初中数学北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册5 相似三角形判定定理的证明巩固练习，文件包含专题435添加辅助线构造三角形相似的八种方法题型梳理与方法分类讲解北师大版教师版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx、专题435添加辅助线构造三角形相似的八种方法题型梳理与方法分类讲解北师大版学生版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形相似的方法。
【方法1】作平行线构造三角形相似
【方法2】作垂直构造三角形相似
【方法3】连接两点构造三角形相似
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似
【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似
【方法6】截长补短构造三角形相似
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似
【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似
第二部分【题型梳理与方法点拨】
【方法1】作平行线构造三角形相似
【例1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由．
【变式1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ．

【方法2】作垂直构造三角形相似
【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，连接、，且，求证：；
（2）如图（2），在矩形中，，，、分别是、上的点，连接，过点作，分别交、于点、，且，，求的长．

【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 ．

【方法3】连接两点构造三角形相似
【例2】如图， 正方形，点F为中点， 点E为上一点， 满足，设， 则可以表示为（ ）

A．B．C．D．
【变式1】如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）

A．B．C．5D．6
【变式2】．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）

A．6B．8C．10D．12
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似
【例4】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．

【变式1】正方形的边长为2，点P在射线CB上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线AB对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（ ）．

A．B．C．D．
【变式2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M、N，过点F作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ， ．

【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似
【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．

【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ．

【方法6】截长补短构造三角形相似；
【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【变式1】（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ．
①；②；③；④．

【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．4D．
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似；
【例7】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在四边形中，，于F，，，，则线段的长为 ．

【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为AD的中点，，则的长为 ．
【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）中，，是边上的高，若，则的最小值为 ．

【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似；
【例8】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）在中，，，．点D在边上，，垂足为E，，如图1，将绕点B顺时针旋转，连结，在上方作，的边与交点为F，连接，延长交于点M，如图2，在旋转的过程中，线段的最小值是 ．

【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ．
【变式2】（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ．