专题2.20 一元二次方程（全章常考知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题2.20 一元二次方程（全章常考知识点分类专题）（基础练）考点目录：【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程； 【考点6】配方法求（最）值与比较大小；【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值； 【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 【考点13】一元二次方程一次函数问题； 选择题【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 1．（2024九年级上·全国·专题练习）若是一元二次方程，则m的值为（    ）A．2 B． C． D．12．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）A．−2 B．2 C．2或 D．4或【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；3．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（   ）A．2023 B．2022 C．2020 D．20194．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ）A． B． C． D．不确定【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　）A． B． C． ，D．，6．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）方程的根是（ ）A． B． C． D．8．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知关于的方程有一个根是，则它的另一个根和的值是（　　）A．， B．， C．， D．，【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程； 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　）A．有四个实数根 B．有两个实数根C．有一个实数根 D．无实数根10．（2024八年级下·江苏·专题练习）若分式方程无解，则实数a的取值是（　　）A．0或2 B．4 C．8 D．4或8【考点6】配方法求（最）值与比较大小；11．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　）A． B． C． D．无法确定12．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 13．（2024·河南漯河·二模）关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（   ）A．无论取何值，方程总有两个相等的实数根B．无论取何值，方程总有两个不相等的实数根C．无论取何值，方程总没有实数根D．方程的根的情况和的取值有关14．（2024九年级上·河北·专题练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）A． B．C．且 D．且【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知a，b是方程的两个根，则的值为（   ）A． B．2 C． D．316．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ）A． B． C． D．【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 17．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ）A．或4 B． C． D．或118．（2024·四川泸州·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是（   ）A．3 B．4 C．4 D．5【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值； 19．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）菱形两条对角线的长是方程的两个根，则菱形的面积是（   ）A． B． C． D．20．（23-24九年级上·山西晋城·期末）已知方程的两根分别是矩形相邻两边长，则矩形的周长是（    ）A．6 B．5 C．10 D．8【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 21．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（    ）A． B．C． D．22．（22-23八年级下·浙江·期末）“读万卷书，行万里路”，某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（    ）A． B．C． D．【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 23．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……．若前行的点数和为595，则（    ）A．24 B．28 C．33 D．3424．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　）A． B． C． D．【考点13】一元二次方程一次函数问题 25．（2024·河南信阳·三模）如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（    ）A．6 B．8 C．9 D．1026．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（    ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根选择题【考点1】一元二次方程的定义与一般形式； 27．（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则 ．28．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）方程化为一般形式是 ．【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；29．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 .30．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程； 31．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个直角三角形的两条直角边长之比为，斜边长为26，则这个直角三角形的面积为 ．32．（22-23八年级下·山东泰安·期末）若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；33．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ．34．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ．【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程； 35．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分式方程的解是， ．36．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 ．【考点6】配方法求（最）值与比较大小；37．（2023·山东泰安·三模）若，则的值是 ．38．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知，代数式 ．【考点7】 根的判别式求取值范围或证明； 39．（2024·山东济南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．40．（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ．【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；41．（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．42．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．【考点9】韦达定理与根的判别式综合； 43．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）．44．（2024·江苏南京·一模）设是方程的两个根，且，则 ．【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值； 45．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是 ．46．（2020·青海西宁·一模）平行四边形ABCD的周长为32，两邻边a，b恰好是一元二次方程x2+8kx+63＝0的两个根，那么k＝ ．【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）； 47．（2024·江苏南京·模拟预测）某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程 ．48．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元．【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）； 49．（22-23九年级上·河南信阳·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为 ．50．（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．【考点13】一元二次方程一次函数问题51．（21-22九年级上·四川雅安·期末）若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程根的存在情况是 ．52．（20-21八年级下·福建福州·期中）若函数是正比例函数，则m的值是 ．参考答案：1．A【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方次方程．根据一元二次方程的定义即可判断．【详解】解：∵是一元二次方程，∴且．解得．故选：A．2．A【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．【详解】解：根据题意可得：，解得．故选：A．3．D【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵是关于的方程的一个根，，，，故选：D．4．B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案．【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大，当时，，当时，，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，∴方程的一个解的范围为．故选：B．5．C【分析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键．用直接开平方求解即可．【详解】解：两边直接开平方，得，所以或，所以，，故选：C．6．C【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选C．7．B【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【详解】解：，，，，，，，，故选：B．8．