所属成套资源:高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展精品(精讲+精练)(学生版+解析)
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高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展17解三角形中三角形的中线和角平分线问题(精讲+精练)学生版+解析
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这是一份高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展17解三角形中三角形的中线和角平分线问题(精讲+精练)学生版+解析,共56页。试卷主要包含了知识点梳理,角平分线问题等内容,欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、三角形中线问题
如图在中,为的中点,,然后再两边平方,转化成数量关系求解!(常用)
二、角平分线问题
如图,在中,平分,角,,所对的边分别为,,
①等面积法
(常用)
②内角平分线定理:
或
③边与面积的比值:
二、题型精讲精练
【典例1】在中,内角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若的面积为,求边上的中线的长.
【分析】(1)利用二倍角公式,结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果;
(2)利用三角形面积公式,及(1)的相关结论,再结合平面向量的四边形法则,利用向量的线性表示出,最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】(1)因为,所以,
所以,即,所以,
由余弦定理及得:
,又,
所以,即,所以,
所以.
(2)由,所以,
由(1),所以,因为为边上的中线,
所以,所以(通过平方,将向量转化为数量)
,所以,
所以边上的中线的长为:.
【典例2】在中.AB=2,AC=,BC=4,D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线,求BD;
(2)若BD为∠ABC的角平分线,求BD.
【分析】(1)利用余弦定理,先求得,然后求得.
(2)利用余弦定理,先求得,即可求得、,利用等面积法求得.
【详解】(1)在中,,
因为BD为AC边上的中线,所以,
在中,,所以(活用两次余弦定理)
(2)在中,,
由于,所以.
因为BD为的角平分线,所以.
由,得(等面积法)
即,解得.
【题型训练-刷模拟】
1.中线问题
一、解答题
1.(2029·全国·高三专题练习)在中,角,,的对边分别是,,,已知.
(1)求;
(2)若边上的中线的长为,求面积的最大值.
2.(青海省海东市2029届高三第三次联考数学试题)在中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的值;
(2)若,求边上的中线的最大值.
9.(2029·全国·高三专题练习)记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,求边中线的取值范围.
4.(2029·全国·高三专题练习)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角A的值;
(2)若边上的中线,求的面积.
5.(2029·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测)已知为的内角所对的边,向量,,且.
(1)求;
(2)若,的面积为,且,求线段的长.
6.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若AD为BC边上中线,,求△ABC的面积.
7.(2029·全国·高三专题练习)已知的三个内角、、所对的边分别为,,,.
(1)求角的大小;
(2)若,边上的中线长为,求的周长.
8.(2029·全国·高三专题练习)中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若边上的中线,求的面积.
9.(2029·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知中,,,
(1)求;
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点,求的余弦值.
10.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,角所对的边分别为,已知.
(1)求的大小;
(2)的面积等于,D为BC边的中点,当中线AD长最短时,求AB边长.
11.(重庆市九龙坡区2029届高三二模数学试题)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A;
(2)若,的面积为,求边BC的中线AD的长.
12.(2029·全国·高三专题练习)锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的值;
(2)若,D为AB的中点,求中线CD的范围.
19.(浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2029届高三下学期6月适应性考试数学试题)在中,角的对边分别为且,
(1)求;
(2)求边上中线长的取值范围.
14.(2029·全国·高三专题练习)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(I)求△ABC的面积;
(II)若sinA:sinC=9:2,求AC边上的中线BD的长.
15.(2029·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.
16.(2029·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测)已知的内角的对边分别为,且,.
(1)求角的大小;
(2)若,点满足,点满足,求.
17.(2029·全国·高三专题练习)在中,
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线,且,求的周长
18.(2029·全国·高三专题练习)在锐角中,角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若边,边的中点为,求中线长的取值范围.
2.角平分线问题
一、解答题
1.(2029·辽宁葫芦岛·统考一模)在中,角所对的边分别为.,角的角平分线交于点,且,.
(1)求角的大小;
(2)求线段的长.
2.(2029·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测)内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,边上的高为,
(1)求c的值;
(2)设是的角平分线,求的长.
9.(2029·全国·高三专题练习)在中,角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若角的角平分线与交于点,,,求的面积.
4.(2029·安徽蚌埠·统考模拟预测)已知的内角,,所对的边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若的面积为,点在边上,是的角平分线,且,求的周长.
5.(2029·全国·高三专题练习)记的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的大小;
(2)若边上的高为,且的角平分线交于点,求的最小值.
