2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题06三角函数的图像与性质-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题06三角函数的图像与性质-特训(学生版+解析)，共49页。试卷主要包含了正弦型函数的图像与性质，同角三角函数的基本关系，ω的值和取值范围问题等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 正弦型函数的图像与性质
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第6题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷理数第10题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考向二 同角三角函数的基本关系
一、填空题
1．（2023·全国乙卷文数第14题）若，则 ．
【命题意图】
1．三角函数
（1）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.
（2）理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x +cs2x = 1,
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
2．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换.科+网]
【考查要点】
三角函数作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式、图像变换、正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、三角恒等变换，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【得分要点】
高频考点：三角恒等变换、三角函数图像和性质
中频考点：三角函数的定义
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
一、单选题
1．（2021·全国乙卷理数第7题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
1．（2021·全国甲卷文数第15题）已知函数的部分图像如图所示，则 .
2．（2021·全国甲卷理数第16题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
考向二 三角恒等变换
一、单选题
1．（2021·全国乙卷文数第4题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
2．（2021·全国乙卷文数第6题）（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国甲卷理数第9题）若，则（ ）
A．B．C．D．
考向三 ω的值和取值范围问题
一、单选题
1．（2022·全国甲卷文数第5题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国甲卷理数第11题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
1．（2022·全国乙卷理数第15题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
（1）三角函数是具有周期性的基本初等函数，概念、公式定理较多，有些地方容易混淆，复习时要引导学生建立知识网络对知识进行梳理，掌握知识体系。
（2）弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法。
（3三角函数有时会涉及与其他知识综合考查的问题以及与之相关的实际应用问题，解决此类问题需要具备基本的建模能力，能将问题符号化和图形化，将所求问题转化成我们熟悉的问题并用学过的知识进行解决。预计2024年主要还是考查正弦（余弦）型函数的图像与性质与三角恒等变换。
一、单选题
1．（2023·河南开封三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京密云三模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
3．（2023·河南·襄城三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·襄城三模）将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·北京大兴三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
6．（2023·福建福州三模）已知，若，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．0D．或0
7．（2023·山西吕梁三模）已知，则的近似值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·北京西城三模）已知，则的值为（ ）
A．3B．－3C．D．
9．（2023·河北张家口三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·山东烟台三模）已知满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·山西大同模拟预测）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
13．（2023·河北衡水三模）函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．－2B．－1C．0D．
14．（2023·天津滨海三模）设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．方程在区间 上的根的个数共有6个
15．（2023·北京海淀三模）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·湖北黄冈三模）将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到函数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·河南安阳三模）已知函数 的最小正周期为，，且在区间内有极小值无极大值，则（ ）
A．B．C．D．2
18．（2023·湖南长沙二模）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
19．（2023·江西师大三模）已知函数部分图像如下，将的图像向右平移个单位得到的图像，则下列关于的成立的是（ ）

A．图像关于轴对称B．图像关于中心对称
C．在上单调递增D．在上最小值为
20．（2023·浙江模拟预测）已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
21．（2023·陕西西安三模）已知，则 ．
22．（2023·山东济宁三模）已知，则 .
23．（2023·安徽阜阳三模）已知函数具有下列三个性质：①图象关于对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为，则满足条件的一个函数 .
24．（2023·山东德州·三模）若为锐角，且，则 ．
25．（2023·上海嘉定三模）函数，的值域是 .
26．（2023·辽宁·朝阳市三模）若，则的值为 ．
27．（2023·河南·襄城三模）若，则 .
28．（2023·四川成都三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
29．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 .
30．（2023·全国·校联考三模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是 .
31．（2023·福建福州模拟预测）已知函数，且在区间上单调递增，则的取值范围为 .
32．（2023·上海黄浦三模）已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是 ．
33．（2023·河南·襄城三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
34．（2023·湖北武汉三模）已知函数，，则函数的最小值为 .
35．（2023·北京海淀三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为 .
36．（2023·福建福州三模）函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .

37．（2023·吉林·统考三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
38．（2023·上海黄浦三模）若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ．
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
3．拆分角的变形：①；；②；
③；④；⑤．
4．对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
5．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题06 三角函数的图像与性质
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 正弦型函数的图像与性质
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第6题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D.
2．（2023·全国甲卷理数第10题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.
考向二 同角三角函数的基本关系
一、填空题
1．（2023·全国乙卷文数第14题）若，则 ．
【答案】
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.故答案为：.
【命题意图】
1．三角函数
（1）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.
（2）理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x +cs2x = 1,
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
2．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换.科+网]
【考查要点】
三角函数作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式、图像变换、正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、三角恒等变换，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【得分要点】
高频考点：三角恒等变换、三角函数图像和性质
中频考点：三角函数的定义
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
一、单选题
1．（2021·全国乙卷理数第7题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
二、填空题
1．（2021·全国甲卷文数第15题）已知函数的部分图像如图所示，则 .
【答案】
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.故答案为：.
2．（2021·全国甲卷理数第16题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.
考向二 三角恒等变换
一、单选题
1．（2021·全国乙卷文数第4题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】C
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
2．（2021·全国乙卷文数第6题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
.故选：D.
3．（2021·全国甲卷理数第9题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，
，，，解得，
，.故选：A.
考向三 ω的值和取值范围问题
一、单选题
1．（2022·全国甲卷文数第5题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
2．（2022·全国甲卷理数第11题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．
二、填空题
1．（2022·全国乙卷理数第15题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；故答案为：
（1）三角函数是具有周期性的基本初等函数，概念、公式定理较多，有些地方容易混淆，复习时要引导学生建立知识网络对知识进行梳理，掌握知识体系。
（2）弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法。
（3三角函数有时会涉及与其他知识综合考查的问题以及与之相关的实际应用问题，解决此类问题需要具备基本的建模能力，能将问题符号化和图形化，将所求问题转化成我们熟悉的问题并用学过的知识进行解决。预计2024年主要还是考查正弦（余弦）型函数的图像与性质与三角恒等变换。
一、单选题
1．（2023·河南开封三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，所以.故选：B.
2．（2023·北京密云三模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【详解】因为.
对于A选项，当时，
在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
故B错；
对于C选项，当时，
则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，
则在上单调递减，故D错.故选：C.
3．（2023·河南·襄城三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得，，
因为，所以，
所以，
即，所以.故选：B
4．（2023·河南·襄城三模）将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，
再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．
当时，，．故选：C.
5．（2023·北京大兴三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】因为，
所以将向右平移个单位得到.故选：D
6．（2023·福建福州三模）已知，若，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．0D．或0
【答案】B
【详解】得，进而可得，
由于，所以 ，故，
又，故选：B
7．（2023·山西吕梁三模）已知，则的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以
.故选：B
8．（2023·北京西城三模）已知，则的值为（ ）
A．3B．－3C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，故选：B
9．（2023·河北张家口三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，即，，
所以.故选：B
10．（2023·山东烟台三模）已知满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
即，
显然，两边同除得：
，
，
即，易知，
则，故选：A.
11．（2023·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】时，，，因此由题意，解得．故选：A．
12．（2023·山西大同模拟预测）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】由已知可得，
即，
所以关于对称，
故，，
所以，又，
所以时，取最小值为．故选：A．
13．（2023·河北衡水三模）函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．－2B．－1C．0D．
【答案】C
【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，
即．
因为，所以，
所以，
所以．故答案为：C
14．（2023·天津滨海三模）设函数，若时，的最小值为.则下列选项正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．方程在区间 上的根的个数共有6个
【答案】D
【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误；
B选项，由A可知，.则将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为偶函数，故B错误；
C选项，当时，，因在上单调递增，在上单调递减，则，故C错误；
D选项，时，，则当时，，则在区间 上的根的个数共有6个，故D正确.故选：D
15．（2023·北京海淀三模）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，
则图象的解析式为，
由的一条对称轴是直线，可得，
即，则
则，即，
则的一个可能取值是.故选：C
16．（2023·湖北黄冈三模）将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到函数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到，
若存在，使得对任意恒成立，
所以关于点对称，
则，，解得，，
因为，所以.故选：C
17．（2023·河南安阳三模）已知函数 的最小正周期为，，且在区间内有极小值无极大值，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为，
由题意可得：，
，
即 ，
由题意可得,
解得，
即
存在的充要条件是 ，即，
，
又，且，
则点与点关于直线对称，
.故选：A.
18．（2023·湖南长沙二模）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【详解】因为恒有，所以当时取得最大值，
所以，得.
因为在上单调递增，所以,即，得.
因为，所以.
因为在上单调递增，
所以,得.
所以，且，，解得，.故.故选：B.
19．（2023·江西师大三模）已知函数部分图像如下，将的图像向右平移个单位得到的图像，则下列关于的成立的是（ ）

