(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第3章第05讲3.3.1抛物线及其标准方程(学生版+解析)

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第05讲 3.3.1抛物线及其标准方程 知识点01：抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).【即学即练1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ．知识点02：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：【即学即练2】（2024·陕西西安·模拟预测）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B．6 C． D．特别说明：1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.题型01抛物线定义的理解 【典例1】（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ）A．2 B．4 C． D．【典例2】（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【典例3】（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ）A．5 B．4 C．3 D．2【变式2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ）A．6 B． C．8 D．【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ）A． B．C． D．题型02利用抛物线定义求方程 【典例1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ）A． B．C． D．【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ）A． B． C． D．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ．题型03抛物线上点到定点距离及最值 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ）A．2 B． C． D．3【典例2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .【典例3】（23-24高二上·陕西渭南·期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .【变式1】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ）A． B．4 C． D．5【变式2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ．【变式3】（2024·上海奉贤·三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．题型04抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 【典例1】（23-24高二上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024·陕西咸阳·二模）P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为 ．【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．【变式2】（23-24高二上·陕西延安·期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .题型05根据抛物线方程求焦点和准线 【典例1】（2024·浙江温州·模拟预测）已知抛物线，则焦准距是（    ）A．1 B．2 C． D．【典例2】（2024·四川·三模）已知抛物线C: ，则C的准线方程为（    ）A． B．C． D．【典例3】（2024·宁夏银川·二模）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为 ．【变式1】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ）A． B． C． D．【变式3】（2024·河南·三模）抛物线的焦点坐标为 .题型06抛物线的焦半径公式 【典例1】（2024·福建福州·三模）已知点在抛物线：（）上，为的焦点，则（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（23-24高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ）A．2 B． C． D．3【典例3】（23-24高二上·浙江·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则（    ）A． B． C． D．【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ）A．6 B．4 C．3 D．2【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（    ）A． B．2 C．3 D．4【变式3】（23-24高三下·北京东城·阶段练习）已知抛物线，焦点到准线的距离为，若点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 ．题型07求抛物线方程 【典例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【典例2】（23-24高二上·辽宁本溪·阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为.【变式1】（23-24高二上·河南信阳·期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【变式3】（多选）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ）A． B． C． D．题型08抛物线的实际问题 水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；  【变式3】（23-24高二上·河北·期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为   A夯实基础 B能力提升A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ）A． B． C． D．2．（2024·河北衡水·模拟预测）抛物线过点，则其准线方程为（    ）A． B．C． D．3．（2024·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）．A．2 B．3 C．4 D．84．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ）A．7 B．6 C．5 D．45．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）A． B．3 C． D．26．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．67．（23-24高二下·北京·期中）已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．二、多选题9．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ）A． B．C． D．10．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（    ）A． B．C． D．三、填空题11．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ．12．（2016高二·全国·竞赛）的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 .四、解答题13．（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为；(2)过点；(3)焦点在直线上．14．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线.(1)求双曲线的标准方程;(2)求过点的抛物线标准方程．B能力提升1．（2024高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为.求的方程.3．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程．课程标准学习目标①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。②了解抛物线在实际问题中的初步应用。通过本节课的学习，要求掌握抛物线的定义，标准方程及相关的条件，并能应用抛物线的定义解决实际问题方程（）（）（）（）图形焦点准线第05讲 3.3.1抛物线及其标准方程 知识点01：抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).