北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质练习题

这是一份北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质练习题，文件包含专题62反比例函数的图象和性质3大知识点12类题型知识梳理与题型分类讲解北师大版教师版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx、专题62反比例函数的图象和性质3大知识点12类题型知识梳理与题型分类讲解北师大版学生版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
【知识点1】反比例函数的图象
1.反比例函数图象的画法（描点法）
（1）列表； （2）描点； （3）连线.
2.图象的特点
（1）反比例函数的图象是双曲线；
（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限；
（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

【特别提示】
双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)；
实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的一支或其中一部分。
【知识点2】反比例函数的性质
【特别提示】在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k0（k0）时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数当成y随x的增大而减小是错误的.
【知识点3】系数k的几何意义
（1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.
(2)常见的面积类型：
【特别提示】
(1)已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
(2)越大，双曲线离原点越远.
(3)求k的常用方法:①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系.
题型目录
【反比例函数的图象】
【题型1】判断反比例函数的图象;
【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式；
【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围；
【题型4】判断反比例函数所在的象限；
【反比例函数的性质】
【题型5】反比例函数的对称性；
【题型6】判断反比例函数的增减性；
【题型7】由反比例函数的增减性求参数；
【题型8】比较反比例函数的值或自变量的取值大小；
【比例系数k的几何意义】
【题型9】已知比例系数求特殊图形面积；
【题型10】由图形面积求比例系数;
【中考链接与拓展延伸】
【题型11】直通中考;
【题型12】拓展延伸
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断反比例函数的图象
【例1】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数

(1)直接写出自变量x的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
(3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？
【答案】(1)；(2)见解析；(3)y随x的增大而增大.
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键．
（1）根据分母不为零即可得解；（2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可；
（3）根据画出的图象回答即可．
（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是；
（2）解：列表格如下：
描点并连线如下：
（3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大．
【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解．
解：由矩形的面积可得，，
∴，
∴是反比例函数，
∵，，
∴图象分布在第一象限，
故选：．
【变式2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．
根据图象得出结论．
解：由图可知，当时，．
故答案为：．
【题型2】已知反比例函数图象判断其解析式
【例2】（20-21九年级上·江西南昌·阶段练习）已知a满足以下三个条件：①a是整数；②关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根；③反比例函数的图象在第二、四象限．
（1）求a的值．
（2）求一元二次方程ax2+4x﹣2＝0的根．
【答案】(1)-1;(2) x1＝2+，x2＝2﹣．
【分析】(1)先根据关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根求出a的取值范围，再由反比例函数的图象在二、四象限得出a的取值范围，由a为整数即可得出a的值；
(2)根据a的值得出方程，解方程即可得出结论.
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝16+8a＞0，得a＞﹣2且a≠0；
∵反比例函数图象在二，四象限，
∴2a+1＜0，得a＜﹣，
∴﹣2＜a＜﹣．
∵a是整数且a≠0，
∴a＝﹣1；
（2）∵a＝﹣1，
∴一元二次方程为﹣x2+4x﹣2＝0，即：x2﹣4x+2＝0，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点拨】此题主要考查一元二次方程根的判别式、反比例函数的性质和一元二次方程的解法.
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大．
根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答．
解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点，
∴，
∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点，
∴，
∴，
∴k的值可能是3，故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ．

【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用．求得中点A的坐标是解题的关键．
由点D的坐标为，可求得菱形的边长，得到，由点中点性质即得．
解：∵点 D 的坐标为 ，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵点A是的中点，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型3】已知双曲线所在象限求参数取值范围
【例3】（21-22九年级上·河南漯河·阶段练习）已知反比例函数y=（m为常数）
（1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值：
（2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据图象所处的象限确定m的取值范围即可．
解：（1）∵函数图象经过点A（-1，6），
∴m-8=xy=-1×6=-6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
（2）∵函数图象在二、四象限，
∴m-8＜0，
解得：m＜8，
∴m的取值范围是m＜8．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限，
∴，，，
当时，由图象可得，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限，
∴，
∴
故答案为：．
【题型4】判断反比例函数所在的象限
【例4】（2024·江苏南京·三模）点的坐标是，从，，6，2这四个数中任取一个数作为的值，再从余下的三个数中任取一个数作为的值．
(1)求点在平面直角坐标系中第四象限内的概率；
(2)若，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是_______．
【答案】(1)； (2)
【分析】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法求概率，反比例函数的性质，解题的关键是画出树状图．
（1）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）根据点P坐标的情况数，得出的情况数，然后根据概率公式进行计算即可．
解：（1）解：画树状图为：

∵共有12种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为：4，
∴点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为；
（2）解：∵共有12种等可能的结果，其中的情况数有8种，即反比例函数的图象在二、四象限的情况数有8种，
∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是．
【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质.
先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限.
解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限，
故选：C
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如果，那么反比例函数的图象在第 象限．
【答案】一、三
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．判断出的取值范围即可求解．
解：，
∴，
∴反比例函数的图象在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【题型5】反比例函数的对称性
【例5】（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）．
(1)在图①中画出点关于原点的对称点；
(2)点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点．

【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，无刻度的直尺作图，全等三角形的判定及性质，理解反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，是解决问题的关键．
（1）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，即可求解；
（2）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，连接，，并延长交反比例函数的图象于，，连接，并延长交轴于，即可求解．
（1）解：连接，并延长交反比例函数的图象于，如图所示，

点即为所求；
（2）连接，并延长交反比例函数的图象于，
连接，，并延长交反比例函数的图象于，，
连接，并延长交轴于，如图所示，
∵反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，
∴，，
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
点即为所求．
【变式1】已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出的值即可判断．
解：点、、都在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．
设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解．
解：设，
点与点关于y轴对称，
点，
P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，
解得：，
故答案为∶1．
【题型6】判断反比例函数的增减性
【例6】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数
(1)直接写出自变量x的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
(3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？
【答案】(1)；(2)见解析；(3)y随x的增大而增大.
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键．
（1）根据分母不为零即可得解；
（2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可；
（3）根据画出的图象回答即可．
解：（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是；
（2）解：列表格如下：
描点并连线如下：
（3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大．
【变式1】（22-23九年级下·山东德州·开学考试）若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限B．图象经过点
C．随的增大而减小D．图象关于原点对称
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题．
解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意；
．当x=2，，所以经过，该选项正确，不符合题意；
．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意；
． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数．
（1）下列结论正确的是 ；
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图象关于轴对称
（2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ；
A． B． C． D．
（3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“