B【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，由关于的方程有一个根是得，则原方程可化，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵关于的方程有一个根是，∴，得，解得，∴原方程可化为：，解得：，，故选：．9．C【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，解得或（不满足，舍去），经检验，是原方程的解，所以方程的根的情况是有一个实数根，故选：C．10．D【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．【详解】解：去分母，得，去括号、移项、合并同类项，得，两边同时除以2，得．若原分式方程无解，则，解得或2．当时，，解得；当时，，解得．∴或8．故选：D．11．A【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可．【详解】解：，，故选：A．12．A【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案．【详解】解：∵，又∵，∴，∴代数式的值恒为正数．故选：A．13．B【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：化简为：，，无论取何值，一定有两个不相等的实数根．故选：B14．C【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴∴且故选：C15．A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．首先得到，，然后将原式变形代入求解即可．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴， ∴∴．故选：A．16．D【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，∴，∴；故选D．17．C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：根据题意可知，该方程为，∵方程的两实数根的平方和为12，∴，∴，设两实数根为，，则，，∵∴，整理得：，解得：，∵，∴，故选：C．18．C【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，先得出，解出，结合，即，解出实数的值是4，即可作答．【详解】解：∵有两个不相等的实数根，∴，即，∵，，∴，即，解得（与相矛盾，故舍去），故选：C．19．B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出两条对角线之积，再利用菱形的面积公式解答即可．本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．【详解】解：设菱形的两条对角线长为，∵菱形两条对角线的长是方程的两个根， ∴，∴，故选：．20．C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，结合周长的意义解答即可．【详解】∵方程的两根分别是矩形相邻两边长，∴两邻边的和为5，故矩形周长为10，故选C．21．A【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，即可得解．【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据题意得：，故选：A22．A【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可．【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为；故选A．23．D【分析】本题主要考查了图形规律以及一元二次方程的应用，理解题意找到点的变化规律，正确列出方程是解题关键．根据点的变化规律，列出一元二次方程并求解，即可获得答案．【详解】解：根据题意，由于第一行有1个点，第二行有2个点，……，第行有个点，则前行共有个点，∴前行共有个点，故有，解得，（舍去）．故选：D．24．B【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可．【详解】解：设点的运动时间为，则，，，，的面积为，，解得：或（舍），即使的面积为，则点P运动的时间是，故选：B．25．A【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点的运算，可得，，在直角中根据勾股定理可求出BD的值，由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理的运用是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点作，∴，当点与点重合时，，∴，∴，当点与点重合时，，∵，∴，在中，，∴，解得，或，∴或，负值舍去，当时，，不符合题意（），∴，∴， 故选： ．26．D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．【详解】解：∵，∴，又，，∴一元二次方程无实数根，故D正确．故选：D．27．0【分析】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义求出m的值即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴且，解得．故答案为：0．28．【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．【详解】解：移项得，，去括号得，，合并同类项得，，∴方程化为一般形式为，故答案为：．29．4046【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可．【详解】解：是方程的根，，，，故答案为：4046．30．【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．【详解】解：时，，时，，∴一元二次方程的解的范围是．故答案为：31．120【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，勾股定理的运用．根据比例问题由勾股定理建立方程求出两直角边的长度，再由面积公式就可以求出结论．【详解】解：设每份为，则两直角边分别为，，由勾股定理，得，解得：（舍去），．两直角边分别为：10，24．直角三角形的面积为：．故答案为：120．32．【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．33．0或【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，故答案为：0或．34．1或9【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．【详解】解：当时，则，等式不成立；∴，∴方程是一元二次方程，∴，∵方程至少有一个整数根，∴必须是整数，∴必须是整数，∴或，∴或故答案为：1或9．35．2【分析】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地求解．先变分式方程为整式方程，再求解、检验．【详解】解：两边同时乘以，得，整理，得，解得，，检验：当时，最简公分母，是原方程的解；当时，最简公分母，是原方程的解，原方程的解是，，故答案为：2．36．【分析】本题考查了解分式方程以及因式分解法解一元二次方程，先把分式方程化为整式方程，再移项合并同类项，运用因式分解法解方程，注意验根，即可作答．【详解】解：去括号，得得即、解得经检验，是原方程的解，使得原方程无解∴该分式方程的解为故答案为：37．【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴，故答案为：．38．【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．39．且【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键．【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的实数根，，，，即：解得：，且．故答案为：且．40．方程没有实数根【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．【详解】∵，∴，∴不论k为何值，，即，∴方程没有实数根，故答案为：方程没有实数根．41．4【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论．【详解】解：、是方程的两个实数根，，，，．故答案为：4．42．3【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，最后代值求解即可．【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴，∴原式．故答案为：3．43．1（即可）【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，恒成立，∵两根之和为负数，∴，∴，∴m的值可以是1，故答案为：1（即可）44．1【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．根据根与系数的关系得，再根据，即可解得的值．【详解】解：∵关于的方程有两实根，∴，根据题意得，，，解得，故答案为：1．45．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x＋30＝0的两个根，∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，∵（x1−x2）2＝（x1＋x2）2−4x1x2＝121−120＝1，∴x1−x2＝1，又∵x1−x2＜m＜x1＋x2，∴1＜m＜11．故答案为：1＜m＜11．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．46．-2【分析】由于平行四边形ABCD的周长为32，所以两邻边a+b＝32÷2＝16，而a，b恰好是一元二次方程x2+8kx+63＝0的两个根，根据根与系数的关系可以得到a+b＝﹣8k，由此即可得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为32，∴a+b＝32÷2＝16，而a，b恰好是一元二次方程x2+8kx+63＝0的两个根，∴a+b＝﹣8k，∴﹣8k＝16，∴k＝﹣2．故填空答案：﹣2．【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与待定字母相结合，然后得到关于待定字母的方程是一种经常使用的解题方法．47．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可．【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得：．故答案为：．48．13或15【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量件，根据每月的利润等于每件的销售利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程求解即可．【详解】解：设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量为：件，根据题意有：，整理得：，解得：，，当时，，当时，，∴售价为：13元或15元，故答案为：13或15．49．5【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积：，由此列出方程并求得的值即可．【详解】解：设垂直于墙的材料长为，则平行于墙的材料长为，根据题意，得．解得：，故答案为：5．50．【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故甲走的步数是．故答案为：．51．有两个不相等的实数根【分析】由直线不经过第二象限以及一元二次方程的定义知，继而知，据此可得答案．【详解】解：直线不经过第二象限，是关于的一元二次方程，，，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，还涉及到一次函数的图象与性质．52．【分析】根据正比例函数的定义，令，且求出即可．【详解】解：∵函数是正比例函数，，且，，且，，且，，解得：．故答案为：．【点拨】本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1．