6.(2029·全国·高三专题练习)在中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小,
(2)若,角的角平分线交于,且,求的面积.
7.(2029·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知的内角,,的对边分别为,,,,, ,外接圆面积为.
(1)求;
(2)若为角的角平分线,交于点,求的长.
8.(2029·全国·高三专题练习)在 中,已知.
(1)求的值;
(2)若是的角平分线,求的长.
9.(2029·全国·高三专题练习)中,,,,.
(1)若,,求的长度;
(2)若为角平分线,且,求的面积.
10.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tanB
(1)若,求tanC的值:
(2)已知中线AM交BC于M,角平分线AN交BC于N,且求△ABC的面积.
11.(2029秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,
①的角平分线交于M,求线段的长;
②若D是线段上的点,E是线段上的点,满足,求的取值范围.
12.(2029·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知的内角的对边分别为 ,且.
(1)求角B;
(2)设的角平分线交于点D,若,求的面积的最小值.
19.(2029·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)在中,角的对边分别为,已知,
(1)求角的大小;
(2)若的角平分线交于点,且,求的最小值,
14.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足(a+2b)csC+ccsA=0.
(1)求角C的大小;
(2)设AB边上的角平分线CD长为2,求△ABC的面积的最小值.
15.(2029·全国·高三专题练习)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知.
(1)求;
(2)若外接圆面积为,求的最大值;
(9)若,且的角平分线,求.
16.(2029·全国·高三专题练习)已知锐角,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.
(1)证明:;
(2)若为的角平分线,交AB于D点,且.求的值.
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题(精讲+精练)
一、知识点梳理
一、三角形中线问题
如图在中,为的中点,,然后再两边平方,转化成数量关系求解!(常用)
二、角平分线问题
如图,在中,平分,角,,所对的边分别为,,
①等面积法
(常用)
②内角平分线定理:
或
③边与面积的比值:
二、题型精讲精练
【典例1】在中,内角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若的面积为,求边上的中线的长.
【分析】(1)利用二倍角公式,结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果;
(2)利用三角形面积公式,及(1)的相关结论,再结合平面向量的四边形法则,利用向量的线性表示出,最后利用求模公式即可求边上的中线的长.
【详解】(1)因为,所以,
所以,即,所以,
由余弦定理及得:
,又,
所以,即,所以,
所以.
(2)由,所以,
由(1),所以,因为为边上的中线,
所以,所以(通过平方,将向量转化为数量)
,所以,
所以边上的中线的长为:.
【典例2】在中.AB=2,AC=,BC=4,D为AC上一点.
(1)若BD为AC边上的中线,求BD;
(2)若BD为∠ABC的角平分线,求BD.
【分析】(1)利用余弦定理,先求得,然后求得.
(2)利用余弦定理,先求得,即可求得、,利用等面积法求得.
【详解】(1)在中,,
因为BD为AC边上的中线,所以,
在中,,所以(活用两次余弦定理)
(2)在中,,
由于,所以.
因为BD为的角平分线,所以.
由,得(等面积法)
即,解得.
【题型训练-刷模拟】
1.中线问题
一、解答题
1.(2029·全国·高三专题练习)在中,角,,的对边分别是,,,已知.
(1)求;
(2)若边上的中线的长为,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由正弦定理化角为边,结合余弦定理可得,即可求出;
(2)由平方可得,利用基本不等式可得,即可求出面积最值.
【详解】解:(1)因为,
所以由正弦定理可得,
即.
再由余弦定理可得,即.
因为,所以.因为,所以.
(2)因为,所以,
即.
因为,所以,当且仅当时取等,
故,则的最大值为.
2.(青海省海东市2029届高三第三次联考数学试题)在中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的值;
(2)若,求边上的中线的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)切化弦后,结合两角和差公式和诱导公式可求得,进而得到;
(2)利用余弦定理和基本不等式可求得范围,根据,平方后,结合向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】(1),,
,又,.
(2)由余弦定理得:(当其仅当时取等号),
,,
,
,
,即的最大值为.
9(2029·全国·高三专题练习)记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,求边中线的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理求解即可得角;
(2)根据中线性质可得,在左右两侧平方,应用向量的数量积公式求值即可.
【详解】(1)由已知可得,
由余弦定理可得,整理得,
由余弦定理可得,又,
所以.
(2)因为M为的中点,所以,
则,
即.
因为,所以.
所以,
所以.
4.(2029·全国·高三专题练习)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角A的值;
(2)若边上的中线,求的面积.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得
(2)结合(1)可得为等腰三角形,在中利用余弦定理可求,从而可求的面积.
【详解】(1)由正弦定理可得,
整理得到,
因为,故,故,
因为,故.
(2)因为,,故,故为等腰三角形且.
设,则,
由余弦定理可得,故,
所以,故.
5.(2029·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测)已知为的内角所对的边,向量,,且.
(1)求;
(2)若,的面积为,且,求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理、余弦定理可求出;
(2)根据三角形面积公式求出,根据平面向量运算律可求出结果.
【详解】(1)因为,所以.
由正弦定理,得,即,
由余弦定理,得,
因为,所以.
(2),解得,
因为,则,
所以,.
6.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若AD为BC边上中线,,求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)用正弦定理边化角,再用三角恒等变换即可求解;
(2)利用,分别在△和△运用余弦定理可得
,再在△运用余弦定理得,两式联立即可求得,最后直接用三角形面积公式即可求解.
【详解】(1)由正弦定理得,
∴,
∴,
∴,
∵,∴,
又∵, ∴,
(2)由已知得,,
在△中,由余弦定理得,
在△中,由余弦定理得,
又∵,
∴,
在△中,由余弦定理得,
以上两式消去得, 解得或(舍去),
则.
7.(2029·全国·高三专题练习)已知的三个内角、、所对的边分别为,,,.
(1)求角的大小;
(2)若,边上的中线长为,求的周长.
【答案】(1);(2)6.
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果;
(2)根据两边平方可得,根据余弦定理可得,联立求出和,由此可求出,则可得三角形的周长.
【详解】(1)因为,所以,
根据正弦定理得,
所以,
所以,
所以,
因为、、是的三个内角,
所以,,,
因为,所以.
(2)因为是边上的中线,所以,
所以,
所以,
所以,
所以①,
又因为,所以,即②,
由①②,解得,,,
则,所以,
∴,故的周长为6.
8.(2029·全国·高三专题练习)中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若边上的中线,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据,利用正弦定理转化为,再利用两角和的正弦公式求解;
(2)在中,由余弦定理得到,然后分别在和中,利用余弦定理结合,两式相加得到,联立求得c,再利用三角形面积公式求解.
【详解】(1)解;因为,
所以,
所以,
即 ,
因为 ,
所以 ,
所以;
(2)在中,由余弦定理得,
即①,
在中,由余弦定理得,
在中,由余弦定理得,
因为,
两式相加得②,
由①②得,
所以.
9.(2029·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知中,,,
(1)求;
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点,求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得,进而有,由和差角余弦公式得,同角平方关系及三角形内角性质求各角大小,即可得结果;
(2)取,应用余弦定理求,进而求的余弦值.
【详解】(1)由题意,
又,故,而,
且,所以,
,所以或(舍),
故,且,则,,故.
(2)不妨取,则,,
.
10.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,角所对的边分别为,已知.
(1)求的大小;
(2)的面积等于,D为BC边的中点,当中线AD长最短时,求AB边长.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)可得,化简可求出,从而得到的大小;
(2)由的面积等于可得,利用余弦定理和基本不等式可求出中线AD长最短时AB的边长.
(1)可得,
即,因为
从而,而,
所以.
(2),
当且仅当,即时,等号成立,
此时,
故.
11.(重庆市九龙坡区2029届高三二模数学试题)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A;
(2)若,的面积为,求边BC的中线AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)应用正弦定理结合,可得可得角;
(2)根据余弦定理及的面积,求得,再根据向量关系平方应用数量积公式求解即可.
【详解】(1)因为,所以,
可得,
又由两角和差正弦公式可得,
,,
所以,
.
(2)因为,所以,
因为余弦定理得,又已知,
可得,即得.
因为BC的中线AD,可得,
.
12.(2029·全国·高三专题练习)锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的值;
(2)若,D为AB的中点,求中线CD的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理化简可得出,结合角为锐角可求得结果;
(2)由余弦定理可得出,利用平面向量的线性运算可得出,由平面向量数量积的运算可得出,利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围,可得出的取值范围,即可得解
【详解】(1)由,
,
,,,.
(2),,,
由余弦定理有:,,
所以,,
由正弦定理,,,,
,
,因为为锐角三角形,所以且,
则,,则,.
19.(浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2029届高三下学期6月适应性考试数学试题)在中,角的对边分别为且,
(1)求;
(2)求边上中线长的取值范围.
