2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题11平面解析几何-特训(学生版+解析)

这是一份2023年高考数学真题题源解密(全国卷)专题11平面解析几何-特训(学生版+解析)，共176页。试卷主要包含了直线与圆，椭圆，双曲线，抛物线等内容，欢迎下载使用。
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 直线与圆
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第11题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
考向二 椭圆
一、单选题
1．（2023·全国甲卷文数第7题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
2．（2023·全国甲卷理数第20题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
3．（2023·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
考向三 双曲线
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第12题/理数第11题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷文数第9题/理数第8题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
考向四 抛物线
一、填空题
1．（2023·全国乙卷文数第13题/理数第13题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
二、解答题
2．（2023·全国甲卷文数第21题/理数第20题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【命题意图】
1.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
2.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
4.曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
【考查要点】
从近三年的高考数学来看，本专题考查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养．
（1）高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合，如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和几何性质、直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心率问题、弦长问题等。仔细对比可以发现，每年的高考试题大都由课本习题改编而来，源于课本，又高于课本。
（2）重视圆锥曲线的定义及其几何性质，切实提升自身利用数形结合思想与转化思想解决问题的能力。代数法(坐标法)是解决解析几何问题的通性通法，但解析几何问题的本质是几何问题，利用题干图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果。纵观近三年的高考试题，很多题目都离不开图形分析，而且需要自己作图。因此在平时的教学中，要训练自身准确作图和识图能力，培养其数形转化意识，提升解题能力和效率。
（3）解析几何的试题一般人口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”。为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差昇和联系，找到自己最擅长的方法。要达到这样的目的，关键是对问题本质的把握。只有多角度审视，看清问题的实质，才能发现最佳的突破口。
（4）加大训练力度，侧重培养考生逻辑思维能力和运算求解能力。
解析几何问题是中学数学的综合应用问题。对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高。好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的.因此在平面解析几何专题复习过程中，提升自身的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要。
【得分要点】
高频考点：直线与方程、圆与方程、椭圆、抛物线、双曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其综合问题。
考向一 直线与圆
一、填空题
1．（2022·全国乙卷文数第15题/理数第14题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
2．（2022·全国甲卷文数第14题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
考向二 椭圆
一、单选题
1．（2022·全国甲卷文数第11题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国甲卷理数第10题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国乙卷文数第11题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2021·全国乙卷理数第11题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2021·全国甲卷文数第16题/理数第15题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
三、解答题
6．（2022·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
考向三 双曲线
一、单选题
1．（2021·全国甲卷文数第5题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国甲卷理数第5题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022·全国乙卷理数第11题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2022·全国甲卷文数第15题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
5．（2022·全国甲卷理数第14题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
6．（2021·全国乙卷文数第14题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
7．（2021·全国乙卷理数第13题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
考向四 抛物线
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第6题/理数第5题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
二、解答题
2．（2022·全国甲卷文数第21题/理数第20题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
3．（2021·全国乙卷文数第20题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
4．（2021·全国乙卷理数第21题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
5．（2021·全国甲卷文数第21题/理数第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。每年高考卷的必考题，一般是两小一大，从题目位置看相难度有适当降低。分析近三年高考试题不难发现，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。
（1）基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方法的考查，增强了考查内容的基础性；同时通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验的全面覆盖，考查考生逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力。
（2）综合性和应用性：解析几何涉及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识点街接起来，如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或者结合平面向量、函数（三角函数）、不等式等学科内容进行考查。要求考生从整体上把握各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识、原理和方法来分析和解决问题。
（3）创新性和选拔性：创新意识是理性思维的高层次表现。分析近三年高考题发现其重点考查的学科素养是理性思维和数学探索。高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学科特点，加强对考生创新能力的考查。主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立思考和批判性思维能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查考生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出具有一定跨度和挑战性的问题，引导考生进行深人思考和探究，展现考生分析问题和解决问题的思维过程，以考查考生数学应用与数学探索学科素养，体现选拔功能。
一、单选题
1．（2023·四川成都三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·青海西宁二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津滨海三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．（2023·广东深圳二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·广东梅州三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
6．（2023·江苏镇江三模）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．5
7．（2023·河南开封三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
8．（2023·广东梅州三模）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·山东菏泽三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·北京大兴三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·广东珠海三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．2