【即学即练1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ．【答案】.【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可.【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5，所以，解得：，代入，则所以点P到x轴的距离为．故答案为：.知识点02：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：【即学即练2】（2024·陕西西安·模拟预测）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】由抛物线的方程求出焦点，然后计算，可知轴，故由勾股定理求解即可.【详解】由题意可知，，所以．因为抛物线的通径长为，所以轴，所以．故选：D特别说明：1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.题型01抛物线定义的理解 【典例1】（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且，则（   ）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据题意，由抛物线的定义可得为等腰三角形，，然后代入计算，即可得到结果.【详解】  由抛物线定义可知，所以为等腰三角形，记原点为，因为，所以，则，所以.故选：D【典例2】（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据已知条件结合抛物线的定义求解即可.【详解】如图，过作的准线的垂线，垂足为，作，垂足为，由，得，所以，所以，即．故选：B．  【典例3】（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．【答案】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知，抛物线的准线为，而与P到准线的距离相等，所以.故选：C【变式2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】根据焦半径公式得到方程，求出.【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得．故选：C【变式3】（2024·北京延庆·一模）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义求解.【详解】由抛物线可知，准线方程为，因为到直线的距离为，所以到抛物线准线的距离为，由抛物线定义知，.故选：B题型02利用抛物线定义求方程 【典例1】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.故选：C.【典例2】（2023·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．【详解】如图，连接，设准线与轴交点为  抛物线的焦点为，准线：又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，所以，所以在中，，则，所以抛物线的方程为.故选：C.【典例3】（2023高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程【答案】【详解】利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程.【分析】点在抛物线上，  由抛物线定义得，解得，故抛物线的标准方程为．【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，故轨迹为，故选：A【变式2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线的定义求解．【详解】根据题意，可设抛物线的方程为，由抛物线的定义知，即，所以抛物线方程为．故选：C．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ．【答案】x2＝±2y或x2＝±18y【详解】设抛物线方程为x2＝ay（a≠0），则准线方程为y＝－.因为Q（－3，m）在抛物线上，所以9＝am.因为点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，所以|m－（－）|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得a＝±2或a＝±18，所以抛物线的方程为x2＝±2y或x2＝±18y.题型03抛物线上点到定点距离及最值 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可.【详解】如图，抛物线上点到圆心的距离为，  因此，当最小时，最小，而，当时，，因此的最小值是．故选：A.【典例2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 .【答案】6【分析】首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案．【详解】抛物线准线方程为,过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时，最小，且.故答案为：6.【典例3】（23-24高二上·陕西渭南·期末）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .【答案】5【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，由抛物线的定义，可知，故．即当、、三点共线时，距离之和最小值为．故答案为：．【变式1】（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，设点到准线的距离为，则，如图所示：  当三点共线时，取得最小值，故选：C【变式2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 ．【答案】5【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，如图所示：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，所以使得的最小值，则求的最小值，当D，M，P三点共线时，最小，即点到准线的距离，则最小值为.故答案为：5.【变式3】（2024·上海奉贤·三模）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．【答案】5【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，所以故答案为：5.  题型04抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值 【典例1】（23-24高二上·安徽淮南·阶段练习）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，利用抛物线定义将问题转化为最大值的求解；根据长度关系可知当三点共线时，最大，由此可确定结果.【详解】由抛物线方程知：，准线方程为：.作，垂足为，如下图所示：由抛物线定义知：，，在中，，；当在抛物线上移动至三点共线，即图中位置时，，即此时取得最大值，又，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线上的动点到焦点距离与到定点距离之差最值的求解，解题关键是能够利用抛物线的定义将问题转化为动点到准线的距离与到定点距离之差的最值的求解问题.【典例2】（2024·陕西咸阳·二模）P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为 ．【答案】/【分析】将点P到y轴的距离转化为到准线的距离，再转化为到焦点的距离，利用两点之间线段最短来求解.【详解】由已知得点到抛物线准线的距离为，又抛物线焦点，则.故答案为：.  【典例3】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．【答案】【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为【详解】由抛物线的定义知，，所以所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值.故答案为：【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．【答案】4【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值.【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则，则，则的最小值为4.故答案为：4.【变式2】（23-24高二上·陕西延安·期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .【答案】/2.5【分析】根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出结果.【详解】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，圆变形为，则圆心为抛物线的焦点，半径为.点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，过点作于点，由抛物线定义可知，所以取最小值时，即取最小值，，当三点共线，当时，等号成立..