专题2.15 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题2.15 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）.【知识点2】一元二次方程的解法：（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法.【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根；（2） 当时方程有两个相等的实数根；（3）当时方程没有实数根；（4）当时方程有两个实数根【知识点4】一元二次方程根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则, .【知识点5】实际问题与一元二次方程（1）列一元二次方程解应用题步骤：① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；④ 解：用适当的方法解一元二次方程；⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；⑥ 答：写出实际问题的答案。常见实际问题的数量关系① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数）③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字；⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】一元二次方程及相关概念【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【变式1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【变式2】（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　）A． B． C． D．【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．(1) (直接开平方法) (2) (配方法)(3) (公式法) (4) (因式分解法)【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程：(1) （用配方法） (2)（用公式法）【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程：(1)（公式法）； (2)（因式分解法）．【题型3】配方法的应用【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题：例题：求代数式的最小值．解：∵，∴，∴的最小值是9．（1）求代数式的最小值；（2）求代数式的最大值；（3）小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？【变式1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　）A． B． C． D．【变式2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是   【题型4】根的判别式【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根．（1）求m的取值范围；（2）判断方程的根的情况．【变式1】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（     ）A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【变式2】（2024·江苏扬州·三模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ．【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合【例5】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两根分为，且，求的值．【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．(1)取什么值时，方程有两个实数根．(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．【变式2】（2023·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．【题型6】实际问题与一元二次方程【例6】（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．【变式】（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．（1）求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）化简：．【例2】（2019·湖北鄂州·中考真题）已知关于的方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两根分别是、，且，试求k的值．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．【例2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、． （1）点A坐标为________，线段__________．（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．x