13．（2023·广东广州三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·河南·襄城三模）已知点P在抛物线上，直线与抛物线C交于A，B两点（均不与P重合），且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·广东广州三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·浙江温州二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·河南·襄城三模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·辽宁辽阳二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·湖南长沙二模）若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（ ）
A．或2B．0或2C．0D．2
20．（2023·湖南长沙二模）双曲线（，）的上支与焦点为F的抛物线（）交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
21．（2023·福建福州二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
22．（2023·四川·成都三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
23．（2023·湖南益阳三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
24．（2023·河北三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
25．（2023·福建宁德二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
26．（2023·福建宁德二模）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ）
A．B．4C．D．6
27．（2023·广东东莞三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
28．（2023·湖南益阳三模）已知直线过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，，，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为
29．（2023·河北衡水三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
30．（2023·广东茂名三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
31．（2023·广东深圳二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
32．（2023·海南海口二模）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（ ）
A．B．
C．直线的斜率为D．
33．（2023·江苏镇江三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
34．（2023·福建福州三模）抛物线C：，AB是C的焦点弦（ ）
A．点P在C的准线上，则的最小值为0
B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C．若AB的斜率，则△ABO的面积
D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切
35．（2023·河北张家口三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
三、填空题
36．（2023·上海长宁三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 .
37．（2023·广东东莞三模）若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为 .
38．（2023·河南三模）我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程 ．
39．（2023·海南海口二模）已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程： ．
40．（2023·四川绵阳三模）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
41．（2023·广东梅州三模）写出一个过点且与直线相切的圆的方程： .
42．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
43．（2023·山东菏泽三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
44．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 .
45．（2023·北京大兴三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
46．（2023·河北衡水三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为 ．
47．（2023·上海嘉定三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是 .
48．（2023·江苏金陵三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是 .
49．（2023·山东烟台三模）设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则 ．
50．（2023·上海闵行三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 .
51．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点.若，则C的离心率为 .
52．（2023·上海宝山三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
53．（2023·河南·襄城三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
54．（2023·上海虹口三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ．
55．（2023·云南三模）已知抛物线上有一点，过点作圆的两条切线分别交抛物线于两点（异于点），则直线的斜率为 .
56．（2023·湖南益阳三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
57．（2023·广东茂名三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
58．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .
59．（2023·四川绵阳二模）双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则 .
60．（2023·北京西城三模）已知曲线．
①若为曲线上一点，则；
②曲线在处的切线斜率为0；
③与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
61．（2023·河北三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等．
62．（2023·河南·襄城三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
63．（2023·云南三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；
(2)求证：.
64．（2023·内蒙古呼和浩特二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；
(2)若，且恰好被平分，求的面积．
65．（2023·浙江三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
66．（2023·河南信阳三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
67．（2023·湖南长沙二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．
68．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
69．（2023·福建宁德二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点．试判断圆与直线的位置关系并说明理由．
70．（2023·海南海口二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
71．（2023·广东汕头三模）已知拋物线和，其中.与在第一象限内的交点为.与在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线的夹角.
(1)若的夹角为，，求的值；
(2)若直线既是也是的切线，切点分别为，当为直角三角形时，求出相应的值.
72．（2023·上海长宁三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标；
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.
73．（2023·河南·襄城三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
74．（2023·山东菏泽三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．
75．（2023·北京密云三模）椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)点M，N在C上，且.证明：直线MN过定点.
76．（2023·四川·成都三模）设椭圆过点，且左焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．
77．（2023·湖南长沙三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
78．（2023·广东茂名三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
79．（2023·河北张家口三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
80．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
81．（2023·云南曲靖三模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
82．（2023·广东梅州三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
83．（2023·天津滨海三模）已知椭圆的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)点Q在线段AE上，，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
（i）求直线PF的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
