专题1.10 特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题1.10 特殊平行四边形（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、菱形的性质（1）边：四条边都相等.即；对边平行.即，.（2）角：对角相等.即，（3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角.即 平分，平分（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.3、菱形的判定（1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形.（3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形.4、菱形的面积菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.即【知识点二】矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2、矩形的性质（1）边：对边平行且相等.即,（2）角：四个角都是直角.即（3）对角线：对角线相等且互相平分，即对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.3、矩形的判定（1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形.【知识点三】正方形1、正方形的定义有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形.2、正方形的性质（1）边：四条边都相等.即；对边平行.即，.（2）角：四个角都是直角.即 （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）.即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴.3、正方形的判定（1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形.（2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形.（3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形.（4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.（5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用菱形的性质与判定求值或证明【例1】（23-24八年级下·四川内江·期中）问题：如图，在中，，，，的平分线分别与直线交于点E、F，求的长．探究：(1) ．(2)把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时， ；②当点E与点C重合时， ；(3)把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求的值．【变式1】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A．， B．C．， D．【变式2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）在矩形中，，，P是边上的一动点，E，F分别是线段的中点，连接，过点E作，交边于点G，则的最小值为 ．【题型2】利用矩形的性质与判定求值或证明【例2】（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接．(1)求证∶四边形 是矩形；(2)若 ，求的长．【变式1】（22-23八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在的两边上分别截取使，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点C，再连接，若，则四边形的面积是（    ）  A．240 B．130 C．120 D．65【变式2】（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，矩形内有一点P，连接，延长交于点E，若，则的长是 ．【题型3】利用正方形的性质与判定求值或证明【例3】（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点D在第一象限内，，轴，交x轴于点C．(1)求四边形的面积；(2)直线交于点E，点P在线段上． ①若，求点P的坐标；②设，直接写出 m的最小值．【变式1】如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ）A．45° B．50° C．60° D．不确定【变式2】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，交于点O，且，，将绕点C顺时针旋转至，连接，且、分别为、的中点，则四边形的面积是 ．【题型4】中点四边形【例4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”．(1)如图，“中点四边形”的形状是 ；(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）【变式1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（    ） A．30 B．35 C．40 D．60【变式2】（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ．【题型5】矩形、菱形、正方形性质与判定综合【例5】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图①，在正方形和正方形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．  (1)探究与的位置关系和数量关系；(2)如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形且．探究与的位置关系，写出你的猜想并加以证明(3)如图③，将图②中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．探究与的位置关系？直接写出你的猜想不需要证明．【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，点在边上，且，点、分别是线段、上的动点，连结、．若，则的长为（    ）A．2 B．3 C． D．【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为 第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）  A．4 B．5 C．8 D．10【例2】（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为 2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·青海果洛·期末）在正方形中，，且点为上的一动点，以为边作正方形，如图1所示，连接．  (1)求证：；(2)如图2，延长交于点．①求证：；②若，求的长度．【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：(1)【课本再现】第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；(2)【类比应用】如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．