北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明复习练习题

这是一份北师大版（2024）九年级上册第四章 图形的相似5 相似三角形判定定理的证明复习练习题，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，于点F，若则的长度为（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F，为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，点，分别为，上的点，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长，交于点，若，则折痕的长为（ ）

A．8B．C．D．6
4．（20-21九年级上·山西运城·期末）如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，将△ABC绕顶点C旋转得到△，且使恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·内蒙古包头·二模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，使，分别延长，相交于点D，则线段的长为（ ）
A．6B．8C．9D．
7．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( )
A．B．C．D．10
9．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点G恰好落在矩形的边上，连接，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，点、分别为、上一点，连接、，过点作于点，过点作于点，若，，则线段的长为（）
A．B．C．D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022·湖南长沙·一模）如图，矩形中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为 ．
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则 .
13．（2024·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，，，连接对角线，是的平分线，过点作于点，交于点，交于点，则的长为 ．
14．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，点、在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为 ．
15．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．
16．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中AB＝3，AC＝4，△ABC绕着点A旋转后能与重合，若＝2，那么＝ ．
17．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，等腰直角三角形，为直角顶点，直角边长为，正方形，边长为，可绕点点逆时针旋转（小于度，旋转前与边重合）．
（1） ．
（2）当，，在同一直线时， ．
18．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果.那么的长等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（20-21九年级上·山东济南·阶段练习）如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
20．（8分）（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图是边长为1个单位长的正方形网格，A、B、C、D是正方形的格点（单位正方形的顶点），与相交于点．
(1)线段与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
(2)求线段的长．
21．（10分）（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，于点，求证：；
（2）如图，矩形中，，，点，分别在边，上，于点，探究与的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的基础上，若，，其他条件不变，请直接写出与的数量关系.
22．（10分）（23-24八年级下·江苏徐州·期中）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于，于．求证：；
（2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交、、、于点、、、．求证：；
（3）在（2）的条件下，若正方形的边长为，则线段的最大值_______．
23．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是 ；②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ．
（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．
（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）
24．（12分）（23-24九年级上·陕西西安·期末）（1）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，，且，求的值．
（2）如图2，四边形是某市工业区的外环路，是工业区内的一条公路，长．为了缓解交通，需过处修建一条笔直的公路，并与所在的公路垂直，与所在的公路相交于点．已知，，，，求该工业区四边形的面积．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，可得，可求的长，通过证明，可得，可求的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，，再由作图过程知平分，进而证明，，则，再证明，即可求得的长．
【详解】矩形中，，，
，，，
，
由作图过程知平分，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及判断出平分是解答的关键．
3．C
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过点F作于点H，由折叠的性质可得，通过导角证明，进而证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：如图，与交于点O，过点F作于点H，

