2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题08数列-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题08数列-特训(学生版+解析)，共72页。试卷主要包含了等差数列，等比数列，数列求和，数列的证明等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 等差数列
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第10题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
2．（2023·全国甲卷文数第5题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
考向二 等比数列
一、单选题
1．（2023·全国甲卷理数第5题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
二、填空题
2．（2023·全国乙卷理数第15题）已知为等比数列，，，则 .
3．（2023·全国甲卷文数第13题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
考向三 数列求和
一、解答题
1．（2023·全国乙卷文数第18题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．（2023·全国甲卷理数第17题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【命题意图】
1．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
【考查要点】
数列部分高考题一般以中等难度试题为主，占高考试卷的分数一般在10~17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握；由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想；通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题考查考生的数学抽象以及数学探究、数学建模等素养。
【得分要点】
高频考点：
（1）数列自身内部问题的综合考杳
如数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前，项和公式、数列求和；
（2）构造新数列求通项、求和
如“归纳、累加、累乘，分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创新；
（3）综合性问题
如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活相关的应用问题以及结构不良问题。
考向一 等差数列
一、填空题
1．（2022·全国乙卷文数第13题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
二、解答题
2．（2022·全国甲卷理数第17题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
考向二 等比数列
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第8题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
2．（2021·全国甲卷文数第9题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
考向三 数列的增减性
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国理卷文数第7题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考向四 数列的证明
一、解答题
1．（2021·全国甲卷文数第18题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
2．（2021·全国甲卷理数第18题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3．（2021·全国乙卷理数第19题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
考向五 数列求和
一、解答题
1．（2021·全国乙卷文数第19题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近几年的高考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。
（1)对数列的概念及表示法的理解和应用；
（2）等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；
（3）会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；
（4）通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项和；
（5）数列与不等式、两数等的交汇问题；
（6）关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活相关的数列的应用问题；
（7）结构不良试题、举例问题等创新题型。
一、单选题
1．（2023·湖南长沙二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽安庆三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
3．（2023·福建福州三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
4．（2023·江苏镇江三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·重庆三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江西师大附中三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
7．（2023·陕西宝鸡二模）在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（ ）
A．B．C．92D．184
8．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·北京海淀三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2023·北京大兴三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）

A．B．C．D．
11．（2023·北京大兴三模）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．（2023·福建福州二模）已知等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．3
13．（2023·广东广州三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
14．（2023·北京通州三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
15．（2023·湖北黄冈二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
16．（2023·北京丰台三模）设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件
17．（2023·福建福州三模）数列中，，点 在双曲线上.若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
18．（2023·河北张家口三模）已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·湖北武汉三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
20．（2023·山西阳泉三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·湖南岳阳三模）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．数列单调递减
C．当时，取得最小值D．时，n的最小值为7
三、填空题
22．（2023·河北三模）若数列为等比数列，则 ．
23．（2023·人大附中三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则 ．
24．（2023·广西南宁三模）已知数列的前项和，则 ．
25．（2023·上海虹口三模）已知等比数列中，若成等差数列，则 ．
26．（2023·重庆三模）已知数列满足：对任意的正整数m，n，都有，且，则 ．
27．（2023·湖南长沙三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
28．（2023·河南三模）已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ．
29．（2023·云南三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
30．（2023·上海浦东三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 .
四、解答题
31．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
32．（2023·河北张家口三模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
33．（2023·河北衡水三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
34．（2023·福建福州三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
35．（2023·广东东莞三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
36．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的的最小值.
37．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
(2)设数列，求出数列的前项和．
38．（2023·江西师大附中三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
39．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
40．（2023·河北三模）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
41．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
42．（2023·上海嘉定三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
43．（2023·江苏镇江三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
44．（2023·广东汕头三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
45．（2023·广东广州三模）已知整数数列是等差数列，数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前20项和.
一、数列的概念
1.若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.在数列中，若最大，则若最小，则
二、等差数列
1.等差数列中，若，则．
2.等差数列中，若，则．
3.等差数列中，若，则．
4.若与为等差数列，且前项和为与，则．
三、等比数列
1.若，则．
2.若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4.公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
5.为等比数列，若，则成等比数列．
四、数列通项公式和数列求和
1.累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
2.累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
3.常见的裂项技巧
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
4.常见放缩公式
（1）；
（2）；
（3）；
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题08 数列
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 等差数列
一、单选题
1．（2023·全国乙卷理数第10题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.故选：B
2．（2023·全国甲卷文数第5题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，所以．故选：C.
考向二 等比数列
一、单选题
1．（2023·全国甲卷理数第5题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.故选:C.
二、填空题
2．（2023·全国乙卷理数第15题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，故答案为：.
