初中数学北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题，共37页。
【模型1】平行“双A字”模型； 【模型2】“一线三垂直”模型；
【模型3】“三角形内含矩形”模型； 【模型4】“共边等角”模型；
【模型5】“双垂直等角”模型； 【模型6】“一线三等角”模型；
【模型7】“十字架”模型； 【模型7】“旋转手拉手”模型；
【模型8】“共边等角”模型综合应用； 【模型9】“三角形内含矩形”模型综合应用；
【模型10】“一线三垂直”模型综合与拓展； 【模型11】“双垂直等角”模型综合与拓展；
【模型12】“一线三等角”模型综合与拓展； 【模型13】“射影图形”模型综合与应用；
【模型14】旋转中的“一线三等角”模型； 【模型15】矩形中的“十字架”模型综合与拓展.
选择题
【模型1】平行“双A字”模型；
1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【模型2】“一线三垂直”模型；
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
4．（14-15八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，，E为上一点，分别以、为折痕将两个角向内折起，点A、B恰好落在边的点F处，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【模型3】“三角形内含矩形”模型；
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
6．（2024·浙江·三模）如图，在中，，点D，E，F，G在各边上，且四边形是正方形．若，，则正方形的面积为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
【模型4】“共边等角”模型；
7．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ．
8．（2024·云南昆明·三模）如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
【模型5】“双垂直等角”模型；
9．（2024·浙江台州·三模）在中，，，，过点A作于点D，以D为顶点作一个直角，其两边分别与边，交于点E，F，点F不与点B重合，则 ．

10．（2024·广西崇左·三模）如图，，，，，点 在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ．

【模型6】“一线三等角”模型；
11．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
12．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，，，，点在上，且交于点，以下结论：①；②；③的面积最大值为；④若平分，则，其中正确的结论为 （填序号）．
【模型7】“十字架”模型；
13．（2024·陕西西安·三模）如图，，，点E、F 分别在边、上，点G为线段上一动点，过点 G作EF 的垂线分别交、于点M、N．若线段恰好平分矩形的面积，且 则的长为 ．
14．（2024·山东枣庄·二模）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．

【模型7】“旋转手拉手”模型；
15．（2024·江苏无锡·二模）如图，，，，将的顶点D与边的中点重合，并将绕着点D旋转．在旋转过程中，的边始终与边相交，交点分别为M、N．当时，的长是 ．
16．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点D在上，交于点F，若，则的长是 ，的长是 ．

