2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题03平面向量-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题03平面向量-特训(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了平面向量的数量积的运算，平面向量的夹角，两个向量的垂直问题，两个向量的平行问题等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 平面向量的数量积的运算
1．（2023·全国乙卷文数第6题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
2．（2023·全国乙卷理数第12题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
考向二 平面向量的夹角
1．（2023·全国甲卷文数第3题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷理数第4题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【命题意图】
1．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考查要点】
平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。因此向量备考应重视基础知识，要求学生熟练掌握基本技能。
（1）向量的线性运算中，用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平行四边形或三角形中去，利用平面图形的几何特征建立关系。数量积的基本运算中，经常涉及数量积的定义、模、夹角公式。
（2）向量是数形结合的产物，利用向量解决问题时，能建立直角坐标系，选择坐标运算往往更简单，使问题代数化。
（3）求参数取值时，可根据平行、垂直、模等条件应用方程的思想。
（4）适当关注向量与三角函数、解析几何、数列等知识的交汇问题。
【得分要点】
高频考点：线性运算、夹角计算、数量积。
中频考点：模的计算、向量的垂直与平行。
低频考点：综合问题
考向一 平面向量的数量积的运算
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第3题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题
2．（2022·全国甲卷理数第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
考向二 平面向量的模长
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第3题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
一、填空题
1．（2021·全国甲卷文数第13题）若向量满足，则_________.
考向三 两个向量的垂直问题
二、填空题
1．（2022·全国甲卷文数第13题）已知向量．若，则______________．
2．（2021·全国乙卷理数第14题）已知向量，若，则__________．
3．（2021·全国甲卷理数第14题）已知向量．若，则________．
考向四 两个向量的平行（共线）问题
一、填空题
1．（2021·全国乙卷文数第13题）已知向量，若，则_________．
向量题考的比较基础，每年都有考查，主要是突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其他知识交汇，难度不大。这样有利于考查向量的基本运算，符合课标要求。预计2024年主要还是考查与平面向量数量积有关的计算。
一、单选题
1．（2023·四川泸州三模）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．0D．4
2．（2023·河南·襄城三模）已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023·广东广州三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·人大附中三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
6．（2023·河北衡水·衡水市三模）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·辽宁·校联考二模）已知向量，，，则实数m的值为（ ）．
A．B．C．D．1
8．（2023·湖南长沙三模）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南郑州·三模）若向量、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
10．（2023·湖南长沙三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河南·襄城三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·河南安阳三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
13．（2023·河南安阳三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
14．（2023·上海黄浦三模）已知平面向量，，若，则___．
15．（2023·河南开封三模）已知向量，，若，则______.
16．（2023·四川内江三模）已知，且，则__________．
17．（2023·四川南充二模）已知为单位向量，且满足，则______.
18．（2023·河南新乡三模）已知向量，，且，则__________．
19．（2023·河南驻马店二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
20．（2023·新疆阿勒泰三模）已知平面向量，满足，则________．
21．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则x的值为______.
22．（2023·辽宁大连三模）已知平面向量，若，则__________.
23．（2023·四川雅安三模）已知向量与的夹角为，且，则__________．
24．（2023·山东烟台二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．
25．（2023·广东广州三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________.
26．（2023·江苏盐城三模）在中，，，，则的取值范围是______.
已知非零向量，，为向量、的夹角．
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题03 平面向量
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 平面向量的数量积的运算
1．（2023·全国乙卷文数第6题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
2．（2023·全国乙卷理数第12题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
考向二 平面向量的夹角
1．（2023·全国甲卷文数第3题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷理数第4题）已知向量满足，且，则（ ）
【命题意图】
【考查要点】
【得分要点】
考向一 平面向量的数量积的运算
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第3题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴故选：C.
二、填空题
1．（2022·全国甲卷理数第13题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
考向二 平面向量的模长
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第3题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【详解】因为，所以.故选：D
一、填空题
1．（2021·全国甲卷文数第13题）若向量满足，则_________.
【答案】
【详解】∵
∴∴.故答案为：.
考向三 两个向量的垂直问题
二、填空题
1．（2022·全国甲卷文数第13题）已知向量．若，则______________．
【答案】
【详解】由题意知：，解得.故答案为：.
2．（2021·全国乙卷理数第14题）已知向量，若，则__________．
【答案】
【详解】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
3．（2021·全国甲卷理数第14题）已知向量．若，则________．
【答案】.
【详解】,
，解得,故答案为：.
考向四 两个向量的平行（共线）问题
一、填空题
1．（2021·全国乙卷文数第13题）已知向量，若，则_________．
【答案】
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.
一、单选题
1．（2023·四川泸州三模）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．0D．4
【答案】A
【详解】由已知，．故选：A．
2．（2023·河南·襄城三模）已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】，
因为，所以，解得.故选：B
3．（2023·广东广州三模）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】，两边平方得 ，
展开整理得.
,解得.故选：C
4．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，
因为平面向量与的夹角是，且所以
故选：C
5．（2023·人大附中三模）已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
【答案】C
【详解】由题意知，
又，所以，所以，
所以，所以，所以.故选：C
6．（2023·河北衡水三模）已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为.又，所以.
所以，因为，所以与的夹角为.故选：C
7．（2023·辽宁·校联考二模）已知向量，，，则实数m的值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】D
【详解】解：因为向量，，
所以，
又因为，所以，解得，故选：D
8．（2023·湖南长沙三模）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为平面向量满足，，且与的夹角为，
则，则，即解得，所以.
故选：D
9．（2023·河南郑州·三模）若向量、满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】D
【详解】，所以，又，所以，
，
，
又，
所以，，
又，所以，故选：D．
10．（2023·湖南长沙三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为向量（2，1），（，3），
所以向量在方向上的投影向量为，故选：C
11．（2023·河南·襄城三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵，
∴，∴，∴．
故选：B.

12．（2023·河南安阳三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以
故选：C.
13．（2023·河南安阳三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，其中，
由平面向量数量积的定义可得，
，
因为为菱形的中心，则，
所以，
，因此，的最小值为.故选：C.
二、填空题
14．（2023·上海黄浦三模）已知平面向量，，若，则___．
【答案】1
【详解】由，，，可得，解之得.故答案为：1
15．（2023·河南开封三模）已知向量，，若，则______.
【答案】13
【详解】∵，，，
又∵，∴，解得.故答案为：13
16．（2023·四川内江三模）已知，且，则__________．
【答案】
【详解】因为，，因此，即，即，
所以.故答案为：
17．（2023·四川南充二模）已知为单位向量，且满足，则______.
【答案】
【详解】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，所以.故答案为：.
18．（2023·河南新乡三模）已知向量，，且，则__________．
【答案】16
【详解】因为，，所以，解得 .故答案为：16．
19．（2023·河南驻马店二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
【答案】
【详解】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．故答案为：
20．（2023·新疆阿勒泰三模）已知平面向量，满足，则________．
【答案】5
【详解】因为，则，所以.故答案为：5.
21．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则x的值为______.
【答案】1
【详解】在方向上的投影向量为，其中为与方向同向的单位向量，
则，即，解得：.故答案为：1
22．（2023·辽宁大连三模）已知平面向量，若，则__________.
【答案】
【详解】，
因为，所以，解得.故答案为：
23．（2023·四川雅安三模）已知向量与的夹角为，且，则__________．
【答案】
【详解】由，得，则.故答案为：.
24．（2023·山东烟台二模）已知向量，则与夹角的大小为_____________．
【答案】
【详解】由，得，
由，得，
即，得，
所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.
25．（2023·广东广州三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________.
【答案】
【详解】由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，所以，.
又因为，所以
,
,
,
所以.故答案为：
26．（2023·江苏盐城三模）在中，，，，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
，即的取值范围.
故答案为：.
已知非零向量，，为向量、的夹角．
考向一 平面向量的数量积的运算
考向二 平面向量的夹角
考向一 平面向量的数量积的运算
考向二 平面向量的模长
考向三 两个向量的垂直问题
考向四 两个向量的平行（共线）问题
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)
考向一 平面向量的数量积的运算
考向二 平面向量的夹角
考向一 平面向量的数量积的运算
考向二 平面向量的模长
考向三 两个向量的垂直问题
考向四 两个向量的平行（共线）问题
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
(当且仅当时等号成立)