北师大版（2024）九年级上册8 图形的位似同步达标检测题

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【知识点一】位似图形的定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【知识点一】位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【要点提示】
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【知识点三】平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
【知识点三】作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
【要点提示】位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】位似图形的识别与位似中心的判断
【例1】判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心．
（1）如图（1）所示，，相交于点O，且，；
（2）如图（2）所示，，相交于点O，且．
【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．③④
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．

【题型2】位似图形相关概念的辨析
【例2】（21-22九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为；
（2）连接（1）中的，则线段的长度是________．
【变式1】（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．是的中位线D．
【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．

【题型3】画已知图形扩大或缩小后的图形并求相似比
【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．

（1）在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为．
（2）在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
【变式2】已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ．
【题型4】坐标系中位似图形的相似比、周长比、面积比
【例4】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
（2）证明和相似．
【变式1】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）

A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶9
【变式2】（2022·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ．
【题型5】坐标系中位似图形的对应坐标
【例5】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、．
（1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标；
（2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，B的坐标是，O为位似中心，A点对应的坐标为，的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ．
【题型6】坐标系中位似图形画位似图形
【例6】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．
（1）在图中画出点P，并写出点P的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标．
【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．

第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【例2】（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2、拓展延伸
【例1】（2021·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
【例2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．