84．（2023·四川成都三模）设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.
85．（2023·福建福州三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
1.椭圆
2.双曲线
3.抛物线
【其他结论】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
2023年高考数学真题题源解密（全国卷）
专题11 平面解析几何
目录一览
①2023真题展现
②真题考查解读
③近年真题对比
④命题规律解密
⑤名校模拟探源
⑥易错易混速记
考向一 直线与圆
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第11题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得，故选：C.
考向二 椭圆
一、单选题
1．（2023·全国甲卷文数第7题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．故选：B.
2．（2023·全国甲卷理数第20题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．
二、解答题
1．（2023·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
考向三 双曲线
一、单选题
1．（2023·全国乙卷文数第12题/理数第11题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.
2．（2023·全国甲卷文数第9题/理数第8题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.故选：D
考向四 抛物线
一、填空题
1．（2023·全国乙卷文数第13题/理数第13题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.
二、解答题
2．（2023·全国甲卷文数第21题/理数第20题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【命题意图】
1.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
2.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
3.圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)了解圆锥曲线的简单应用.
(5)理解数形结合的思想.
4.曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
【考查要点】
从近三年的高考数学来看，本专题考查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养．
（1）高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合，如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和几何性质、直线与曲线位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心率问题、弦长问题等。仔细对比可以发现，每年的高考试题大都由课本习题改编而来，源于课本，又高于课本。
（2）重视圆锥曲线的定义及其几何性质，切实提升自身利用数形结合思想与转化思想解决问题的能力。代数法(坐标法)是解决解析几何问题的通性通法，但解析几何问题的本质是几何问题，利用题干图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果。纵观近三年的高考试题，很多题目都离不开图形分析，而且需要自己作图。因此在平时的教学中，要训练自身准确作图和识图能力，培养其数形转化意识，提升解题能力和效率。
（3）解析几何的试题一般人口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”。为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差昇和联系，找到自己最擅长的方法。要达到这样的目的，关键是对问题本质的把握。只有多角度审视，看清问题的实质，才能发现最佳的突破口。
（4）加大训练力度，侧重培养考生逻辑思维能力和运算求解能力。
解析几何问题是中学数学的综合应用问题。对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高。好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的.因此在平面解析几何专题复习过程中，提升自身的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要。
【得分要点】
高频考点：直线与方程、圆与方程、椭圆、抛物线、双曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其综合问题。
考向一 直线与圆
一、填空题
1．（2022·全国乙卷文数第15题/理数第14题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
2．（2022·全国甲卷文数第14题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.故答案为：
考向二 椭圆
一、单选题
1．（2022·全国甲卷文数第11题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.故选：B.
2．（2022·全国甲卷理数第10题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故所以椭圆的离心率，故选A.
3．（2021·全国乙卷文数第11题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．故选：A．
4．（2021·全国乙卷理数第11题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．故选：C．
二、填空题
5．（2021·全国甲卷文数第16题/理数第15题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.故答案为：.
三、解答题
6．（2022·全国乙卷文数第21题/理数第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
考向三 双曲线
一、单选题
1．（2021·全国甲卷文数第5题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.
2．（2021·全国甲卷理数第5题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.故选：A
二、多选题
3．（2022·全国乙卷理数第11题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，故选：AC.
三、填空题
4．（2022·全国甲卷文数第15题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）
5．（2022·全国甲卷理数第14题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．故答案为：．
6．（2021·全国乙卷文数第14题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.故答案为：
7．（2021·全国乙卷理数第13题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
【答案】4
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4.
考向四 抛物线
一、单选题
1．（2022·全国乙卷文数第6题/理数第5题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.故选：B
二、解答题
2．（2022·全国甲卷文数第21题/理数第20题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
3．（2021·全国乙卷文数第20题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
4．（2021·全国乙卷理数第21题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知，，设圆M上的点，则．
所以．
从而有．
因为，所以当时，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到．
过P作y轴的平行线交于Q，则．
．
P点在圆M上，则
．
故当时的面积最大，最大值为．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为，．
设，联立和抛物线C的方程得整理得．
判别式，即，且．
抛物线C的方程为，即，有．
则，整理得，同理可得．
联立方程可得点P的坐标为，即．
将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得．
由弦长公式得．
点P到直线的距离为．
所以，
其中，即．当时，．
5．（2021·全国甲卷文数第21题/理数第20题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查考生学科素养的重要载体。每年高考卷的必考题，一般是两小一大，从题目位置看相难度有适当降低。分析近三年高考试题不难发现，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。
（1）基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方法的考查，增强了考查内容的基础性；同时通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验的全面覆盖，考查考生逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力。
（2）综合性和应用性：解析几何涉及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识点街接起来，如将直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的概念和几何性质相结合考查，或者结合平面向量、函数（三角函数）、不等式等学科内容进行考查。要求考生从整体上把握各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识、原理和方法来分析和解决问题。
（3）创新性和选拔性：创新意识是理性思维的高层次表现。分析近三年高考题发现其重点考查的学科素养是理性思维和数学探索。高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学科特点，加强对考生创新能力的考查。主要途径有：增强试题的开放性和探究性，加强独立思考和批判性思维能力的考查；通过创设新颖的试题情境，创新试题呈现方式，考查考生的阅读理解能力，体现思维的灵活度；提出具有一定跨度和挑战性的问题，引导考生进行深人思考和探究，展现考生分析问题和解决问题的思维过程，以考查考生数学应用与数学探索学科素养，体现选拔功能。
一、单选题
1．（2023·四川成都三模）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由抛物线定义可得：，解得，所以抛物线的标准方程为.
故选：C