A．图像关于轴对称B．图像关于中心对称
C．在上单调递增D．在上最小值为
【答案】D
【详解】依题意，由图可知，则，
所以，又，所以，则，
又，则，
结合的图像在下降的趋势可得：，即，
因为，所以，所以，
因为将的图像向右平移个单位得到的图像，
所以，
对于A，显然不是偶函数，则的图像不关于轴对称，故A错误；
对于B，，故的图像不关于中心对称，故B错误；
对于C，因为，则，所以在不单调，故C错误；
对于D，因为，则，所以，
故当时，在上取得最小值，故D正确.故选：D.
20．（2023·浙江模拟预测）已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，因为函数在上恰有1个零点，即转化为，只有1个零点，
故可得（），即（），
又，要使上述方程组有解，则需（），
所以（），故，当时，，当时，，故选：B；
二、填空题
21．（2023·陕西西安三模）已知，则 ．
【答案】
【详解】
，故答案为：
22．（2023·山东济宁三模）已知，则 .
【答案】
【详解】因为，
则.故答案为：.
23．（2023·安徽阜阳三模）已知函数具有下列三个性质：①图象关于对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为，则满足条件的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）.
【详解】由③可得，由①可得，
再由②可知时，，
则，，故为奇数时符合条件，
不妨令，则，A=1，此时.故答案为：.
24．（2023·山东德州·三模）若为锐角，且，则 ．
【答案】2
【详解】因为，
所以
，故答案为：2
25．（2023·上海嘉定三模）函数，的值域是 .
【答案】
【详解】，且，，
，，
因此函数在的值域是.故答案为：.
26．（2023·辽宁·朝阳市三模）若，则的值为 ．
【答案】或
【详解】因为，则，
则，即，解得，
所以的值为或.故答案为：或
27．（2023·河南·襄城三模）若，则 .
【答案】
【详解】，即，
得，所以.故答案为：.
28．（2023·四川成都三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则 .
【答案】1
【详解】令函数，得，
所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，
又因为是的最小正零点，所以，
即，所以，，解得，，
又，所以，即，
所以．故答案为：．
29．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题可得，
的图象关于点对称，
所以，解得，
，故的最小值为.故答案为：.
30．（2023·全国·校联考三模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】将函数的图像先向右平移个单位长度，得到函数的图像，
再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
当时，.由在上没有零点，得，
即，解得或.故答案为：.
31．（2023·福建福州模拟预测）已知函数，且在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，当时，，
因为函数在区间上单调递增，
则，
所以，，其中，解得，
所以，，解得，
因为，且，则.
当时，；当时，.
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
32．（2023·上海黄浦三模）已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时， ，
又因为在上是严格增函数，
所以且，即，，
又，取，得到，
当时，，又，所以，
又该函数在上有最小值，所以，得到，
综上所述，.故答案为：.
33．（2023·河南·襄城三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
【答案】
【详解】当时，，由在区间上单调递减，
得，解得,
因为，所以．
因为为偶函数，
所以，，
解得，，又，所以．故答案为：.
34．（2023·湖北武汉三模）已知函数，，则函数的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
记，，
则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
故当时，函数有最小值为，故答案为：
35．（2023·北京海淀三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为 .
【答案】2(答案不唯一)
【详解】由，则，
因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数，
所以必有，解得，
由图象完全位于直线与之间，
所以且，
即恒成立，所以，综上，.故答案为：2(答案不唯一)
36．（2023·福建福州三模）函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .

【答案】3（答案不唯一，符合的正整数均可）
【详解】由图可知：，
由于可由的图象向左平移个单位得到，根据的一个对称中心为 ，而的一个对称中心为，故，此时，又,故，

由得，
即，
因此 ,解得，
不妨取，则，由于为正整数，故可取 ，
故答案为：3（答案不唯一，符合的正整数均可）
37．（2023·吉林·统考三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】（注：可以用不等关系表示）
【详解】函数，
当时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
则有或，
解得，当时，有解；
或，当时，有解.
实数的取值范围是.故答案为：
38．（2023·上海黄浦三模）若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】（ⅰ）当函数在闭区间内无最值，则函数在内单调，
不妨取，可知，在内单调递增，
可知，
且，则，则，
所以，即，
可得，即
①若，，则最大值和最小值的差为，符合题意；
②若，，
则，
因为，则，可得，
故，可得，
且，，则，可得；
③若，，
则，
因为，则，可得，
故，可得，
且，，则，可得；
综上所述：；
（ⅱ）当函数在闭区间内有最值，不妨取最大值1，最小值为0，
由图象可知：不妨取，当时，取到最大值；
当时，取到最小值；
可得；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.

1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
3．拆分角的变形：①；；②；
③；④；⑤．
4．对称与周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
5．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
考向二 同角三角函数的基本关系
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 ω的值和取值范围问题
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
考向二 同角三角函数的基本关系
考向一 正弦（余弦）型函数的图像与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 ω的值和取值范围问题