】由题的，所以，所以离心率为，故选：C.知识点03：常用结论1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2），，；（3）,，；知识点04：直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．【答案】且【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.【详解】由直线，则可知其过定点，易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则，解得且.故答案为：且.2、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： · ①由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　）A．4 B．2C．1 D．4【答案】C【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，进而求得弦长.【详解】因为椭圆，可得，所以，所以椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C.题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义，可得，推出，再结合，得，即可得解．【详解】解：设椭圆的右焦点为，连接，，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，所以，  由椭圆的定义知，，所以，所以，所以，而，所以，即，所以离心率．故选：D．【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为 .【答案】【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于的不等式从而求解离心率范围.【详解】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为，因为落在上或内，所以，所以，则，两边同时除以，解得.故答案为：.【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由，得，所以椭圆的标准方程为，则，因为点在椭圆上，所以．故选：C【变式2】（23-24高二上·广东中山·期中）已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的准线求出椭圆的焦点，得到的值，再根据的关系，求出的值即可.【详解】抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，即，又，所以.所以长轴长为：.故选：D题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出椭圆的焦点坐标，即得，再由椭圆的的关系和离心率公式，计算即可得到，进而得到椭圆方程.【详解】由得焦点坐标为，即，又，，，即椭圆方程为，故选：B.【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.故选：D【典例3】（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由定义和椭圆关系式可直接求解；（2）设所求椭圆的方程，将代入即可求解；（3）设出标准方程，将代入，结合相同联立方程可求解.【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）设所求椭圆的方程，将代入上式得，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（3）椭圆，即，故，焦点为，，设所求椭圆的标准方程，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为.【变式1】（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程.【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，设所求椭圆方程为，依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.【答案】【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为，代点即得解.【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为.又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，解得λ=11或(舍去).故所求椭圆的标准方程为.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到共焦点的椭圆系方程，设所求椭圆的标准方程为，解答简洁高效.【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)过点且与椭圆有相同焦点.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点坐标以及椭圆定义即可求解，进而可求椭圆方程，（2）根据椭圆一般方程代入两点坐标即可求解，（3）根据同焦点的椭圆方程，代入点的坐标，即可求解.【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为（，，）.将A，B两点的坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的标准方程为.（3）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入得，所以，则所求椭圆的标准方程为.题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率.【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上，故，结合对称性可知四边形为矩形，有，有，又，由，则，，由椭圆定义可得， 故，则.故选：C.【典例2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率.【详解】以 为直径的圆的方程为，联立，解得，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.故椭圆的离心率为.故选：D.【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ．【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，连接，根据椭圆的定义可得，，再根据，两边平方可求椭圆C的离心率．【详解】设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形，设，因为，，则，且，可得，，又因为，则，在中，则，可得，即，解得，所以椭圆C的离心率．故答案为：．【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率.【详解】不妨设，，，则，．又，所以，化简得，显然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的离心率为．故选：D【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左右焦点分别为，，由题意可是，利用椭圆在处的切线方程为，可得，求解即可.【详解】设椭圆的左右焦点分别为，点，且，设，则有，解得，由，所以，又，所以，又椭圆在处的切线方程为，所以，所以，所以，所以，所以，解得,所以椭圆的离心率为.故选：B.【变式3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .【答案】【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.【详解】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，，由椭圆的定义得，即，所以椭圆的离心率.故答案为：  题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得点的横坐标，则可得到椭圆离心率的取值范围.【详解】由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得，所以，即，即，又椭圆的离心率，所以得.故选：D.【典例2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解.【详解】设椭圆的左焦点为，因为，所以四边形为为矩形，所以，因为，所以，，则，由椭圆的定义得，所以，因为，所以，所以，其中，所以，所以.故选：A【典例3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .【答案】【分析】利用椭圆的定义构造齐次不等式求解离心率范围即可.【详解】因为，所以，则，所以，则，又.所以C的离心率的取值范围是.故答案为：【变式1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.