高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题(精讲+精练)学生版+解析

这是一份高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题(精讲+精练)学生版+解析，共82页。试卷主要包含了知识点梳理，定值问题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程
二、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.
结论5 设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b2a2
二、题型精讲精练
【典例1】在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
【典例2】已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】解：（1）椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆方程为．
（2）由直线与椭圆交于，两点，
联立，得，
设，，，，则△，
，，
所以，
，
，
原点到的距离，
为定值．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【题型训练2-刷模拟】
1.定点问题
一、解答题
1．已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
2．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
3．设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
(2)求证：直线恒过定点．
4．已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.
5．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
7．在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
8．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
9．已知椭圆的左焦点为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
10．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
11．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．

(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线的斜率满足，求点P的坐标．
12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点且与椭圆有相同焦点
(1)求E的离心率：
(2)设椭圆E的下顶点为A，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T．证明：直线TN过定点．
13．在平面直角坐标系中，已知点，直线，设动点到直线的距离为，且．
(1)求动点的轨迹的方程，并指出它表示什么曲线；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，点，直线与轴分别交于点，试问：线段的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
14．已知为椭圆：上一点，长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标.
15．椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.
2.定值问题
一、解答题
1．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
2．在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
3．已知点是离心率为的椭圆上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由．
4．已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
5．过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程：
(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.
6．已知双曲线C : 的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆 O :上，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O为坐标原点）的面积．
7．已知圆，点，动直线过定点．
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于两点，则是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
8．以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．
9．已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.
10．已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
11．已知椭圆C：过点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于点M，N，直线分别交直线于点P，Q．求证：为定值．
12．已知双曲线：的右焦点为，离心率.
(1)求的方程；
(2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
13．已知椭圆的右焦点为，点在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值．
14．已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.
16．已知圆的方程为，直线与圆交于两点．

(1)若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程；
(2)已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由．
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展34 圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程
二、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.
结论5 设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b2a2
二、题型精讲精练
【典例1】在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
【典例2】已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】解：（1）椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆方程为．
（2）由直线与椭圆交于，两点，
联立，得，
设，，，，则△，
，，
所以，
，
，
原点到的距离，
为定值．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】(1)根据准线的几何性质，求出a，再算出b，可得椭圆方程；
(2)根据题设，分别求出 与x轴正方向的夹角之间的关系，代入 中计算即可.
【详解】（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，
从而由已知，因此，，
故所求椭圆方程为；
（2）
记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，
假设 ，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有
．
解得 ．
因此，
而，
故为定值．
综上，椭圆方程为；.
【点睛】本题的难点在于运用椭圆上的点到焦点的距离表达为到准线的距离乘以离心率，再对运用三角函数计算化简.
4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点.
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
［方法四］：
设．
若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．
所以存在定点Q，使得为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．
【题型训练2-刷模拟】
1.定点问题
一、解答题
1．已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点
【分析】（1）将点代入抛物线方程，可得，从而可得答案；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，由数量积公式结合韦达定理可得，进而可得答案.
【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，解得，
则抛物线方程为．
（2）因为，直线与抛物线相交于不同的、两点，
所以直线不与x轴平行，
可设，与联立，得，
设，，∴，．
由
，解得，
∴过定点．
2．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据条件求出的值即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出.
【详解】（1）由题意得：，，，
故可知，
椭圆方程为：.
（2）
M为椭圆C的左顶点，
又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：，
则，即，
由韦达定理可知：，，
，则，
，
又，
，
，
展开后整理得：，解得：或，
当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去，
当时，AB的方程为：，恒过定点.
所以直线过定点．
3．设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
(2)求证：直线恒过定点．
【答案】(1)，相切
(2)证明见解析
【分析】（1）设过点的切线方程，代入，整理得，令，可得，的坐标，进而可得的中点，根据即可求解圆的方程，从而可判断圆与直线相切；
（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线的方程，从而可得结论；
【详解】（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因为的中点，且,
从而过，，三点的圆的圆心为，半径为，
故其方程为．
圆心坐标为，半径为，圆与直线相切
（2）由已知得，求导得，切点分别为,，,，
故过点,的切线斜率为，从而切线方程为,即,
又切线过点,，所以得①,即,
同理可得过点,的切线为，
又切线过点,，所以得②即,
即点,,,均满足,故直线的方程为,
又,为直线上任意一点，故对任意成立，
所以，，从而直线恒过定点,
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
4．已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.
（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以为直径的圆过原点即可.
【详解】（1）
因为点是线段的垂直平分线上的一点
所以
因为
所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆
其中，，
所以点Q的轨迹C的方程为：
（2）
（i）当直线垂直于x轴时，不妨设，，
此时，所以，故以为直径的圆过点.
（ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，
因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为，
即.
由得，
所以，，
所以，
所以，故以为直径的圆过点.
综上所述，以为直径的圆过定点.
5．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据左焦点可知的值，根据点在椭圆上，可以得到另一组关系式，从而求出，.
（2）先设直线的斜截式方程，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理将点纵坐标为的信息转化为直线方程系数的值或关系，从而找出直线所过定点.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点，可得，
由定义知点到椭圆的两焦点的距离之和为，
，故，
则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的方程，可得，
且直线斜率存在，
设，设直线的方程为：，
与椭圆方程联立得：
，
则
直线的方程为，
直线的方程为，
由直线和直线交点的纵坐标为4得，
即
又因点在椭圆上，故，
得，
同理，点在椭圆上，得，
即
即
即
即
化简可得，即，
解得或，
当时，直线的方程为，直线过点，与题意不符.
故，直线的方程为，直线恒过点

【点睛】本题主要考查直线与椭圆关系中的直线恒过定点问题，遵循“求谁设谁”的思路，将目标直线设为的形式，将条件转化为的值或与的关系式，从而得出定点，侧重数学运算能力，属于偏难题.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离及渐近线方程列方程组，解方程；
（2）设直线、方程，分别联立直线与双曲线，结合根与系数关系得、坐标，写出直线方程，可得直线过定点.
【详解】（1）设双曲线的焦点坐标为，
依题意渐近线方程为，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦点，
设直线：，，，
由联立直线与双曲线，
化简得，，
故，，
，
又，则，
同理可得：
，
，
化简得，
故直线过定点.
【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
7．在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程．
（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得P，Q的坐标，假设存在定点，则，代入数据计算得到答案．
【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，
所以.
又，
所以点N的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
设曲线C的方程为，则，，
所以，
所以曲线C的方程为.
（2）
由，消去y并整理，得，
因为直线l：与椭圆C有且只有一个公共点P，
所以，即，
所以，
此时，，
所以，
由，得，
假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则，
又，，
所以，
整理，得对任意实数，k恒成立，
所以，
解得，
故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H.
8．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【分析】（1）根据题意求出即可得解；
（2）分设，直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设不经过点的直线方程为：，联立方程，利用韦达定理求出
，再根据直线与的斜率之和为求出的关系，即可得出结论.
【详解】（1）由点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为可知，
解得：，
，
椭圆的标准方程：；
（2）设，
当直线的斜率不存在时，则，
由，
解得，此时，故重合，不符合题意，
所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
直线必过定点．

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
9．已知椭圆的左焦点为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）确定焦点得到，解得，，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线的方程，取代入计算得到答案.
【详解】（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，
（2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，
则，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，则，
故直线的方程为：，
取，
.
故直线过定点.
当有直线斜率不存在时，为轴，过点.
综上所述：直线必过定点
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.
10．在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解，
（2）利用抛物线方程分别可设的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程， 结合直线经过的点，即可代入化简求解.
【详解】（1）若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
若的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点代入，得，解得，故的方程为；
综上所述：的方程为或.
（2）由（1）知抛物线的方程为，则其焦点，
若直线不过点，如图，

设，，，，
由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
同理直线，的方程分别为，
由直线过定点，可得，
由直线，过焦点，可得，
对于直线的方程为，
由，得，
整理得，
又因为，所以，
令，解得，
故直线恒过定点
若直线过点，直线即为直线，
其方程为，即，
显然直线过点；
综上所述：直线过定点.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
11．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．