【答案】(1)6
(2)
【分析】(1)根据题意利用正弦定理进行边角转化,分析运算即可;
(2)利用余弦定理和基本不等式可得,再根据,结合向量的相关运算求解.
【详解】(1)因为,
由正弦定理可得,
整理得,
且,则,可得,即,
且,则,
由正弦定理,其中为的外接圆半径,
可得,
又因为,
所以.
(2)在中,由余弦定理,即,
则,当且仅当时,等号成立,
可得,即
设边上的中点为D,
因为,则
,
即,所以边上中线长的取值范围为.
14.(2029·全国·高三专题练习)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(I)求△ABC的面积;
(II)若sinA:sinC=9:2,求AC边上的中线BD的长.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)首先根据正弦定理,将原等式中的边化为角,再利用两角和的正弦公式化简,求出,再根据,得到,最后代入面积公式
(Ⅱ)由,得,根据上一问的结果可求,再根据中线表示向量为,两边平方后得到结果.
【详解】(Ⅰ),由正弦定理可化为:
,,即,
,,
又,
得,,即,
的面积
(Ⅱ)由,得,
,又,解得:,
又,
,
,
即边上的中线的长为.
15.(2029·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)由正弦定理化角为边得,再利用余弦定理可得结果;
(2)由余弦定理结合数量积运算得,由正弦定理可得,,所以,结合角的范围,利用三角函数性质可求得的范围,即可得出答案.
【详解】(1)已知,
由正弦定理可得,即,
所以,
因为,所以.
(2)由余弦定理可得,
又,
则,
由正弦定理可得,
所以,,
所以,
由题意得,解得,则,
所以,所以,
所以,所以中线CD长的取值范围为.
16.(2029·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测)已知的内角的对边分别为,且,.
(1)求角的大小;
(2)若,点满足,点满足,求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意,由正弦定理得到,因为,求得,进而求得,即可求得的大小;
(2)在中,由余弦定理求得,再由,根据向量的数量积的运算公式,求得,再在中,求得,得到,进而得到,分别在和中,求得,,利用余弦定理求得,进而求得的值.
【详解】(1)解:因为,可得,
由正弦定理得,可得,
又因为,可得,则,
因为,所以,可得,所以,
又因为,可得,所以.
(2)解:在中,因为且,
由余弦定理得,即,
即,解得或(舍去),
设,因为,可得,
所以,
所以,即,
又因为,所以,所以,
在中,可得,可得,
因为,所以,
在中,可得,
所以,
在中,可得,
所以,
在中,可得,
所以
17.(2029·全国·高三专题练习)在中,
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线,且,求的周长
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理可求角的大小;
(2)由面积公式可得,再在和中,由余弦定理可得,最后用完全平方公式可求的值,即可求得三角形的周长.
【详解】(1)由已知,
由正弦定理得:,
由余弦定理得:,
在中,因为,
所以;
(2)由,得①,
由(1)知,即②,
在中,由余弦定理得:,
在中,由余弦定理得:,
因为,所以③,
由①②③,得,
所以,
所以的周长.
18.(2029·全国·高三专题练习)在锐角中,角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若边,边的中点为,求中线长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)由余弦定理结合正弦定理,可得出角的正切即可求出角;
(2)由,结合正弦定理应用辅助角公式,根据锐角三角形中角的范围,即可应用三角函数值域求出范围
【详解】(1)由余弦定理得,
即,
由正弦定理得
,
,即,
.
(2)由余弦定理得:,则.
由正弦定理得
所以,
因为是锐角三角形,所以,即,
则.中线长的取值范围是.
2.角平分线问题
一、解答题
1.(2029·辽宁葫芦岛·统考一模)在中,角所对的边分别为.,角的角平分线交于点,且,.
(1)求角的大小;
(2)求线段的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)由两角和与差公式化简求角即可;
(2)利用面积公式列方程解出线段的长.
【详解】(1)在中,由已知,可得:
则有:,
即
又,即有,
而,所以.
(2)在中,由(1)知,因为为角的角平分线,
则有,
由得:
解得,
所以线段的长为.
2.(2029·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测)内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,边上的高为,
(1)求c的值;
(2)设是的角平分线,求的长.
【答案】(1)9
(2)
【分析】(1)根据题意结合三角形面积公式运算求解;
(2)根据题意可得,结合三角形面积公式运算求解.
【详解】(1)由的面积,则,
且,解得,
故c的值为9.
