北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题

这是一份北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
4．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知一元二次方程有两根，分别为，，则、的值分别为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根，若的值是，则k的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．2B．4C．2或D．或4
9．（2024·内蒙古包头·三模）平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．若的长为，那么平行四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
10．（21-22九年级上·湖北武汉·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·四川达州·模拟预测）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
12．（23-24九年级上·四川南充·期末）方程有两个实数根，则的取值范围
13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图像如图所示，则一元二次方程根的情况是

14．（2022·四川泸州·一模）设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ．
15．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
17．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
18．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024九年级上·江苏·专题练习）设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)； (2)．
20．（8分）（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为3，求k的值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
21．（10分）（23-24九年级上·河南周口·开学考试）已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不等的实数根；
（2）已知方程的一个根为，求代数式的值．
22．（10分）（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的一元次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）设的两个实数根为，，若，求的值．
23．（10分）（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
（1）若，解此方程；
（2）若，求证：此方程至少有一个实数根；
（3）设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
24．（12分）（23-24九年级上·四川达州·期末）阅读材料：
材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2 已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ．
（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；逐项判断即可．
【详解】解：A．中，有两个不相等实数根，不符合题意；
B．中，有两个不相等实数根，不符合题意；
C．中，没有实数根，符合题意；
D．中，有两个相等的实数根，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，掌握当一元二次方程有两个不相等的实数根时，其判别式是解答本题的关键．利用一元二次方程根的判别式，解出的取值范围即可．
【详解】解析：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
．
解得．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了根的判别式，因为关于x的一元二次方程有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根，
，并且，
∴且．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，其中，，本题根据根与系数的两个公式即可求得、的值．
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
，，
故选：D．
5．A
【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：m为方程的实数根，
∴，
即，
∴，
∵m，n为方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了根与系数的关系及分式的化简，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
利用根与系数的关系，可得出，即可求出结论．
【详解】解：，
，
，
a，b是关于x的一元二次方程的两根，
，
，
故答案为：A．
7．D
【分析】设、为方程的两个根，利用根与系数的关系得，，再利用勾股定理得到斜边长为，利用完全平方公式变形得到斜边，然后利用整体代入的方法计算求得斜边，最后根据三角形面积公式即可解答．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，勾股定理，完全平方公式，熟练运用一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为，
∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
∴，，
∴直角三角形斜边长为，
∴，，
∴，
解得：，
这个直角三角形的斜边上的高是，
故选：．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先由根与系数的关系得到，，再由已知条件得到，解方程得到m的值，再利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和平行四边形的性质，将代入原方程，可求出的值，进而可得出原方程为，利用根与系数的关系可求出的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出平行四边形的周长．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：由题意知：是关于的方程的一个实数根，
∴，
解得：，
∴原方程为，
∵，的长是关于的方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长是．
故选：C．
10．D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
11．10
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．根据题意，得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值．
【详解】解：根据题意，得，
∴
∵，
∴
故答案为：10．
12．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
13．有两个不相等的实数根
【分析】根据一次函数可得，，然后计算一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了一次函数图象与性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数解析式求得、b的范围是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数图象经过二、三、四象限，则，，
∴，
在一元二次方程中，
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根.
14．1
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系；
首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答．
【详解】方程的两个实数根，
，，，
解得：，
，
，
，
解得：，，
，
．
故答案为：1．
15．0或4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解．
【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：，
代入得：，
整理得：，
由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，．
故答案为：0或4．
16．
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时方程为，则，
当时方程为，则，
，
故答案为：．
17．/
【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．
先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到的长．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，的长是关于的方程的两个实数根，
△，，
解得，
，
即菱形的边长为．
故答案为：．
18．7或6
【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当或时，即，
∴方程为，
解得：，
此时该方程为，
解得：，，
此时三角形的三边为，符合题意；
当时，即，
解得：，
此时该方程为，
解得：，
此时三角形的三边为，符合题意，
综上所述，的值等于或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值；
（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值；
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
原式；
（2）∵，是方程的两个实数根，
∴，，
原式．
20．(1)；
(2)k的取值范围为．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值；
（2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：把代入得，
；
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
，
．
的取值范围为．
21．(1)方程总有两个不相等的实数根
(2)5
【分析】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
（1）找出，及，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把代入方程即可求，然后化简代数式再将代入所求的代数式并求值即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程．
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，
是此方程的一个根，
把代入方程中得到，
把代入得：
原式．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．
（1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值．
【详解】（1）解：该方程有两个实数根，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
即，
，
，，
，
．
23．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：由题意可得：，；
故答案为：；；
（2）解：，，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）解：把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．