(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线的斜率满足，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用给定条件，求出即可得解.
（2）设出点的坐标及直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式计算得解.
【详解】（1）因为的实轴长为4，即，解得，
又离心率，则，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，，，依题意，直线GH斜率存在，设直线，，
由（1）知，，则直线，直线，
由点M在直线l上，得，代入直线AG方程，得，
则点M坐标，因此，又，
由，得，整理得，
由消去y并整理得，则，，
又
，而，
因此，
则，解得，此时成立，所以点P坐标为.
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求解.
12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点且与椭圆有相同焦点
(1)求E的离心率：
(2)设椭圆E的下顶点为A，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T．证明：直线TN过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义求，即可求解离心率；
（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点.
【详解】（1）椭圆的焦点坐标是，，
设椭圆E的标准方程为，
因为，
则，所以椭圆的离心率为；
（2）由（1）可得椭圆的方程是，，
所以，
当过点的直线斜率不存在，直线，代入，
可得，
由方程，令，可得，
即，此时直线；
当过点的直线过原点时，直线与椭圆方程联立，
得交点坐标分别是，设，
联立，解得，此时直线，
联立，得两条直线交点，
所以若直线过定点，则应是；
若过点的直线斜率存在，设，，
联立，得，
，解得或，
可得，
则，
，
联立，可得，，
可求得此时
，将代入，
得
，
成立，
综上，可得直线过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
13．在平面直角坐标系中，已知点，直线，设动点到直线的距离为，且．
(1)求动点的轨迹的方程，并指出它表示什么曲线；
(2)已知过点的直线与曲线交于两点，点，直线与轴分别交于点，试问：线段的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆
(2)是定点，
【分析】（1）设点，用坐标表示已知等式化简后可得；
（2）设直线的方程为，设点，，由韦达定理得，，求出点坐标，计算并代入，化简可得．
【详解】（1）设点，由得：，
整理得：，即 ，
它表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，且长轴长为4，短轴长为2 ；
（2）设直线的方程为，即
由得：
由得：，
设点，，则， ，
直线的方程为，令得：，所以点，
直线的方程为，令得：，所以点 ，
∴
，
∴ ，即线段的中点坐标为，
∴ 线段的中点为定点，其坐标为．
【点睛】方法点睛：本题考查主要考查抛物线中直线过定点问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设直线方程为，设交点坐标为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入已知求出参数值，然后由直线方程得定点坐标．
14．已知为椭圆：上一点，长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
【分析】（1）根据长轴长确定，再计算，得到答案.
（2）设直线，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到，代入直线方程得到定点.
【详解】（1）长轴长为，故，
为椭圆：上一点，故，
椭圆方程为：；
（2）直线与轴平行时，根据对称性知斜率和为，不成立；
设直线：，，，直线不过，则，
则，则，
，即，则，
，
即，
整理得到，
化简得到，，则，
直线方程，直线过定点.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.
15．椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.
【答案】(1)
(2)过定点.
【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点；
方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标.
【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，
此时，
又，
故，解得，
曲线的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，代入得
，
设，
得，

则，
，
即，解得或.
当时，此时，直线过定点，
而与不重合，不合题意.
当时，此时，
此时直线过定点，满足要求.
方法二：由题意，直线不经过点，
设直线的方程为①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的点，则斜率为，
，
的斜率，即，解得.
的方程为，即，故过定点.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
2.定值问题
一、解答题
1．已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；
（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求解.
【详解】（1）设椭圆的方程为，则
由椭圆的定义及的周长为6，知①，
由于为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，得到轴距离最大为，
因为的面积的最大值为，
所以②，
又③，
联立①②③，得，
所以椭圆的方程为.
（2）为定值，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示,

设，则，
因为在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点，
联立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以为定值.
2．在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）设圆心，由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得，化简即可求解；
（2）设直线BD的方程、，联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得，结合两点求斜率公式可得，即可证明.
【详解】（1）设圆心，半径为，由圆心为的动圆过点，
所以，
又圆心为的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以，
此时，解得，
所以曲线E是抛物线，其方程为；
（2）易知直线BD的斜率不为0，
设直线BD的方程为，即，
，消去x，得，
或，
设，则，
，
所以，
即为定值1.

3．已知点是离心率为的椭圆上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值.
【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设出点的坐标，得到直线的斜率，将点的坐标代入椭圆方程得到其横纵坐标关系式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由，可得，即①，
将点代入椭圆方程可得②，
由①②可得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可得在椭圆上，直线和的斜率分别为均存在，设，
则，，则①，
又因为点在椭圆上，所以，即，
代入①可得，，
所以直线AP和BP的斜率之积为定值.
4．已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）
设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，所以
，
即，则，
， ，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，可得是定值1．
5．过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程：
(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知求出圆心、半径，设出直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出答案；
（2）求出，设出直线方程，代入圆的方程，根据韦达定理得出.进而表示出直线的斜率，整理即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得，圆心，半径.
当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆不相切；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则方程为，即.
由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离，
整理可得，，
解得或.
所以，直线的方程为或.
综上所述，直线的方程为或.
（2）由题设得到点，
当直线斜率不存在时，方程为，
此时直线与圆的交点为，，
则；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入圆的方程可得.
设点，
则.
所以，
，
则
.
综上所述，与的斜率之和为定值.
故与的斜率之和为定值.
6．已知双曲线C : 的左､右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆 O :上，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)动直线与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O为坐标原点）的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线C的半焦距为c，通过点在圆上易得的值，通过，求解的值，进而得到双曲线的标准方程；
（2）直线与轴相交于点，当动直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线，由直线与双曲线的位置关系得，联立方程求解M，N纵坐标，求解面积即可.
【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c，
由点在圆O :上，得a=1，
由，得，
所以==3，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）设直线与轴相交于点，双曲线C的渐近线方程为
当直线的斜率在存在时，直线为1，|，
得|MN||OD|1
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则
把直线的方程与方程C:联立得3=0
由直线与轨迹C有且只有一个公共点，
且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线与双曲线的渐近线不平行，
所以，且，
于是得，
得，
设，
由，得，
同理得，
所以=|==
综上，△OMN 的面积为.
7．已知圆，点，动直线过定点．
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于两点，则是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)是，定值为6.
【分析】（1）讨论直线的斜率，设切线方程，利用点线距离公式列方程求参数，即得切线方程；
（2）设，联立与圆的方程，应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可得结论.
【详解】（1）当斜率不存在时，的方程为，此时与圆不相切；
当的斜率存在时，设的方程为，
，解得或，
直线的方程为或.
（2）设且，由（1）知：，
联立，整理得，
显然，且，
则.
8．以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.
（2）设出点的坐标，利用向量共线探讨出点的坐标，再求出，并确定的坐标，再计算即得.
【详解】（1）设椭圆方程为，则，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
则，由，得，而，于是，
，同理，而，于是，
则，
，
令，而是椭圆上的动点，则，得，
于是，
所以存在和，使得是定值，且定值为.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
9．已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证为定值，之后求出定值即可.
【详解】（1）由题可知，则的轨迹是实轴长为，
焦点为即的双曲线的右支，则，
所以曲线的方程为：(或).
（2）由题可知过点的动直线斜率存在且不为，则设斜率为，
所以直线的方程为：，设，，