三、解答题
【模型8】“共边等角”模型综合应用；
17．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知．
（1）求证：；
（2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积．
【模型9】“三角形内含矩形、正方形”模型综合应用；
18．（2024·河南商丘·模拟预测）如图①，是一块锐角三角形材料，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个定点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
（1）解这个题目，求出这个正方形零件的边长是多少？
变式训练：
（2）如果要加工成一个矩形零件，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长是多少？
（3）如图③，在中，，正方形的边长是8，且四个顶点都在的各边上，．求的值．
【模型10】“一线三垂直”模型综合与拓展
19．（2024·内蒙古包头·三模）已知：在中，，，且点 E、F分别在矩形的边、上．
（1）如图1，当点G在上时，
①求证：；
②当，，E是的中点时，求的长；
（2）如图2，若F是的中点，与相交于点N，连接，求证：；
（3）如图3，若，，分别交于点M、N，求证：．
【模型11】“双垂直等角”模型综合与拓展
20．（2024·河南郑州·三模）中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接.
问题初现：
（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______；
类比探究：
（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.
【模型12】“一线三等角”模型综合与拓展
21．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上．
（1）求证：；
（2）当点移动到的中点时，求证：平分．
22．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
【模型13】“射影图形”模型综合与应用
23．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点
（1）求证：；
（2）求证：； （3）若，，，求的长．
【模型14】旋转中的“一线三等角”模型
24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【模型15】矩形中的“十字架”模型综合与拓展
25．（2024·吉林长春·二模）【感知】如图1，在正方形中，、分别在边、上，于点．猜想线段与的数量关系为______；
【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
（1）如图2，在正方形中，若点、、、分别在边、、、上，于点，求证：；
（2）如图3，将中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______；
（3）如图4，在四边形中，，，点在上，且，连结，过点作交于点，交于点，直接写出线段的长．
参考答案：
1．A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
【详解】解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，，
，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．
2．B
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由，，，，则，，所以，，则，所以，则，，由，得，所以，则，可判断①符合题意；由得，因为不一定等于，所以与不一定相等，可判断②不符合题意；由，且，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，，，，
∴，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故①符合题意；
由得，
与不一定相等，
不一定等于，
与不一定相等，
故②不符合题意；
，且，
，
故③符合题意，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过F作于G，交于H，
，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了相似三角形的性质和判定．
先根据折叠的性质得，，，，证明，列出成比例的线段，所以．
【详解】解：，
．
根据折叠前后的图形全等得到，
，，，
，，
，
，
，
∴，
，
（负值舍去）.
故选：A.
5．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明相似三角形是解题的关键．设正方形的边长,先证明四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
，，
，
∵是的高，
，
∴四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，
，
，
解得：，
．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的面积为，
故选：D．
7．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质．由相似三角形的性质得出，进而求出，设，则，由二次函数的性质可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
设，
时，的最大值为．
故答案为：．
8．（答案不唯一）
【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知，得到，则可以再添加从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解：添加的条件是，
，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
9．/
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，得到，再证明，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键．
利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴当最小时最小，
又∵，
∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高，
在中，，，则：，
∵，即：，
解得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，根据等边三角形的性质可得，由三角形内角和定理得到，由折叠的性质得到，进而得到，推出，即可证明，得到，由，结合即可求解，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
由折叠的性质得到，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
∴，可化为，
∴，
∴，
∴，
又∵，即有，
∴，
∴，
故答案为：．
12．①②④
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质等知识．通过证明点，点，点，点四点共圆，可证，可得，故正确；由相似三角形的判定方法可证，故正确；由可证，可得，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求的面积最大值为，故错误，通过证明，可得，即，故正确．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，故正确；
，
，
又，
，故正确；
如图，过点作直线于，
，
又，，
，
，
，
，
的面积，
的面积最大值为，故错误，
和是等腰直角三角形，
，，
平分，
，
又，
∽，
，
，
，故正确；
故答案为：①②④．
13．/
【分析】先判断过矩形的对称中心，过点D作交于点I，过点C作 交于点H，，证明，从而求出，在中求出，进而求即可．
【详解】如图， 连接，交于O，
∵线段恰好平分矩形的面积，
∴O是矩形的对称中心，
∴， 过点D作交于点I，过点C作 交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴ ，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，确定相似三角形，再利用相似三角形的性质解决问题是关键．
14．/
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．根据题意证明，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
∴．
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用斜边中线的性质求得，，证明，推出，求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
由旋转的性质知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
16．
【分析】根据和都是等边三角形，得出，，设，得到两个用x表示的关系式，解方程即可．
【详解】∵和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则
∴
∴
∴，则
∵和都是等边三角形，
∴
∴
∴，即
∴
∴，解得：（负值舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是正确找出相似三角形．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键
（1）由，可得，由，，即，可证．
（2）由（1）知，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，即，
解得，，
答：水果园的面积为．
18．（1）；（2）当，时，此时矩形面积最大．（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质：
（1）设正方形零件的边长为，根据，可得，即可求解；
（2）设，根据，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据，可得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】解：（1）四边形为正方形，
，
，
设正方形零件的边长为 ，则 ，，，
，
即，
解得，
故这个正方形零件的边长是．
（2）设 ，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
矩形面积，
时，此时矩形面积最大．
即当，时，此时矩形面积最大．
（3）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．(1)①见解析；②
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出，即可得出，得，勾股定理求出，从而得出答案；
（2）先判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，得出，进而得出，判断出，即可得出结论．
【详解】（1）解：①证明： ∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴；
②∵，E是的中点，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在中，
∵在中，，
（2）证明：如图2，延长交延长线于点K，

∴，
由（1）知，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图3，过点G作交的延长线于P，

∴，
同（1）的方法得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，判断出，是解本题的关键．
20．（1）相等 （2），理由见解析 （3）或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称图形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用证明即可解题;
（2）证明，可以得到即可得到结论；
（3）四边形为轴对称图形有两种情况，即为矩形和满足，的情况分别计算解题即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2），理由为：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当四边形为矩形时，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：；
如图，当四边形满足，时，是轴对称图形，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当四边形为轴对称图形时，线段的长为或．
21．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
∴；
（2）证明：，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
平分．
22．（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键．
（1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可．
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）结论仍成立；理由如下：
，
又，
，
，
，
又，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，
（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
（2）首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）勾股定理求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．
【详解】（1）证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图，作于
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
25．感知：相等；探究：（1）见解析；（2）；（3）
【感知】证明，得出；
【探究】（1）过点作交于，过点作交于，证明即可求解；
（2）过点作交于，过点作交于，由（1）可得；
（3）如图，过点作于，根据垂直的定义得到，已知，根据勾股定理得到的长，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】感知：解：；理由如下：
四边形为正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
探究：（1）证明：过点作交于，过点作交于，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）解：；理由如下：
过点作交于，过点作交于，
由（1）可得，，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3）如图，过点作于，
，
，，
，
，，
，
由（1）知，
，
解得．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．