则的最小值为.    故答案为：.【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .【答案】/【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当平行于轴时，取得最小值，从而得到结果.【详解】抛物线的准线方程为，过点作垂直准线于点，显然，当平行于轴时，取得最小值，此时，此时 故答案为:.题型05根据抛物线方程求焦点和准线 【典例1】（2024·浙江温州·模拟预测）已知抛物线，则焦准距是（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据标准方程可得，即可根据的几何意义求解.【详解】由可得，所以，故焦准距为，故选：D【典例2】（2024·四川·三模）已知抛物线C: ，则C的准线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用抛物线准线的定义求解即可.【详解】若，则可化为标准形式，故，故C的准线方程为，故A正确.故选：A【典例3】（2024·宁夏银川·二模）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为 ．【答案】【分析】利用抛物线经过的点，求出，然后求解抛物线准线方程．【详解】将点代入抛物线方程解得，所以，准线方程为.故答案为：.【变式1】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程组，求得的值，得出抛物线的方程，即可求解.【详解】因为点在抛物线 上，且，可得，解得，即抛物线，所以抛物线C的准线方程是.故选：D.【变式2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得抛物线的方程，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】由抛物线C：过点，可得，解得，即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为.故选：B.【变式3】（2024·河南·三模）抛物线的焦点坐标为 .【答案】【分析】先求的焦点坐标，再利用图象平移求解新抛物线焦点坐标即可.【详解】对于抛物线，，其焦点坐标为，而抛物线是由向上平移一个单位形成的，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：题型06抛物线的焦半径公式 【典例1】（2024·福建福州·三模）已知点在抛物线：（）上，为的焦点，则（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】将点代入抛物线可得，即可根据焦半径公式求解.【详解】将代入可得所以，故，故选：C【典例2】（23-24高三下·河北·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（    ）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由题意解三角形得，由此代入抛物线方程得，结合焦半径公式即可求解.【详解】  过点作的垂线，垂足为，因为直线的倾斜角为，则，设，因为，，所以.故选：B.【典例3】（23-24高二上·浙江·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，，，，根据抛物线的定义即可根据求得，求解直线方程，将直线方程与抛物线的方程联立，求出，，由抛物线的定义可求得的值．【详解】易知点，设点,，,，其中由于，所以，将代入得，故直线的斜率为，故其方程为，联立，可得，解得，所以由抛物线的定义可得．故选：C【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可.【详解】抛物线，则焦点，准线，最小时，即最小，根据抛物线的定义，，所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，最小，且最小值为，解得.故选：C.【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】过A作轴于B点，中，作斜率为的直线，由且，得，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值．【详解】过作轴于点，过抛物线的焦点作斜率为的直线，则在中，，，∴，则，∴，得．故选：C．【变式3】（23-24高三下·北京东城·阶段练习）已知抛物线，焦点到准线的距离为，若点在抛物线上，且，则点的纵坐标为 ．【答案】【分析】由抛物线的焦点到准线的距离为求出的值，可得出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得点的纵坐标.【详解】抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为，则，可得，所以，抛物线的标准方程为，其准线方程为，设点，由抛物线的定义可得，解得.故答案为：.题型07求抛物线方程 【典例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据焦点即可求解抛物线方程.【详解】直线与坐标轴的交点为以及，所以抛物线的焦点为或，当焦点为，此时抛物线方程为，当焦点为时，此时抛物线的方程为，故选：C【典例2】（23-24高二上·辽宁本溪·阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案.【详解】直线与坐标轴的交点为，当抛物线的焦点为时，其标准方程为；当抛物线的焦点为时，其标准方程为.故选：D.【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为.【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）（2）（3）利用抛物线的定义及其性质即可得出．【详解】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且，则，故所求抛物线的标准方程为．（2）点在第二象限，设所求抛物线的标准方程为或，将点代入，得，解得，所以抛物线方程为；将点代入，得，解得，所以抛物线方程为．综上所求抛物线的标准方程为或．（3）由焦点到准线的距离为，所以，故所求抛物线的标准方程为或或或．【变式1】（23-24高二上·河南信阳·期末）焦点坐标为的抛物线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为求出可得答案.【详解】由焦点坐标可设抛物线的标准方程为，由，所以，所以，抛物线方程为.故选：B.【变式2】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抛物线的性质，求出，然后求得抛物线方程即可.【详解】解：焦点在轴正半轴上的抛物线标准方程为，又准线与焦点轴间的距离为3，可得，所以抛物线的标准方程为.故选：A.【变式3】（多选）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果.【详解】由于焦点在直线上，当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为；当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为，故选：BC．题型08抛物线的实际问题 【典例1】（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）  A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】B【分析】建立适当的的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解.【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．  设抛物线的方程为．易知抛物线过点，则，得，所以，所以．故选：B．【典例2】（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 .【答案】４米【分析】建立如图的平面直角坐标系，抛物线的方程是标准方程，由已知求得抛物线方程即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且，由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，，∴水面宽度为故答案为：４米．【典例3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？【答案】(1)(2)能(3)3【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程;（2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解；【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示  设抛物线的方程为，则点在抛物线上，代入方程得，所以抛物线的方程为.（2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，设，代入方程得，故，则，所以木船能通行；（3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为，把代入方程，得，故，由，得.