2．（2023·青海西宁二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，
所以，所以，即，
所以椭圆的离心率.故选：D
3．（2023·天津滨海三模）点F是抛物线的焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【详解】由题，，则.因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则.故选：B
4．（2023·广东深圳二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
当最短时，直线，所以.
又，所以，
所以的方程为，即.故选：D
5．（2023·广东梅州三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，
因此为等腰三角形，底边上的高，
所以的面积为.故选：D
6．（2023·江苏镇江三模）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为：，
所以到的距离为，
不妨设则.故选：C
7．（2023·河南开封三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.故选：C.
8．（2023·广东梅州三模）已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，若抛物线在点处的切线与直线垂直，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】抛物线的焦点为，设点的坐标为，
抛物线方程变形为，由，所以抛物线在点处的切线斜率为，
由抛物线在点处的切线与直线垂直，得，即，所以.
因为点在线段上，所以，所以，解得，
所以抛物线的方程为.故选：D
9．（2023·山东菏泽三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以，该渐近线为，即，
因为该双曲线过点，所以，
将代入得，得，，，，
所以，右焦点到渐近线的距离为.故选：D
10．（2023·北京大兴三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如下图所示：

直线的斜率为，倾斜角为，故，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
易知直线交轴于点，所以，
由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，
由圆的几何性质可知，且，则，
故．故选：A
11．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，
故
,
由椭圆的范围可知，
故的最大值为，则，
即椭圆C的离心率是，故选：C
12．（2023·广东珠海三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】D
【详解】由，
得，则，
根据抛物线的定义知2，
解得，代入，得，所以的面积为.故选：D.
13．（2023·广东广州三模）若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，双曲线的一条渐近线是，则它与椭圆在第一象限的交点记为A，
椭圆的左右焦点记为F1、F2，则根据正六边形的性质知是直角三角形，且
设，所以.
由椭圆的定义，得出，
所以椭圆的离心率．故选:B．
14．（2023·河南·襄城三模）已知点P在抛物线上，直线与抛物线C交于A，B两点（均不与P重合），且直线PA，PB的倾斜角互补，设抛物线C的焦点为F，则以PF为直径的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，，，所以，，
由题意得，，即,
由消去x，可得，由，得，
所以，，所以，，即,
又，所以以PF为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的方程为，故选：C.
15．（2023·广东广州三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】抛物线的准线方程为，

圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，
因为，解得，所以，抛物线的方程为，
故抛物线的准线与圆相切于点，
若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，解得，
不妨设点在第一象限，则，则有，解得，
此时，即点，所以，，
因为点在圆上，设点，则，
所以，.故选：C.
16．（2023·浙江温州二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线斜率，
直线方程为，联立方程，
可得，
根据韦达定理：，，
因为，即，所以，
所以，
即，所以，联立，
可得，.故选：C.
17．（2023·河南·襄城三模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，作图如下：

设（不妨令），由已知可得，则，所以直线OM的方程为，
设，则（当且仅当时取“=”），所以点F到直线OM的距离为，
即圆F的半径最大值为，面积最大值为．故选：B.
18．（2023·辽宁辽阳二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．
设，则．
因为，所以，
又因为，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．故选：B.

19．（2023·湖南长沙二模）若斜率为1的直线l与曲线和圆都相切，则实数a的值为（ ）
A．或2B．0或2C．0D．2
【答案】B
【详解】设直线l与曲线的切点为，
由，则，
则，，即切点为，
所以直线l为，又直线l与圆都相切，
则有，解得或.故选：B.
20．（2023·湖南长沙二模）双曲线（，）的上支与焦点为F的抛物线（）交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】根据题意，设，，A，B在抛物线上，则，，则，又，则，即，又，消y可得，则，所以，即，所以，又，
所以.
故选：A
21．（2023·福建福州二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，由双曲线的渐近线方程为，
联立方程组，解得，
因为且另一条渐近线与直线垂直，可得，
整理得，又由，所以，
解得，所以离心率为.故选:B.

22．（2023·四川·成都三模）已知双曲线的焦点为、，渐近线为，，过点且与平行的直线交于，若在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】由双曲线的对称性，不妨设的方程为，
设双曲线的半焦距为，
因为直线与直线平行，
所以直线的方程为，又直线的方程为，
联立，可得，
故点的坐标为，
因为在以线段为直径的圆上，
所以，为坐标原点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率，故选：A.

23．（2023·湖南益阳三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【详解】是斜率为的直线，
曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，
画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，（舍去），
当直线过时，,
由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，故选：

24．（2023·河北三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
【答案】D
【详解】设为抛物线上一点，
当时，由得：，在处的切线方程为：，
即，；
同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为；
经检验，当，时，切线方程为，满足，
过抛物线上一点的切线方程为：；
设，
则抛物线在处的切线方程为和，，
点满足直线方程：，又直线过焦点，
，解得：，点必在直线上；AC错误；
由题意知：，，
，，；
设直线方程为：，
由得：，，，即，
以为直径的圆过点；B错误，D正确.故选：D.
25．（2023·福建宁德二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.
二、多选题
26．（2023·福建宁德二模）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】BCD
【详解】∵，∴点的轨迹是以为直径的圆O，半径为，
故点P是圆O与圆C的交点，
圆心和半径分别为，，
因此两圆相切或相交，即，
解得．故选：BCD

27．（2023·广东东莞三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

28．（2023·湖南益阳三模）已知直线过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设，，，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线相离
C．当时，
D．面积的取值范围为
【答案】AB
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，
由消去y得：，于是得，
，A正确；
以线段AB为直线的圆的圆心，则，点
到直线距离，
由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；
当时，有，即，而，于是得，，C不正确；
由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，
同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，
点到直线l：的距离，
于是得面积，当且仅当时取“=”，
面积的取值范围为，D不正确.故选：AB.
29．（2023·河北衡水三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
【答案】ACD
【详解】若是双曲线，则，解得，
此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；
的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，
满足题意，故选项C正确；
当时，，其顶点坐标分别为，，
设，则，故选项D正确.故选：ACD.
30．（2023·广东茂名三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，所以，解得，即D正确.故选：ABD.
31．（2023·广东深圳二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.
故选：
32．（2023·海南海口二模）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（ ）
A．B．
C．直线的斜率为D．
【答案】ACD
【详解】解：如图所示：