(2)由(1)可得:,
由题意可得:,
∵,则,
即,解得,
故的长.
9.(2029·全国·高三专题练习)在中,角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若角的角平分线与交于点,,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理化角为边,再根据余弦定理即可得解;
(2)根据三角形的面积公式结合等面积法求出,即可得解.
【详解】(1)因为,
所以根据正弦定理可得,即,
由余弦定理可得,
因为,所以;
(2)由,
得,解得,所以的面积为.
4.(2029·安徽蚌埠·统考模拟预测)已知的内角,,所对的边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若的面积为,点在边上,是的角平分线,且,求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题中等式和二倍角公式,正弦定理,余弦定理整理可得.
(2)利用三角形面积公式,先求,再利用余弦定理求即可.
【详解】(1),
,
由正弦定理得,
,
又,.
(2)
,
,
,
由题意知,
,
,
,
,
,故.
的周长为.
5.(2029·全国·高三专题练习)记的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的大小;
(2)若边上的高为,且的角平分线交于点,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理进行边化角,结合三角恒等变换整理;(2)根据等面积可得,利用余弦定理得和基本不等式可得,根据面积得,整理分析.
【详解】(1)由正弦定理得,得,
因为,所以,即.
(2)因为,所以.
由余弦定理得,得(当且仅当时,等号成立),即.
因为,所以.
因为,所以.
因为函数在上单调递增,所以,
所以,即.故的最小值为.
6.(2029·全国·高三专题练习)在中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小,
(2)若,角的角平分线交于,且,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意和三角函数的基本关系式化简得,利用正弦定理和余弦定理,得到,即可求解;
(2)由的角平分线将分为和,得到,化简得到,又由余弦定理得到,联立求得的值,结合面积公式,即可求解.
【详解】(1)解:因为,
由三角函数的基本关系式,可得
由正弦定理和,
即,
又由正弦定理得,
由余弦定理得,
因为,所以.
(2)解:由的角平分线将分为和,如图所示,
可得,
因为,可得,且,
所以,
即,整理得,即,
又由,可得,即,
又由,
即,解得或(舍去),
所以的面积为.
7.(2029·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知的内角,,的对边分别为,,,,, ,外接圆面积为.
(1)求;
(2)若为角的角平分线,交于点,求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理,角化边可得与的关系,由和外接圆半径可得,再由余弦定理即可解得;
(2)使用等面积法建立方程,求解即可.
【详解】(1)由已知,∵,
∴由正弦定理得,∴,
∵,,∴,即.
设外接圆半径为,则外接圆面积,∴,
∴由正弦定理,得,,
∵,∴或.
当时,由余弦定理,∴,
解得,∴(舍);
当时,由余弦定理,∴,
解得,∴.
综上所述,.
(2)
由第(1)问知,,若为角的角平分线,则,
如图,设,,的面积分别为,,,
则,
∴
∴,
∴解得,.
8.(2029·全国·高三专题练习)在 中,已知.
(1)求的值;
(2)若是的角平分线,求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先利用余弦定理求出边的长,再利用正弦定理求出 (2)利用三角形的面积公式及面积关系,建立关于边的关系式求解即可得到答案
【详解】(1)在中,由余弦定理
整理得
解得或
由于,所以
因为,所以,所以
由正弦定理得:,故
(2)设,
由及三角形的面积公式可得:
整理得
在中,由余弦定理
由得
则
9.(2029·全国·高三专题练习)中,,,,.
(1)若,,求的长度;
(2)若为角平分线,且,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)从向量角度,以为基底,表示出,再用向量法计算的模长,即的长度;
(2)用正弦定理的面积公式分别A表示出,,面积,列出等式计算即可求出A的正弦值,继而求出面积.
【详解】(1)∵,,∴,
又∵在中,,,,
∴,
∴,即:.
(2)在中,,
又∵,
∴,∴,∴,
∴,
∴.
10.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tanB
(1)若,求tanC的值:
(2)已知中线AM交BC于M,角平分线AN交BC于N,且求△ABC的面积.
【答案】(1)或;
(2).
【分析】(1)利用同角关系式可得或sin,然后利用和角公式即得;
(2)由题可得,利用角平分线定理及条件可得,进而可得,,即得.
【详解】(1)因为,
所以,
解得或sin,
当时,,,
所以,;
当时,因为,
所以,又,
所以.