联立 ，可得，
则 ，可得，即或，
则
，
所以为定值，定值为.
10．已知双曲线的实轴长为4，离心率为．过点的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
【答案】(1)
(2)斜率之积为定值4，证明见解析
【分析】（1）由双曲线的实轴长和离心率，求出与，可得双曲线C的标准方程；
（2）分直线l斜率存在和不存在两种类型，通过联立方程组，设点，利用韦达定理表示直线QA，QB的斜率之积，化简得定值.
【详解】（1）双曲线的实轴长为4，则，即，
双曲线离心率为，则双曲线是等轴双曲线，得．
所以双曲线C的标准方程为.
（2）当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4，证明如下：
过点的直线l，若斜率不存在，则直线方程为，
与双曲线方程联立解得，，.
直线l斜率存在，设直线斜率为，直线方程为，
双曲线渐近线方程为，当时，直线l与双曲线C交于A，B两点，
由，消去得，
设，，有，，
，
，
当直线QA，QB的斜率均存在，
.
所以当直线QA，QB的斜率均存在，其斜率之积为定值4.
【点睛】方法点睛：
解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
11．已知椭圆C：过点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于点M，N，直线分别交直线于点P，Q．求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由点在椭圆上及，代入椭圆求得，即可得椭圆方程；
（2）令，，联立椭圆，应用韦达定理得且，点斜式写出直线的方程求出P，Q的纵坐标，再由及韦达公式代入化简即可证.
【详解】（1）由题设，则，故椭圆C的方程为，
（2）由题设，直线l的斜率一定存在，令，，联立椭圆，
整理得，且，
所以，且，
由题意，直线的斜率必存在，
则，令，则；
同理，令，则；
所以
将韦达公式代入整理得，为定值.

12．已知双曲线：的右焦点为，离心率.
(1)求的方程；
(2)若直线过点且与的右支交于M，N两点，记的左、右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用离心率的概念求出即可；
（2）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可.
【详解】（1）因为的右焦点为，所以的半焦距，
又离心率为，所以，所以，所以，
故的方程为.
（2）易知，.
设，，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由，消去x可得，
，且
又因为直线与的右支交于M，N两点，所以
所以
，
即为定值.
13．已知椭圆的右焦点为，点在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用焦点坐标与点在椭圆上建立方程组求解即可；
（2）联立直线与椭圆方程，设A，B两点坐标，写出直线QA，QB的方程，求出的坐标，再坐标表示，将韦达定理代入证明其为定值.
【详解】（1）由题意得，又点在椭圆上，
则，解得，
故所求椭圆E的标准方程为.
（2）由题意知直线的斜率不为，可设方程为，
联立，消得，
则，
设
由韦达定理得，，
则，
且
，
又则直线的方程为：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
则，
则.
即为定值.

【点睛】处理圆锥曲线中定值问题的方法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.
14．已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】(1)设点，根据两点坐标求距离公式计算化简即可；
(2)设，根据中点坐标公式代入圆方程中可得的轨迹方程，直线的方程、，，联立圆方程，利用韦达定理表示出,，结合向量数量积的坐标表示化简计算即可；
【详解】（1）设点，由题意可得，即，
化简可得.
（2）设点，由（1）点满足方程:，，
代入上式消去可得，即的轨迹方程为，

当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，显然，
设，则，，
又，，
则
.
当直线的斜率不存在时，，，.
故是定值，即.
15．已知椭圆：的离心率为，上焦点到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，与定直线：交于点，设，，证明：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可.
（2）按直线的斜率存在与否探讨，利用韦达定理，结合平面向量的坐标运算计算推理即得.
【详解】（1）令椭圆：半焦距为c，则，解得
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）知，，
当直线的斜率不存在时，直线：，不妨令，而，
则，，此时；
当直线的斜率存在时，设直线：，
由消去y得：，
易知，设，，，
则，，，
，
由，得，则，
同理由，得，
则，
所以为定值0.

【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；
（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
16．已知圆的方程为，直线与圆交于两点．

(1)若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程；
(2)已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在点，使为定值.
【分析】（1）设直线的方程为：，根据原点到直线的距离为，解出的值即可；
（2）设，直线的方程为：，利用韦达定理及，可得，，从而得点的轨迹为，设，可得，再根据三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）解：设直线的方程为：，
因为原点到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为；
（2）解：设，直线的方程为：，
由，可得，
则，
，
所以，
因为在轴上方，所以，所以，
又因为为的中点，所以，
又因为，，
所以，
即，整理得：，
又因为，
整理得：，
代入，
化简得，
所以或，
当时，直线过定点不符题意，
所以，所以，
所以点在直线上，
即点的轨迹为，
所以直线，即，且，
假设存在满足条件的点，其坐标为，
则点到直线的距离，
所以，
所以当，即，，时，
为定值，此时的坐标为，
所以存在点，使为定值.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得出点的轨迹，为后面设点的坐标和求的坐标作好铺垫.