∵椭圆的离心率为，
∴不妨设椭圆．
∵的上顶点为，两个焦点为，
∴为等边三角形，
∵过且垂直于的直线与交于两点，
∴．故C项正确．
由等腰三角形的性质可得．
由椭圆的定义可得的周长为，
∴．故A项正确，B项错误．
对于D项，设，联立，
消去y得：，
则，
由韦达定理得，
所以，故D项正确．
故选：ACD
33．（2023·江苏镇江三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，代入，
解得，，
即，，
则，
所以，A正确；
对于C，如图，，
所以不可能是正三角形，C正确；

对于D，由题知，，
当共线时，取等号，
又点到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，D正确.
对于B，当直线的斜率大于时，
根据上图再作，
因为，所以设，，
因为都在上，
所以，，
，，
所以，
则；
当直线的斜率小于时，同理可得.
综上，直线的斜率为，B错.故选：ACD
34．（2023·福建福州三模）抛物线C：，AB是C的焦点弦（ ）
A．点P在C的准线上，则的最小值为0
B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C．若AB的斜率，则△ABO的面积
D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切
【答案】ABD
【详解】由题意可知：抛物线C：的焦点，准线，
对于选项A：根据抛物线的性质可知：以AB为直径的圆与准线相切，
若点P是以AB为直径的圆与准线的切点，则，所以；
若点P不是以AB为直径的圆与准线的切点，则为锐角，所以；
综上所述：的最小值为0，故A正确；
对于选项B：设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，
当时，取到最小值6，
此时以AB为直径的圆的面积最小，最小值为，故B正确；
对于选项C：若AB的斜率，则，直线，即，
由选项B可得：，
点到直线直线的距离，
所以△ABO的面积，故C错误；
对于选项D：由选项B可知：以AB为直径的圆的圆心为，半径，
设圆的圆心为，半径，
若圆与圆内切，则，即，
整理得，
因为对任意的恒成立，则，解得，
即圆心为，半径的圆恒与以AB为直径的圆都内切，故D正确；
故选：ABD.
35．（2023·河北张家口三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
【答案】BCD
【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.故选：BCD.

三、填空题
36．（2023·上海长宁三模）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则 .
【答案】
【详解】双曲线的右焦点为，则，.故答案为：.
37．（2023·广东东莞三模）若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为 .
【答案】1或
【详解】由题意，
在直线中，倾斜角为，
∴圆的圆心在两切线所成角的角平分线上.设圆心，
则圆的方程为：，将点的坐标代入，
得，解得：或，
∴圆的半径为1或.故答案为：1或.
38．（2023·河南三模）我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由，又，且，
不妨令，则，
焦点在x轴上，对称中心为原点的“黄金双曲线”C的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）
39．（2023·海南海口二模）已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程： ．
【答案】 （写出其中一个即可）
【详解】由得，又，所以，即．
又，所以，得．因为为正整数，所以或或，即或或，
则双曲线方程为或或．
故答案为： （写出其中一个即可）.
40．（2023·四川绵阳三模）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
【答案】
【详解】因为的圆心在曲线上，故设,
因为与直线相切,
所以到直线的距离即为半径，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.故答案为:.
41．（2023·广东梅州三模）写出一个过点且与直线相切的圆的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【详解】过点且与直线垂直的直线的方程为，设与的交点为，由，得，所以点的坐标为，故所求的一个圆可以是以为直径的圆.
因为的中点坐标为，，所以所求的一个圆的方程可以为.
故答案为：（答案不唯一）
42．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
【答案】
【详解】由双曲线的定义得，所以，
于是.

如图：当M、N、三点共线，且与点M所在的渐近线垂直时，
取得最小值，其最小值就是到渐近线的距离d，
又C的渐近线方程为，所以，故的最小值为b，
从而的最小值为，由题设知，所以，
所以.故答案为：
43．（2023·山东菏泽三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，由抛物线定义知，，，，或（舍去），
当时，，，，
解得或（舍去），抛物线的方程为，焦点，准线方程为，
焦点到直线的距离，
抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．故答案为：
44．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的左､右焦点分别为､，P为椭圆上一点（异于左右顶点），的内切圆半径为r，若r的最大值为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】设内切圆的圆心为，连接，
，
由题意可得：，
所以当取到最大值时，有最大值，且最大值为，
所以，整理可得：，
两边同时平方可得：，
所以，所以，解得：或（舍去）.
故答案为：
45．（2023·北京大兴三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
【答案】6
【详解】是抛物线的焦点，
准线方程，
设，线段的中点横坐标为2, .
，线段的长为6.故答案为：6.
46．（2023·河北衡水三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为 ．
【答案】
【详解】由题意知，解得，将直线沿着其法向量方向向右下方平移单位，
因为直线倾斜角为，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为，且与相切．
联立，得0，
所以，解得，所以，即，
所以，即的离心率为．故答案为：.