【详解】设，，，，，由题意可知，，即，得，则.故选：B【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解.【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．  因为，所以．设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，，所以，即，所以．因为直线的斜率为正，所以，所以，解得．故选：ABC．【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .【答案】【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解.【详解】如图，，显然四边形是矩形，所以，由题意，，所以，设，则，所以，又点P在第一象限，所以，故，即，所以，椭圆C的离心率，由可得，又，所以，故.故答案为：.题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解.【详解】，解得.故选：C.【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期中）已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于 ．【答案】8【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得＝，解之即可.【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为，可得＝，解得m＝8．故答案为：8．【变式1】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解即可求得结果．【详解】，，所以，，，解得，.故选：A.【变式2】（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】求出的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为，可得，当椭圆的焦点在轴上时，则，解得；当椭圆的焦点在轴上时，则，解得.综上所述，或.故选：BC.题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.【详解】因为直线过点，而为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交.故选：C.【典例2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【答案】D【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.【详解】直线：，令，解得：，，所以直线恒过定点，，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D【典例3】（23-24高二·全国·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ）A．0 B．1C．2 D．需根据a，b的取值来确定【答案】C【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系，得到，进而结合圆和椭圆的位置关系，即可求得答案.【详解】因为直线和圆没有公共点，所以原点到直线的距离，即，所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：C.【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】B【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.【详解】，即，令，解得，则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B.【变式2】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【详解】将直线l：变形为l：，由得，于是直线l过定点，而，于是点在椭圆C：内部，因此直线l：与椭圆C：相交．故选：A．  【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个【答案】D【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高二上·江西吉安·期末）过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.【典例2】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程 【答案】或或（只需写一条）【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：  由图可知，或与圆和椭圆同时相切，即符合条件的的方程可以为或假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知所以①由得由得②由①②解得故答案为： 或或（只需写一条）【变式1】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）经过点且与椭圆相切的直线方程是                   (　　)A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用点斜式，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，让此方程根的判断式为零，求出斜率，即可求出切线方程，要考虑斜率不存在的情况．【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，，得到直线与椭圆相切，故，即解得所以切线方程为，故本题选A．【点睛】本题考查了椭圆的切线方程．其实本题可以类比圆的切线方程得出，过圆上一点的切线方程为，椭圆也有类似性质：过椭圆上一点的切线方程为．【变式2】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为 .【答案】【解析】易得，设公切线方程，分别与，联立，利用求解.【详解】因为，由题意得:，设公切线方程，与联立，得，，得，与联立，得，，得，联立解得，，因为切点在第一象限，所以公切线方程为.题型08弦长 【典例1】（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的离心率和所过点求得，，，从而求得椭圆的方程；（2）联立直线的方程与椭圆方程，得到，再利用弦长公式即可得解．【详解】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点，则直线的方程为：，设，，联立，消去，得，显然，则，所以．【典例2】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程；（2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案.【详解】（1）由题意得，解得，又，故，解得，故椭圆方程为；（2）由题意得，，可得直线方程为，联立与得，设，故，故.【变式1】（23-24高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆的定义即可得解.（2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解.【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，其中，所以所求动点P的轨迹C的方程为．（2）设,联立直线与椭圆的方程,消y整理得：，所以，，，∴.【变式2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．(1)求的面积；(2)若直线交于两点，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解；（2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解.【详解】（1）椭圆的方程为，所以，，则，，所以椭圆的面积；（2）联立，得，，，，.题型09中点弦和点差法 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，又，两式相减得，整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：C.【典例2】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .【答案】【分析】利用点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，直线斜率存在，设，，则有，，在椭圆上，有，，两式相减，得，即，得，即直线的斜率为，则的直线方程为，即.故答案为：【典例3】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；（2）利用点差法求解即可.【详解】（1）因为，，所以，故椭圆C的方程为．（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以，所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意.【变式1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可.【详解】设则将点代入椭圆方程,两式作差得即直线的斜率为直线的方程为即.故选：.【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．【答案】3【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.【详解】设坐标为，则，作差可得，则，根据题意可得，，则，解得.当时，联立，可得，其，满足题意；故.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）直线过点且与椭圆相交于两点,若点为弦的中点,则直线的方程为 ．【答案】【分析】本题考查中点弦问题,根据点差法的步骤,设点,代入曲线方程化简得再结合点斜式即可.【详解】设点点为弦的中点,将点两点代入椭圆方程,得两式作差得,整理得直线的斜率为,直线的方程为即.故答案为：.题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果.【详解】（1）由题意得：，，，，，，即，；当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令，由得：，，由得：，椭圆的方程为：.（2）  由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，设，则，，，又，，，解得：，直线的斜率.【典例2】（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；(2)若直线的倾斜角为，求的面积．【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；(2).【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解；（2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解.【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得，故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；（2）设，，由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，，故，令的面积为，所以.【典例3】（23-24高二上·重庆永川·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程结合韦达定理代入计算，再由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为.（2）依题意，过且斜率为1的直线为，设，则消去整理得，所以，所以.【变式1】（23-24高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，即可得椭圆方程； （2）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及可得面积.【详解】（1）由已知得，可得，所以椭圆C的标准方程为；（2）由（1）得，则直线：，联立，消去得，设，则，所以.【变式2】（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积.【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，因为焦距为，，又离心率，，再由，所以椭圆标准方程为：.（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则，， 由弦长公式,到直线的距离,．【变式3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义可由的周长得长轴长，即可得椭圆方程；（2）先用点斜式求得直线的方程，联立椭圆方程计算弦长，根据点到直线的距离公式计算面积即可.【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为， 解得，而焦距为2，则椭圆的半焦距为，，所以椭圆的方程为；（2）由（1）知，，设，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程整理得，所以，所以，又因为到直线的方程为的距离为，的面积.  题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解,（2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解.【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值  【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．【答案】证明见解析【分析】连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，，计算和（代入韦达定理的结论），两者相除可得．【详解】证明：连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程，整理得，，∴，，又，∴（定值）．【典例3】（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出即可得解.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出直线与直线的交点横坐标，并结合韦达定理计算即得.【详解】（1）依题意，，半焦距，则，所以椭圆的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线，由消去x并整理得，，设，则，且有，直线，直线，联立消去y得，即，整理得，即，于是，而，则，因此，所以点在定直线上.【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得，，解出；（2）设直线：，根据直线与椭圆相切可得，分别求出、坐标，计算整理．【详解】（1）设椭圆的半焦距为，，将代入得，所以，因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积，由，求得，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线与椭圆相切，所以，得，因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，所以，将代入直线可得，所以，所以，，将代入上式，得，所以为定值.【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）如图，过原点O的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于另一点B，求证：kPA·kPB为定值．【答案】证明见解析【分析】设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)，根据斜率公式计算kPA·kPB，即可求解．【详解】证明　设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(－x1，－y1)，C(x1，0)，可得kAB·kPB＝·－.又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，从而kPA·kPB＝－1，为定值．【变式3】（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可；（2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可.【详解】（1）因为，椭圆C离心率为，所以，解得，．所以椭圆C的方程是；（2）①若直线l的斜率不存在时，因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是，所以点M的坐标是，点N的坐标是，所以直线AM的方程是，直线BN的方程是．所以直线AM，BN的交点Q的坐标是，所以点Q在直线上．②若直线l的斜率存在时，设斜率为k．所以直线l的方程为．联立方程组消去y，整理得．显然．不妨设，，所以，．所以直线AM方程是．令，得．直线BN的方程是．令，得．所以．其中．所以点Q在直线上  题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得．【详解】，，则，所以，，椭圆方程化为，，因此在圆上，由，解得，在第一象限，则，，则，故选：D．【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.(1)当面积最大时，求椭圆的方程；(2)当时，若是线段的中点，求直线的方程；(3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据椭圆的性质及三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解；（2）根据已知条件及两点的斜率公式，利用直线的点斜式及中点坐标公式即可求解；（3）利用（2）的结论及向量的数量积的坐标表示，结合点在椭圆上即可求解.