(2)∵,
∴,,
∴,即,
∴,
由角平分线定理可知,,又,
所以,
由,可得,
∴,,
所以.
11.(2029秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,
①的角平分线交于M,求线段的长;
②若D是线段上的点,E是线段上的点,满足,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①;②
【分析】(1)根据三角形内角的关系,结合二倍角公式求解即可;
(2)①法一:在与中根据正弦定理可得,再根据结合数量积运算求解即可;
法二:根据,结合面积公式列式求解即可;
②法一:根据平面向量基本定理可得,进而求得范围;
法二:以所在直线为x轴,过点A垂直于的直线为y轴,建立平面直角坐标系,根据坐标运算求解即可
【详解】(1),则,故,所以,因为,
可得,由,所以.
(2)①法一:在与中,
由正弦定理得,
即,故,
所以,
所以
法二:在中,由是的角平分线
所以
由知:
即,解得
②法一:由,得
又
所以.
的取值范围为;
法二:以所在直线为x轴,过点A垂直于的直线为y轴,建立平面直角坐标系,由.则
因为,
所以.
所以
由,得的取值范围为
12.(2029·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知的内角的对边分别为 ,且.
(1)求角B;
(2)设的角平分线交于点D,若,求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角,结合两角和的正弦公式化简求值,可得答案.
(2)根据三角形的面积之间的关系,即,可得,结合基本不等式,即可求得答案.
【详解】(1)由已知及正弦定理得:,
又在中,,
∴,
即,
又,∴,
又,∴,即角B的大小为.
(2)∵.
是的角平分线,而,
∴,
即,∴.
∵,∴,
∵,∴,即,
当且仅当时取等号,则,
即的面积的最小值为.
19.(2029·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)在中,角的对边分别为,已知,
(1)求角的大小;
(2)若的角平分线交于点,且,求的最小值,
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦函数的和差公式化简题设条件,从而得到,由此得解;
(2)利用三角面积公式推得,从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】(1)因为,
所以,
所以,
由于,则,所以,即,
又,所以.
(2)因为的角平分线交于点,且,,
根据三角形面积公式可得,
等式两边同除以可得,则,
则,
当且仅当,即时,等式成立,
故的最小值为.
14.(2029·全国·高三专题练习)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.且满足(a+2b)csC+ccsA=0.
(1)求角C的大小;
(2)设AB边上的角平分线CD长为2,求△ABC的面积的最小值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)先通过正弦定理进行边化角,进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简,然后求得答案;
(2)在和中,分别运用正弦定理,进而求出,然后在中再次运用正弦定理得到,最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案.
【详解】(1)根据题意,由正弦定理可知:,则,因为,所以,则,而,于是.
(2)由(1)可知,,在中,设,则,
在中,由正弦定理得:,
在中,由正弦定理得:,
所以.
在中,由正弦定理得:,
所以.
由基本不等式可得:,当且仅当时取“=”.
于是,.即△ABC的面积的最小值为.
15.(2029·全国·高三专题练习)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知.
(1)求;
(2)若外接圆面积为,求的最大值;
(9)若,且的角平分线,求.
【答案】(1)
(2)
(9)
【分析】(1)由已知得,由余弦边角关系即可求值;
(2)由正弦定理求外接圆半径,由(1)得,进而求得,应用余弦定理、基本不等式求最值,注意等号成立条件.
(9)利用等面积法得,由二倍角余弦公式求,即可求结果.
【详解】(1)由题知,即,
由,解得.
(2)由外接圆面积为得外接圆半径,
由(1),所以,
由正弦定理得,解得,
由余弦定理得,即,
化简得,当且仅当a=c时等号成立.
所以ac的最大值为.
(9)因为BD是的角平分线,则,
所以的面积,
所以,则,
由,所以,解得(负值舍去),
综上,.
16.(2029·全国·高三专题练习)已知锐角,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.
(1)证明:;
(2)若为的角平分线,交AB于D点,且.求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由正弦定理可将转化为,结合角度关系转化得,即可证得;
(2)由为的角平分线,,可得,根据面积公式可求得,再由三角形为锐角三角形可得的范围,由平方公式二倍角公式可得的值,根据和差公式得的值,由余弦定理求得,再根据正弦定理的的值即可.
【详解】(1)证明:因为,由正弦定理得:
,又,
所以,整理得.
又,则,即.
(2)因为为的平分线,且,
所以,则,
所以,可得,
因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,所以,
所以,
在中,由余弦定理可得,所以,
由正弦定理得.
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