47．（2023·上海嘉定三模）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是 .
【答案】
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，

设，则，，
所以，
令，则，
所以，
所以当即时，取到最大值，
所以的最大值为，
因此，，所以的最大值是.故答案为：.
48．（2023·江苏金陵三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为抛物线：的焦点，准线：，所以圆心即为抛物线的焦点F，设，
∴，∴.
∵，
∴，，
∴，∴.故答案为：
49．（2023·山东烟台三模）设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则 ．
【答案】
【详解】由题意得,因为直线垂直于轴,,准线方程为，
所以点的横坐标为,设，
根据抛物线的定义知，解得，
则，则，可设直线的方程为，
联立抛物线方程有可得，
，则，
则，解得，则，故答案为：.

50．（2023·上海闵行三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 .
【答案】
【详解】
因为函数，直线：，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为1，直线：的斜率为，
所以两直线垂直，
所以函数图象上的点A到直线的最短距离，
即为之间的最短距离
由题意可得，.
令，解得（舍去）.
因为，取点，
所以点A到直线的距离，
则，之间的最短距离是.故答案为：
51．（2023·黑龙江哈尔滨三模）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于两点.若，则C的离心率为 .
【答案】
【详解】根据双曲线C：的对称性以及其两条渐近线关于x轴对称，
不妨设M在第一象限，
可知点关于x轴对称，则，
设，则，
即，则，
由题意得直线的方程为，
联立，即得，故,
则，所以C的离心率为，故答案为：
52．（2023·上海宝山三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】
如图：与轴焦点为，
当点在圆外，
则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点，
联立得，
由，
得，
因，所以，
故，
当点在圆上，

如图，此时与有3个或1个交点不符合题意，
当点在圆内，

如图，此时与有2个交点符合题意，
此时，，
得综上的取值范围为：.故答案为：.
53．（2023·河南·襄城三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ．
【答案】
【详解】
设双曲线的半焦距为，，根据题意得．
又，∴．
在中，由余弦定理得，，
即，解得，则．
设，，则，，
两式相减可得，
所以．
设，因为是线段的中点，所以，，
又，所以．故答案为：.
54．（2023·上海虹口三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由曲线，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，
要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，
即，当且仅当在一条直线上时，
所以的最小值为.故答案为：.
55．（2023·云南三模）已知抛物线上有一点，过点作圆的两条切线分别交抛物线于两点（异于点），则直线的斜率为 .
【答案】
【详解】设，直线的方程为：，
直线的方程为：，
因为直线与圆相切，所以，
所以
所以是方程的两根，所以，
由方程组得：，
所以同理可得：
所以直线的斜率为故答案为：.
56．（2023·湖南益阳三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【详解】双曲线双曲线：的渐近线方程为，
而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得或．
设，，则，，
则，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直线的方程为，令，可得.
故点P的坐标为.故答案为：.
57．（2023·广东茂名三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
【答案】
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.
又轴，，所以，
又抛物线，则，所以，
所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，
易得，设点，则，
则，
又直线，可化为，
则点到直线的距离，
所以.故选：B.
58．（2023·湖南长沙三模）已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .
【答案】
【详解】
因，故，，，
如图，过点分别作，，，垂足分别为，
因为的内心，
所以，
故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，
同理 ，所以三点共线，
设直线的倾斜角为，
因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，
根双曲线的对称性，不妨设，
因，
所以，
,
所以
，
因，所以，所以，故答案为：
59．（2023·四川绵阳二模）双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则 .
【答案】
【详解】因为双曲线的离心率为2，则，
因为过斜率为，所以，则，

在中，设，则，
由，解得，则，
在中，设，则，
由，解得，则，
则，在中.故答案为：
60．（2023·北京西城三模）已知曲线．
①若为曲线上一点，则；
②曲线在处的切线斜率为0；
③与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【详解】当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一部分；
当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是椭圆的一部分；
当，时，曲线的方程为 ，曲线不存在；
当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一部分；
双曲线和有一条共同的渐近线，
综上，可作出曲线的图象，如图：

由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方，
所以当在曲线上时，有，故①正确；
设过点的直线的方程是，若直线与椭圆相切，
则由得，
，得；
若直线与双曲线相切，
则由得，则且，得，
此时直线的方程是，与曲线相切，故②正确；
直线是表示与直线平行或重合的直线，
由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误；
设直线与椭圆相切，则
由得，
所以，解得，结合曲线的图象，取，
即直线与曲线相切，
所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，
或，故④错误.故答案为：①②.
四、解答题
61．（2023·河北三模）已知椭圆，其焦距为，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点作斜率不为0的直线交椭圆于不同两点，求证：直线与直线所成的较小角相等．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由题意，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，设，，
联立，整理得，
所以，即，且，
，，
因为直线平行于轴，
所以要证直线与直线所成的较小角相等，
即证直线的倾斜角互补，
即证，下面进行证明：
，
所以直线与直线所成的较小角相等.