【详解】（1）由题意得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时面积最大，故椭圆方程为.（2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为，因而,直线的方程为,所以,同理,由,解得所以直线的方程为,即.（3）设，由（2）得将代入上式，得若定值，则必有.把代入得，所以存在点使得为定值.【典例3】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）代入点的坐标，并根据离心率建立关于的方程组，即可求解；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，结合坐标间的关系，代入韦达定理，即可求解.【详解】（1）由已知得：解得，，∴椭圆E的方程为．（2）由题可设直线，，，联立消去y得，由根与系数的关系可得：，，由，得，∴，，∴，即，解得，∴直线的方程为或．【变式1】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案.【详解】因为椭圆的焦点为，，所以设椭圆的方程为：,设，，，则，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以或，因为在上，所以，即，解得：或，因为椭圆的焦点在轴上，所以.故的方程为.故选：D.  【变式2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆：（）．(1)若椭圆的焦距为6，求的值；(2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值．【答案】(1)12(2)20【分析】（1）由焦距以及之间的关系列方程即可求解；（2）设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合已知和韦达定理即可求解.【详解】（1）设焦距为，则，解得．（2）要使点的横坐标最大，需直线斜率存在．设，与椭圆联立得，由韦达定理：．由知，故，要使点的横坐标最大，在这里不妨取，所以，当且仅当时，等号成立．当时，，即，此时．【变式3】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据短轴长和通径求，即可得椭圆方程；（2）设，利用“设而不求法”把转化为，求出斜率k，即可求出直线方程.【详解】（1）因为短轴长为，所以，由题意可知：，解得，所以椭圆方程为.（2）因为点在椭圆外，所以过该点的直线PQ的斜率必然存在，可设直线PQ的方程为，，联立方程，消去y得，则，解得，由根与系数的关系可知:，可得.由得，即，解得:，符合，所以直线PQ的方程为.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题1．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解.【详解】，解得.故选：C.2．（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】将点的坐标代入椭圆方程即可求解长轴长.【详解】因为椭圆E：经过点，所以，解得，所以，所以E的长轴长为.故选：C.3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，则，，从而可求出离心率.【详解】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），连接，则，，所以离心率．故选：C4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，由离心率为，可得.∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，，，得，可得椭圆的标准方程为，整理为.故选：D5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，，且圆在椭圆内，当与圆相切时，取得最小值，此时，所以，所以的最小值为.故选：A6．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得点的横坐标，则可得到椭圆离心率的取值范围.【详解】由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得，所以，即，即，又椭圆的离心率，所以得.故选：D.7．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得．【详解】，，则，所以，，椭圆方程化为，，因此在圆上，由，解得，在第一象限，则，，则，故选：D．8．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解.【详解】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知，所以的周长为，当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14.故选：B二、多选题9．（2024·广东深圳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．B．离心率C．面积的最大值为12D．以线段为直径的圆与圆相切【答案】BCD【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为椭圆，则，由椭圆的定义可知，，故A错误；由椭圆离心率公式可得，故B正确；因为设点到轴的距离为，显然，则面积的最大值为，故C正确；线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径，且圆的圆心为，半径，则两圆的圆心距为，即两圆外切，故D正确；故选：BCD10．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ）A．的周长为10 B．面积的最大值为C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为【答案】AB【分析】由椭圆的性质直接分析即可.【详解】对A，因为椭圆C：，的周长为，故A正确；对B，因为，面积最大时高最大，为，所以面积的最大值为，故B正确；对C，椭圆C的焦距为，故C错误；对D，椭圆C的离心率为，故D错误；故选：AB三、填空题11．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则的最大值为 .【答案】/【分析】由方程可知：，结合椭圆定义可得，结合题意分析求解即可.【详解】由椭圆方程可知：，因为的周长为，可得，又因为，所以.故答案为：.12．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．【答案】3【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.【详解】设坐标为，则，作差可得，则，根据题意可得，，则，解得.当时，联立，可得，其，满足题意；故.故答案为：.四、解答题13．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的离心率；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）用离心率的定义求解；（2）设的中点为，先分别确定点的坐标，再最终求解.【详解】（1）由已知有，，故，所以离心率.（2）如图，设，，的中点为.则由，可知.而，故.所以，从而在直线上.由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，设，则，，，又，，，解得：，直线的斜率.B能力提升 1．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可.【详解】根据题意，曲线，则曲线M上的点到点和距离之和为，根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆，其中，则，所以曲线M的的方程为，设点满足且，可得，圆的圆心为，半径为1，则，又函数在单调递减，所以，所以的最小值是.故选：C2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．【答案】4【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断.【详解】设点，则．由焦半径公式得，故．∵，∴，即．又∵，解得，∴满足条件的点有4个．故答案为：3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，所以，故，故，所以，，故椭圆方程为：.（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，设， 由可得，故且而，故，因为恒成立，故，解得.若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.课程标准学习目标①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴　对称中心：原点离心率，