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初中北师大版(2024)第六章 反比例函数1 反比例函数达标测试
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【知识点1】反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.即,或表示为,其中是不等于零的常数.
一般地,形如的函数称为反比例函数,其中是自变量,是函数,自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
【知识点2】反比例函数的三种形式
(1);(2);(3)
【知识点3】反比例与反比例函数的关系
(1)如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系
(2)成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.
(3)反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分.
【知识点4】待定系数法求反比例函数解析式
1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。
2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤:
设:根据题意,设反比例函数的解析式为;
代:把,的对应值代入中,得到关于的方程;
解:解方程,求出常数;
写:把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。
题型目录
【题型1】反比例函数定义;
【题型2】根据反比例函数定义求参数;
【题型3】求反比例函数值;
【题型4】求反比例函数自变量取值范围;
【题型5】利用表格法求反比例函数解析式;
【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式;
【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式;
【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式;
【题型9】直通中考;
【题型10】拓展延伸
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】反比例函数定义
【例1】已知函数.
(1)当m为何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m为何值时,y是x的反比例函数?
【变式1】下列关系式中,y是x的反比例函数的是( )
A.B.C.D.
【变式2】若与成正比例关系,与成正比例关系,则与成 关系.
【题型2】根据反比例函数定义求参数
【例2】已知函数,
(1)当m,n为何值时是一次函数?
(2)当m,n为何值时,为正比例函数?
(3)当m,n为何值时,为反比例函数?
【变式1】若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根,则反比例函数的图象可能经过点( )
A.(3,1)B.(0,3)C.(﹣3,﹣1)D.(﹣3,1)
【变式2】点在反比例函数的图象上,点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上,且,则的值为 .
【题型3】求反比例函数值
【例3】如图,平面直角坐标系中,点,在反比例函数的图象上,轴于点,于点,为中点,连接.
(1)填空:______, ______;
(2)求长.
【变式1】如图反比例函数的图象在第一象限,已知点, ,在函数图象上,轴,.
(1) ;
(2) .
【变式2】(选做)已知点是反比例函数图像上一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
【变式3】(选做)如图中,直角顶点在坐标原点,且,点在上,点在上,则 .
【题型4】求反比例函数自变量取值范围
【例4】已知的三个顶点为、、,将向右平移m()个单位后成,此时某一边的中点恰好落在反比例函数的图像上,求m的值.
【变式1】在平面直角坐标系中,函数的图像与坐标轴的交点个数是( )
A.0B.1C.2D.4
【变式2】已知反比例函数的图象经过点,则 .
【题型5】利用表格法求反比例函数解析式
【例5】若矩形的两邻边长度分别为x,y,面积保持不变,下表给出了x与y的一些值求矩形面积.
(1)请你根据表格信息写出y与x之间的函数关系式;
(2)根据函数关系式完成上表.
【变式1】近视镜镜片的焦距(单位:米)是镜片的度数(单位:度)的函数,下表记录了一组数据:
在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是( )
A.B.C.D.
【变式2】.某工程队计划修建铁路,给出了铺轨的天数y(d)与每日铺轨量x(km/d)之间的关系表:
根据表格信息,判断出y是x的函数,则这个函数表达式是 .
【题型6】利用函数变量对应值求函数解析式
【例6】已知,与成正比例,与成反比例,当时,,当时,.
(1)求y的表达式;
(2)求当时的值.
【变式1】若y与x成反比例,且x=3时,y=7,则比例系数是( )
A.3 B.7 C.21 D.20
【变式2】若一个水池内蓄水40m³,设放完满池水的时间为h,每小时放水量为m³,则与之间的函数关系式是 ;当m³时, .
【题型7】利用交点坐标求反比例函数解析式
【例7】已知直线与双曲线有两个交点,其中一个交点的横坐标为.求:
(1)两个函数的解析式;
(2)两个交点的坐标.
【变式1】已知直线与双曲线的一个交点的坐标为,则直线的解析式为 ,双曲线的解析式为 .
【变式2】已知双曲线经过直线y=3x-2与y=x+1的交点,则它的解析式为 .
【题型8】利用面积公式求反比例函数解析式
【例8】用解析式表示下列函数.
(1)三角形的面积是,它的一边a(单位:)是这边上的高h(单位:)的函数;
(2)圆锥的体积是,它的高h(单位:)是底面面积S(单位:)的函数.
【变式1】如果三角形底边是a,底边上的高是h,则三角形面积.那么下列说法错误的是( )
A.当a为定长时,S是h的一次函数B.当h为定长时,S是a的一次函数
C.当S确定时,a是h的一次函数D.当S确定时,h是a的反比例函数
【变式2】已知三角形的面积是12cm²,则三角形的高cm与底cm的函数关系式是 ,这时是的 .
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型9】直通中考
【例1】(2024·四川乐山·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)是第一象限内一点,连接OA,将OA绕点A逆时针旋转90°得到线段AB,若反比例函数(x>0)的图象恰好同时经过点A、B,则k的值为 .
【例2】(2024·江苏无锡·中考真题)在探究“反比例函数的图象与性质”时,小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中,使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上(如图所示),然后将三角板向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后,小明发现两点恰好都落在函数的图象上,则的值为 .
【题型10】拓展延伸
【例1】如图,已知点、在反比例函数的图象上,过点的一次函数的图象与轴交于点C0,1.
(1)求、的值和一次函数的表达式;
(2)连接,求点到线段的距离.
【例2】将代入反比例函数中,所得函数值记为,又将代入原反比例函数中,所得函数值记为,再将代入原反比例函数中,所得函数值记为,…,如此继续下去,则 .x
1
8
y
4
2
(单位:度)
100
250
400
500
(单位:米)
y(d)
120
150
200
240
300
x(km/d)
10
8
6
5
4
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