62．（2023·河南·襄城模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）如图所示，

设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
63．（2023·云南三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可得，，又，解得，
所以的方程为.
（2）在椭圆中，，
所以，，
设直线（），直线（），
因为直线与直线相交于点，由，解得，所以，
又点在椭圆上，所以，整理得，
因为直线交轴正半轴于点，令得，即，
又因为，所以，，
所以，
因为直线交于点，令得，故，
又，
所以，，
所以，又，所以，
所以，所以.
64．（2023·内蒙古呼和浩特二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；
(2)若，且恰好被平分，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在椭圆中，，所以，
由，得．
（2）设直线l：，，，
联立方程，消去x得，
，则，
设的中点，则，，
设，，则直线MN的斜率为，
，，
相减得到，即，
即，解得，
由点G在椭圆内，得，解得，
因为，
所以p值是1，
所以面积．
65．（2023·浙江三模）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：由题意点处的切线为，
所以过点处的切线方程为，
交轴于点，则，
即，所以为的角平分线；
（2）过的切线，
当时，即不为右顶点时，，
即，
（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立
设，则
所以
又
所以，
，
当时，即点为右顶点时，，
所以，
所以的最小值为.
66．（2023·河南信阳三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，
(2)定值为64
【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
67．（2023·湖南长沙二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；
(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）与圆相切，，，
由，得，
，
，
故的取值范围为.
（2）由已知可得的坐标分别为，
，
，
又因为，所以，
为定值.
68．（2023·广东深圳二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）椭圆的离心率，
则，即，
所以，椭圆方程为.
将点代入方程得，
故所求方程为.
（2）点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
设，则.
.
点到的距离.
令，则则.
因为，所以当时，是所求最大值.

69．（2023·福建宁德二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知，是椭圆上的两个不同的动点，以线段为直径的圆经过坐标原点．试判断圆与直线的位置关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)圆与直线相切，理由见解析．
【详解】（1）设椭圆的右焦点为，因为椭圆的右焦点到直线的距离是，
所以，所以．又因为离心率，所以，
所以，所以椭圆方程为．
（2）圆与直线相切．
理由：设，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
，化简可得：.
所以，，．
因为以线段为直径的圆过坐标原点，
所以，
所以，且，
所以圆心到直线的距离．
当直线的斜率不存在时，由题知，所以，所以，所以圆心到直线的距离．综上所述，圆与直线相切．
70．（2023·海南海口二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线的方程为．
（2）
因为，若直线分别与两坐标轴垂直，
则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，
则直线的方程为．
联立，得，则，
设，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为6．
71．（2023·广东汕头三模）已知拋物线和，其中.与在第一象限内的交点为.与在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线的夹角.
(1)若的夹角为，，求的值；
(2)若直线既是也是的切线，切点分别为，当为直角三角形时，求出相应的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设点，
联立方程，解得，即.
设和的斜率分别为和，
因为在第一象限内，
对于，考虑函数，求导，
根据导数的几何意义，代入点横坐标，得；
对于，考虑函数，求导，
根据导数的几何意义，代入点横坐标，得.
因为的夹角为，根据定义可知和的夹角为，所以，
由夹角公式得：，
化简为，即，得.

（2）显然不与坐标轴平行，设其方程为.
联立可得，.
和只有一个公共点，所以，即.
同理联立，可得，
，即.
联立方程，可得.
又点纵坐标为，点横坐标为，
所以.
设，则.
若为直角，则，，
解得，；
若为直角，则，，
，；
若为直角，则，，无解.
综上，或为所求.

72．（2023·上海长宁三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标；
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)定值为，理由见解析
【详解】（1）椭圆的离心率是，解得.
故椭圆方程为：.
（2）圆，即，
故圆心，半径，，
设直线的方程为，即，
直线与圆相切，则，解得，
当时，，解得或（舍），故，
当时，，解得或（舍），故，
故或
（3）设，，，
三点共线，则，即，
解得，同理可得，
.
73．（2023·河南·襄城三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，得的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
又因为，所以，则，
故的方程为．
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．

74．（2023·山东菏泽三模）已知椭圆与直线相交于两点，椭圆上一动点，满足（其中表示两点连线的斜率），且为椭圆的左、右焦点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，求的内切圆面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，，则，所以，
依题意可知，两点关于原点对称，设，则，
由，得，所以，
所以，
所以，又，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.

（2）易得，设直线，
代入，得，
则，
设，，则，，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
设的内切圆半径为，则，
所以，所以的内切圆面积.
所以的内切圆面积的最大值为.

75．（2023·北京密云三模）椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程和长轴长；
(2)点M，N在C上，且.证明：直线MN过定点.
【答案】(1)椭圆的方程为：，长轴长为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得：，解得：，
椭圆的方程为：，长轴长为；
（2）设点，，
，，
整理可得：①，
当直线斜率存在时，设，
联立得：，
由得：，
则，，
，，
代入①式化简可得：，
即，或，
则直线方程为或，
直线过定点或，又和点重合，故舍去，
当直线斜率不存在时，则，
此时，即，
又，解得或（舍去），
此时直线的方程为，过点，
综上所述，直线过定点.