3．（2023·全国甲卷文数第13题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，解得.故答案为：
考向三 数列求和
一、解答题
1．（2023·全国乙卷文数第18题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
2．（2023·全国甲卷理数第17题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
【命题意图】
1．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
【考查要点】
数列部分高考题一般以中等难度试题为主，占高考试卷的分数一般在10~17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握；由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想；通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题考查考生的数学抽象以及数学探究、数学建模等素养。
【得分要点】
高频考点：
（1）数列自身内部问题的综合考杳
如数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前，项和公式、数列求和；
（2）构造新数列求通项、求和
如“归纳、累加、累乘，分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创新；
（3）综合性问题
如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活相关的应用问题以及结构不良问题。
考向一 等差数列
一、填空题
1．（2022·全国乙卷文数第13题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.故答案为：2.
二、解答题
2．（2022·全国甲卷理数第17题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
考向二 等比数列
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第8题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.故选：D.
2．（2021·全国甲卷文数第9题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.故选：A.
考向三 数列的增减性
一、单选题
1．（2022·全国乙卷理数第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
2．（2021·全国理卷文数第7题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
考向四 数列的证明
一、解答题
1．（2021·全国甲卷文数第18题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴∴是等差数列.
2．（2021·全国甲卷理数第18题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
3．（2021·全国乙卷理数第19题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.
考向五 数列求和
一、解答题
1．（2021·全国乙卷文数第19题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练，培养考生逻辑恩维、运算求解能力。从近几年的高考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等。重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面。
（1)对数列的概念及表示法的理解和应用；
（2）等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或者利用它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深人剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解数列的问题；
（3）会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；
（4）通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项和；
（5）数列与不等式、两数等的交汇问题；
（6）关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养考生的阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活相关的数列的应用问题；
（7）结构不良试题、举例问题等创新题型。
一、单选题
1．（2023·湖南长沙二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
所以，解得.
，，解得.故选：D
2．（2023·安徽安庆三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【详解】由可得，又，
故，则，解得，即.故选：D
3．（2023·福建福州三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
【答案】C
【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，
设第一个音为，所以，故，
因为，所以. 故选：C
4．（2023·江苏镇江三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，
所以；
当时，，所以，所以，
所以；
综上，的最小值为.故选：B
5．（2023·重庆三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.故选：A
6．（2023·江西师大附中三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
【答案】C
【详解】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第
即得到的数列的第项为数列的第项，
因为，可得，
所以.故选：C.
7．（2023·陕西宝鸡二模）在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（ ）
A．B．C．92D．184
【答案】C
【详解】，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．
8．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，，得，
当时，，，，
，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，.故选：C
9．（2023·北京海淀三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为，所以且，则，
若，不妨令，则，，，，，，
显然不单调，故充分性不成立，
若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，
若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；
所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，
故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.故选：B
10．（2023·北京大兴三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设各层球数构成一个数列，，，，…，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
时，，，，…，，
以上各式相加可得
，所以，
且，所以，
所以，，则.故选：B.
11．（2023·北京大兴三模）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现.其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】对于①，例如，
当时，，故①不正确；
对于②，例如，则恒成立，故②不正确；
对于③，由① ，
，故③不正确；
对于④，若，
则，
即，因为，所以，由，
所以数列中一定不可能出现，故④正确；故选：B.
12．（2023·福建福州二模）已知等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，则，解得：或，
当或时，，
，故选：A.
13．（2023·广东广州三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
【答案】C
【详解】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
故，
故．故选：C．
14．（2023·北京通州三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【详解】因为，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，，
所以数列的周期为，则.故选：C
15．（2023·湖北黄冈二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【详解】等差数列，，，
，，则取最大值时，.故选：A.
16．（2023·北京丰台三模）设数列的前项的和为，若是首项为正数、公比为的等比数列，则“”是“对任意的，都有”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】依题意，，若，则，，
此时不满足对任意的，都有，所以，则，
若对任意的，都有，则，所以，
则，即，
所以，则，即，
所以，依题意，任意的，，
因为函数在单调递减，值域是，
因此，解得，所以，
故是“对任意的，都有”的充分且必要条件.故选：C
17．（2023·福建福州三模）数列中，，点 在双曲线上.若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，
因为点 在双曲线上，则，
且，可得，
可知为递减数列，且，则为递减数列，
可得，且，可得，
记点，则为直线的斜率，记，
由双曲线的性质可知：因为为递减数列，直线的斜率为递减数列，即，
且随着增大，直线越接近渐近线，故接近于，所以，则.故选：C.
二、多选题
18．（2023·河北张家口三模）已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，由，，可得，，
当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故A不正确；
对于B，由，得，又，所以，
当时，，当时，，当时，，
所以当或时，取得最大值，故B正确；
对于C，由，，得，，，
，又，递减，所以当时，取最大值，故C正确；
对于D，由，，得，，，，
所以数列的周期为，故不存在最大值，故D不正确.故选：BC
19．（2023·湖北武汉三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.