，
∴四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得，
，
，
又矩形中，，
，
，即，
又，
，
，即，
解得，
故选：C．
4．B
【分析】利用旋转的性质得AB=BD=3，∠C=∠E，再证明∠C=∠CAD得到AD=CD，接着证明△CAD∽△CBA，然后利用相似比可计算出CD的长，从而得到AD的长．
【详解】解：∵绕点顺时针方向旋转得到，
∴AB=BD=3，∠C=∠E，∠ABC=∠EBD
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠EBD，
∴∠CAD=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠C=∠CAD，
∴CD=AD，
∵∠CAD=∠ABC，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，即，
整理得CD2+3CD-9=0，解得CD=（其中负值舍去）
∴AD=
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
5．B
【分析】过C作CM⊥AB于M，设AC=4x，AB=5x，利用勾股定理求出BC=3x，由射影定理得：，求出x，得到，证明△∽△，即可求出答案．
【详解】过C作CM⊥AB于M，
∵∠ACB=90°，sinB=，
∴，
设AC=4x，AB=5x，
∴=3x，
∵∠ACB=∠BMC，∠B=∠B，
∴△ACB∽△CMB，
∴,
∴x，
由旋转得：，
∵CM⊥AB，
∴x，
∴，
∵，
∴△∽△，
∴=，
故选：B．
．
【点睛】此题考查旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，求线段比值的问题通常是证明两条线段所在的三角形相似，题中辅助线的引出是解题的关键．
6．C
【分析】利用平行线的性质以及旋转的性质得到，再利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了旋转的应用和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
7．C
【分析】由题意可得，从而得到，根据相似三角形的判定方法得到，则勾股定理可求得的长，从而可得到的值．
【详解】解：由题意知绕点顺时转动了90度，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理．
8．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的应用．
先证明，得到，推出，再证明，据此即可求解．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
9．D
【分析】连接AG，由旋转变换的性质可得∠ABG=∠CBE，AB=BG，再利用勾股定理求出CG、AG的长;再说明△ABG∽△CBE，最后相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：如图：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BG =AB=20，BE =BC=12
∵矩形
∴AD=BC=12,CD=AB=20
由勾股定理得，，
∴DG=DC-CG=20-16=4.
∴
∵
∴△ABG∽△CBE
∴，即，解得CE=．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
10．D
【分析】连接，由四边形是正方形，，可得，，而，可证，得，再证，得，，有，即可得，有，设，根据勾股定理得，可解得．
【详解】解：连接，如图∶
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
故选∶D．
【点睛】本题考查正方形性质，涉及三角形全等，相似的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11．
【分析】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，求得的比例关系是解答此题的关键．设，再说明，易得，那么，因此只需求得的比例关系即可．再证明，继而可得，联立，求得的比例关系即可解答．
【详解】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．由是的平分线，得，由已知易证，，，得出，再由，求出的长度即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
∵是的平分线，
，
，
∴
．
，
∴
∴
∴，
∴．
故答案为：．
14．/2.5
【分析】连接交于，易证得，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：连接交于，如图：
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
中，，，
，
，
，，
，
，
即，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．
15．①②③
【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 .
【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵和是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .
16．
【分析】根据旋转性质得到，，，再相似三角形的判定与性质证明进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC绕着点A旋转后能与'重合，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转性质，证明是解答的关键．
17．
【分析】（1）连接，，证明，，得，便可求得结果；
（2）由勾股定理求得，进而求得．
【详解】解：（1）连接，

，，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
由旋转性质知，，
∽，
，
故答案为：；
（2），，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
18．
【分析】如图：连接，先证可得，进而说明垂直平分线段，即、可得；然后再证，根据相似三角形的性质列式即可解答．
【详解】解：如图，连接，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴
∵
∴，
∴．
∴
∵
∴
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键．
19．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）四边形是矩形，
，．
又，
，，
；
（2），
，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键．
20．(1)是
(2)线段的长为
【分析】（1）根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据垂线的定义，即可得出结论；
（2）根据勾股定理，得出，再根据相似三角形的判定定理，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后代入相应的值，计算即可．
【详解】（1）解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：是；
（2）解：如图，
在中，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了网格的特征、全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、垂线的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在充分利用正方形网格的特点进行解答．
21．（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠BAF=∠D，AB=AD，再根据同角的余角相等得到∠ABF=∠DAE，由此可证明△ABF≌△DAE得到结果；
（2）根据矩形的性质得到∠BAF=∠D，由余角的性质得到∠ABF=∠DAE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（3）结论：AE=BF．证明方法类似（2）；
【详解】（1）证明：连接CF，BE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D，AB=AD．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：如图2中，结论：，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=∠D，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠FAM=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∴△ABF∽△DAE，
，
，
（3）结论：．
理由：由（2）可知△ABF∽△DAE，
∴，
∴.
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【分析】（1）先判断出，再根据从而得到；
（2）先判断出，代换即可得到结论；
（3）当点和点重合时，最大．据此解答即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点作交于，则，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形．
，，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，连接，，，
正方形是轴对称图形，为对角线上一点，
，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
；
（3）解：由（2）得，
，
，
，是正方形的对角线，正方形的边长为，
，
当点和重合时，最大值，
故答案为：1．
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出，也是解本题的难点．
23．（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG
（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD=∠DAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵AD=2AB，AG=2AE，
∴，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
∵EG∥AB，
∴∠DME=∠DAB=90°，
在Rt△AEG中，AE=1，
∴AG=2AE=2，
根据勾股定理得，EG=，
∵AB=，
∴EG=AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图5，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2，
由（3）知，△ABE∽△ADG，
∴，
∴，
∴DG=4．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．
24．（1）；（2）
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）证出，根据相似三角形的性质求解即可得；
（2）过点作，交延长线于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，再利用直角梯形的面积公式求解即可得．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）如图，过点作，交延长线于点，
，
，
∴四边形为矩形，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
∴，
，
答：该工业区四边形的面积是．