76．（2023·四川成都三模）设椭圆过点，且左焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【详解】（1）由题意得，
解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）设点的坐标分别为，，．
由题设知，，，均不为零，
记，则且
又四点共线，从而，
于是，，，
从而①，②，
又点在椭圆上，即③，④，
①＋②×2并结合③、④得，
即点总在定直线上．
∴所在直线为上．
由 消去y得，，
设，则，
于是，
又到的距离，
∴
∴面积定值为．

77．（2023·湖南长沙三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)的周长为定值
【详解】（1）由题意得：圆，则圆心，半径，
设中点为，则为线段的垂直平分线，则，
所以，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
即，，则，
所以点轨迹方程为：；

（2）设，由题意可得，
则，故，
故，
同理可得，
因为，
所以，
同理可得，
所以，
即的周长为定值.

78．（2023·广东茂名三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)直线是否过定点，证明见解析.
【详解】（1）由双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，
因为直线与双曲线的左右两支分别交于点，
则，
联立，得，
设，
则，直线的方程，
令，得
，
所以直线过定点.

79．（2023·河北张家口三模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为.
【详解】（1）设到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，
则，，
则
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为直线不过，即，，
所以，即，
所以直线，即过定点.

80．（2023·河南三模）如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在定点使为定值，理由见解析.
【详解】（1）由题意，可得，则椭圆方程为；
（2）若直线斜率为，则直线斜率为，而，
所以，，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
综上，，
，
当，即时，，
此时，
所以，即直线过定点；
当，即时，
若，则且，且，故直线过定点；
若，则且，且，故直线过定点；
综上，直线过定点，又于，
易知轨迹是以为直径的圆上，故的中点到的距离为定值，
所以，所求定点T为.

81．（2023·云南曲靖·校考三模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）依题意，，焦半径，
当时，，得，即，
所以，由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；

（2）设的中点为
因为是上不同的两点，中点的横坐标为2.
所以.
①-②得，
当存在时，，
因为的中垂线为直线，所以，即，
所以过定点.

当不存在时，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过，
所以存在以为圆心的定圆，使得被圆截得的弦长为定值2.
82．（2023·广东梅州三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）设，所以，，，
因为点在线段上，且满足，所以点，
因为直线的斜率为1，所以，所以，
因为，所以，解得，，.
所以双曲线的方程为.
（2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；
当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，
直线与双曲线的右支相交于，两点，则且，
设，，
由，得， ，，
所以，，
因为，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且.
83．（2023·天津滨海三模）已知椭圆的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)点Q在线段AE上，，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
（i）求直线PF的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1）由题可得，则.
又，则.
（2）（i）由（1）可知，则.椭圆方程为：.
设直线FQ方程为：.直线AE方程为：.
联立直线FQ与直线AE方程：.
即，因，则，解得.
即直线PF的斜率等于直线直线FQ斜率为.
（ii）由（i）可得直线PF方程为，将其与椭圆方程联立：
，得，即.
注意到，，又直线PM与直线QN间的距离为c，则.
则，则.
，则.
则四边形PQNM的面积.即，则椭圆方程为.

84．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点的坐标分别为，

显然均不为零，依题意，令，有且，
又四点共线，从而，
即，，
于是，从而①，②，
又点在椭圆上，即③，④，
①+②并结合③，④得，即动点总在定直线上，因此直线方程为，
由消去y得，，
设，则，
于是，设，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
因此，当且仅当时取等号，
所以的面积最大值为.
85．（2023·福建福州三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线、相互垂直，则四边形OAMB为矩形，
设，且，可得，
则点到直线、的距离分别为、，
可得，整理得，
所以C的方程为.
（2）设直线，
联立方程，消去y得，
由题意可得：，①
因为，则，
整理得，
即，
整理得，解得或，
若，则直线，过定点，
此时①式为，无解，不符合题意；
当时，则直线，过定点，
此时①式为，解得，即或，
则，
因为，则，可得，
所以，
又因为为双曲线的左、右焦点，
则，即，
可得△PQE周长为，
所以△PQE周长的取值范围.

1.椭圆
2.双曲线
3.抛物线
【其他结论】
1、点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、焦半径
抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3、的几何意义
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）
（1）焦点为，准线为
（2）焦点为，准线为
如，即，焦点为，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为（参数）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
11、焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
考向一 直线与圆
考向二 椭圆
考向三 双曲线
考向四 抛物线
考向一 直线与圆
考向二 椭圆
考向三 双曲线
考向四 抛物线
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
其他结论
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
（2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
其他结论
（1）过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
（3）双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
考向一 直线与圆
考向二 椭圆
考向三 双曲线
考向四 抛物线
考向一 直线与圆
考向二 椭圆
考向三 双曲线
考向四 抛物线
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
其他结论
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
（2）椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
其他结论
（1）过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
（3）双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径