20．（2023·山西阳泉三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】解：因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，
因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，，
，故选：ABD
21．（2023·湖南岳阳三模）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．数列单调递减
C．当时，取得最小值D．时，n的最小值为7
【答案】AC
【详解】由，得，
，
解得，
当时，满足上式，所以
当时，所以，故A正确；
当时，单调递增，又
所以数列单调递增，且，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，且，
所以当时，取得最小值，故B错误，C正确；
又故D错误．故选：AC．
三、填空题
22．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则 ．
【答案】4
【详解】由题意得，，解得，，
故.故答案为：4
23．（2023·人大附中校考三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则 ．
【答案】1
【详解】在等比数列中，成等差数列，则，
即，而，整理得，因为，故解得故答案为：1
24．（2023·广西南宁三模）已知数列的前项和，则 ．
【答案】387
【详解】由，得．故答案为：387．
25．（2023·上海虹口三模）已知等比数列中，若成等差数列，则 ．
【答案】4
【详解】设等比数列的公比为，因为， 成等差数列，
所以，所以，且，
所以，解得或，
为保证 有意义，则，所以，
所以．故答案为：4．
26．（2023·重庆三模）已知数列满足：对任意的正整数m，n，都有，且，则 ．
【答案】
【分析】赋值直接计算即可.
【详解】由题意，令，得，
令，得，
令，，得.故答案为：
27．（2023·湖南长沙三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为，，且，所以，
则，，，，，，
发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，
则，，所以.故答案为：.
28．（2023·河南三模）已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ．
【答案】
【详解】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
又且，显然也满足上式，
所以.故答案为：
29．（2023·云南三模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以，则
所以为递增的等差数列，且，
所以，即当取最小值时，的值为.故答案为：
30．（2023·上海浦东三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 .
【答案】7
【详解】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，故答案为：7
四、解答题
31．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
【答案】(1)；
(2)40或37．
【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得，
由，，成等差数列，得，即，解得，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，，
当k为偶数时，，令，得；
当k为奇数时，，令，得，
所以或37.
32．（2023·河北张家口三模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意，数列满足，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，所以，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）解：令，由，
可得，
所以，
因为，可得，所以.
33．（2023·河北衡水三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
34．（2023·福建福州三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，
，，
35．（2023·广东东莞三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
36．（2023·河南·襄城三模）在等比数列中，，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的的最小值.
【答案】(1)
(2)7
【详解】（1）设的公比为，由，则，解得.
成等差数列，.
得，解得，
.
（2），则有，，
则是以4为首项，2为公差的等差数列，
，
令，得，解得或，
又，的最小值为7.
37．（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列的通项公式；
(2)设数列，求出数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以，即，因为，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
化简得.
38．（2023·江西师大附中三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
39．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
40．（2023·河北三模）已知等差数列，首项，其前项和为，点在斜率为1的直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明详见解析.
【详解】（1）设斜率为1的直线为，则，
当时，，所以，因为，所以，
所以，
当时，，
所以，经检验，也成立.
所以.
（2）证明：由（1）可得，，
则
，
因为，
所以数列是一个单调递增数列，
又因为，且当时，.所以.
41．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【详解】（1）由已知，
所以，
相除得；
又，
所以，
所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，
由得，
由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，所以，
所以存在正数使得数列是等比数列.
42．（2023·上海嘉定三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上，
可得，即，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）解：不存在.
理由：由（1）得，
当时，可得，
又因为，所以，
反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增，
假设存在使得成等差数列，
可得，即，
两边同除以，可得
因为是偶数，是奇数，所以，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
43．（2023·江苏镇江三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
44．（2023·广东汕头三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析
(2)数列是“紧密数列”，理由见解析
(3)
【详解】（1），所以不是“紧密数列”；
（2）数列为“紧密"数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，因此，
所以对任意，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，
所以，满足题意；
当时.，
因为为“紧密"数列，所以.即或，
当时，，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密"数列；
综上，实数的取值范围是.
45．（2023·广东广州三模）已知整数数列是等差数列，数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，.
又因为，所以.
设，则.
依题意，，
得恒成立解得，所以，.
（2）
…①
…②
①-②，得
即
时，，，所以；
时，，所以，所以，所以.
一、数列的概念
1.若数列的前项和为，通项公式为，则
注意：根据求时，不要忽视对的验证．
2.在数列中，若最大，则若最小，则
二、等差数列
1.等差数列中，若，则．
2.等差数列中，若，则．
3.等差数列中，若，则．
4.若与为等差数列，且前项和为与，则．
三、等比数列
1.若，则．
2.若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
3.在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
4.公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．
5.为等比数列，若，则成等比数列．
四、数列通项公式和数列求和
1.累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
2.累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
3.常见的裂项技巧
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
4.常见放缩公式
（1）；
（2）；
（3）；
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列求和
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列的增减性
考向四 数列的证明
考向五 数列求和
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列求和
考向一 等差数列
考向二 等比数列
考向三 数列的增减性
考向四 数列的证明
考向五 数列求和