所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行.【变式1】（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ）A． B．5 C．10 D．20【答案】C【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解.【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得，所以该抛物线的焦点到准线距离为10.故选：C【变式2】（23-24高二上·广西百色·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为 ；  【答案】【分析】建立适当的平面直角坐标系，根据已知求出抛物线方程，进一步利用纵坐标代入抛物线方程得横坐标，即可得解.【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：  设抛物线方程为，由题意可得：因为桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，所以在抛物线上，所以解得，所以抛物线方程为当水面上升后，不妨设由图可知则，解得，所以，所以当水面上升后，桥洞内水面宽为.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·河北·期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为   【答案】 8 3.2【分析】（1）建立平面直角坐标系，将点代入解析式，求出，得到焦点到准线的距离，水面下降时，，进而求出，得到水面宽度.【详解】如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系，  设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，得，得，解得，所以抛物线方程为，所以该抛物线的焦点到准线的距离为．当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为．故答案为：8，3.2A夯实基础 B能力提升A夯实基础 一、单选题1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）抛物线的焦点坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将抛物线化为标准形式，根据焦点坐标公式即可解出．【详解】得到，则焦点坐标为．故选：D.2．（2024·河北衡水·模拟预测）抛物线过点，则其准线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】将点代入抛物线方程可得，进而可得抛物线的准线方程.【详解】由抛物线过点，得，即，于是的准线方程为.故选：D.3．（2024·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（    ）．A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】分别求出抛物线的焦点和椭圆的右顶点坐标，得，即可求解.【详解】由题意知，（）的焦点为，的右顶点为，所以，解得.故选：D4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解．【详解】因为抛物线的焦点准线方程为，点M在C上，所以M到准线的距离为.又M到直线的距离为4，故.故选：D.5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，，则，因为，则，得，由抛物线定义得.故选：D.6．（23-24高三下·四川南充·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，设，根据抛物线的定义及锐角三角函数得到方程组，解得即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为为，如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，则，根据抛物线定义知，，设，因为，所以，所以，设，所以，所以，.故选：A.7．（23-24高二下·北京·期中）已知抛物线的焦点为，准线为直线，横坐标为3的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用抛物线的方程和可求答案.【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为3，所以，，，因为，所以，解得或（舍），故选：B8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】设，，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得，结合基本不等式的应用即可求解.【详解】设，，因为，所以，所以，过点A，B分别作，垂直准线于点G，W，  由抛物线的定义可知，，由梯形的中位线可知．因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以所以，故的最大值为．故选：B二、多选题9．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】  三、填空题11．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ．【答案】【分析】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，即可得准线方程.【详解】由题意可知，且焦点在x轴的正半轴上，所以其准线方程为.故答案为：.12．（2016高二·全国·竞赛）的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 .【答案】1【分析】由题意设出点的坐标，且由已知得，从而由点到直线的距离公式求出点到直线BC的距离的最小值即可.【详解】设，点到直线BC的距离为，当时，取得最小值，则的面积，且当时，的面积取得最小值，且最小值为1.故答案为：1.四、解答题13．（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为；(2)过点；(3)焦点在直线上．【答案】(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得.（2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得.（3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得.【详解】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为，所以所求抛物线的标准方程为.（2）设所求抛物线的标准方程为或，于是，解得，或，解得，所以所求抛物线的标准方程为或.（3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为；直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为，所以所求抛物线的标准方程为或.14．（23-24高二上·新疆和田·期末）若双曲线与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线.(1)求双曲线的标准方程;(2)求过点的抛物线标准方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由题意得，设双曲线的标准方程为，由平方关系即可得解.（2）设过点的抛物线标准方程为或，代入即可得解.【详解】（1）由题意在椭圆中有，，焦点在x轴上，而双曲线与双曲线有相同渐近线，所以设双曲线的标准方程为，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）设过点的抛物线标准方程为或，所以有或，解得或，所以过点的抛物线标准方程为或.B能力提升1．（2024高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．【答案】【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，根据，得到，，利用代入法求解.【详解】解：设动点Q的坐标，点P坐标，则，因为，所以，，解得，，代入得，整理得，所以动点Q的轨迹方程为．2．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为.求的方程.【答案】【分析】设，依题意可得，两边平方整理可得.【详解】设，依题意，得，化简得，故的方程为.3．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解；（2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解.【详解】（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故，所以C的方程为；（2）由（1）知，设，，则，，因为，所以，可得，又点P在抛物线C上，所以，即，化简得，则点Q的轨迹方程为．课程标准学习目标①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。②了解抛物线在实际问题中的初步应用。通过本节课的学习，要求掌握抛物线的定义，标准方程及相关的条件，并能应用抛物线的定义解决实际问题方程（）（）（）（）图形焦点准线