数学九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定课时训练

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【知识点一】矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
【知识点二】矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
【要点说明】
矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩
形分成完全全等的两部分.
矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的
交点就是对角线的交点（即对称中心）.
矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质
可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
【知识点三】矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
【要点说明】
在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
【知识点四】直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【要点说明】
直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形
对一般三角形不可使用.
学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直
角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用矩形的性质证明与求值
【例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接与．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求度数．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质：
（1）证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）矩形，得到，平行四边形的性质，推出，，再利用角的和差关系求解即可．
（1）证明：∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∵在△AOF和△COE中
∴
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是矩形
∴
∵在中，
又∵
∴
∵，
∴
∵在中，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，点E在边上，且，若平分，则的长是 ．
【答案】5
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，角平分线的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
故答案为：5．
【题型2】利用矩形的性质解决折叠问题
【例2】（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B的坐标为（4，2），点D为线段上的一个动点，点E为线段上一点（不与点A重合），连结．
（1）求对角线所在直线的函数表达式．
（2）如图2，将沿着翻折，使点A落在平面内的点F处．若点D为对角线的中点，当点F恰好落在矩形的顶点上时，求的长．
【答案】(1)； (2)或
【分析】对于（1），先求出点A，C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可；
对于（2），当点F与点O重合时，根据中点定义得出答案；当点F与点C重合时，根据勾股定理求出答案．
解（1）∵四边形是矩形，点B的坐标为，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）当F点与O点重合时，，
∵D点是的中点，
∴E点是的中点，
∴.
当F点与C点重合时，，
此时，
在中，，
∴，
解得，
∴.
综上所述：的长为2或.
【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理是求线段长的常用方法．
【变式1】（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以得到、的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．
解：由题意，，
设，则，
由折叠可得，，
∵，
∴，
解得，，
设，
∴，
∴，
∵，
，
解得，
∴点E的坐标为，
故选：A．
【变式2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解．
解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
由第一次折叠可知，，，
∴四边为正方形，
∴，
∴，
由第二次折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型3】直角三角形斜边上的中线问题
【例3】（23-24八年级下·北京·期中）已知：如图所示，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点．求证：
(1)． (2)．
【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）由已知条件易证，再根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知．
（2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证．
解（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等腰三角形，
E是的中点，
．
（2）证明：由（）知，
是直角三角形，
G是的中点，
，
E、F分别是，的中点，
，
．
【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，根据勾股定理即可求得的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
解：四边形是菱形，
∴，
∵，菱形的面积为96，
∴，
解得，
则，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了菱形的性质、等边对等角、直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．
根据菱形的性质、等边对等角，求出，求出，再根据斜边中线等于斜边一半、等边对等角，推出，得出答案即可．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型4】矩形判定的理解
【例4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，，E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）若点E、F同时运动，当t为何值时，四边形是平行四边形；
（2）在（1）的条件下， 当为何值时， 四边形是菱形？
（3）在（1）的条件下，四边形还可能是矩形吗？为什么？
【答案】(1)2； (2)(3)不能；理由见解析
【分析】本题综合考查平行四边形的判定和菱形的判定．考查学生综合运用数学知识的能力．
（1）根据要使四边形为平行四边形时，得出，即可求得t值；
（2）若是菱形，则垂直于，即有，故可求；
（3）若是矩形，，则此时E在O上，所以四边形不可以是矩形．
（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
若四边形为平行四边形，
∴，，
∵E在线段上从点B以的速度运动，点F在线段上从点O以的速度运动，
∴，，
∴，
∴，
∴当t的值为2时，四边形是平行四边形．
（2）解：若四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不可以．
若是矩形，，
∴，
∴，
则此时E在点B上，F在O上，
显然四边形不是矩形．
【变式1】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定定理，掌握以上定理是解题的关键．根据矩形的判定定理逐项分析即可．
解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意;
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形．

【答案】
【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键．
解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5】利用矩形的性质与判定求值与证明
【例5】（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：
（1）定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

已知：如图1，在中，，是边上的中线．
求证：．
证明：如图1，延长到点，使得，连接．
……
请把证明过程补充完整．
知识应用：
（2）如图2，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形即可；
（2）由直角三角形斜边中线的性质得，进而可证，然后证明是线段的垂直平分线即可．
解：（1）是边上的中线，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，
．
（2）如图，连接．

是边上的高，是边上的中线，
，是的中点．
．
，
．
．
是的中点，
．
是线段的垂直平分线．
．
【变式1】（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（ ）

A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．
解：过点E作于点P，

在矩形中
，，
∴四边形和四边形为矩形，
又，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，则，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
解得．
故选：A．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长．
【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
解：

如图，连接
四边形是矩形
，
∵
如图，作B点关于A点的对称点，连接
，
的最小值为
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证．
（1）解：如图1所示，直线为所求；

（2）证明：如图2，设与的交点为O，

由（1）可知，直线是线段的垂直平分线．
∴，，，，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【例2】（2024·云南·中考真题）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形；
（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到．
（1）解：连接，，

，，
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
矩形的周长为22，
，
四边形是菱形，
即，
四边形的面积为10，
，即，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（重庆市秀山土家族苗族自治县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，A为轴正半轴上一点，连接；过点作，在上截取线段，使，过点作直线轴，垂足为；交直线于点，连接，交直线于点，
（1）求证：；
（2）当点坐标为时，求点的坐标；
（3）当时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析； (2)；(3)
【分析】（1）设点A的坐标为，则，过点M作轴于点Q，交于点P，则，，，证明，得到，从而，又，即可得到；
（2）当点坐标为时，， ，，，由得到，，从而得到点，运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组即可得到点D的坐标；
（3）设点A的坐标为，则，根据两点间距离公式得到，当时，即，求解即可得到点A的坐标．
（1）解：设点A的坐标为，则，
过点M作轴于点Q，交于点P，

∴
∵，
∴，，，
∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：当点坐标为时，， ，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设过点，的直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，得，
∴
（3）解：设点A的坐标为，则
∵，轴，
∴点C的横坐标为，
∵点C在直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点拨】本题考查待定系数法，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的交点，矩形的判定，坐标与图形，正确作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，．
小壮说：若，则四边形为矩形；
小刚说：若，则四边形为矩形．
小强说：若，则四边形为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明．
【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析
【分析】选择小壮：先证明，再证明四边形为平行四边形，可得到，即可证明；
选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明；
选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明．
解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下：
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
若选择小刚：
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
若选择小强：
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键．