北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用当堂检测题

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【知识点1】利用反比例函数解决实际问题思路
在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题，运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：
（1）通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中的待定系数的值；
（2）已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题；
【知识点2】运用反比例函数解决实际问题的一般步骤
（1）审； （2）设； （3）列； （4）写； （5）解.
【特别提示】利用反比例函数解决实际问题时应注意:
1.要理清题目中的常量与变量及其基本数量关系；
2.结合问题的实际意义确定目变量的取值范围；
3.要熟练掌握反比例函数的薏义、图象和性质.
题型目录
【题型1】反比例函数在生产生活中的应用;
【题型2】反比例函数在工程问题中的应用；
【题型3】反比例函数在跨学科中的应用；
【题型4】反比例函数在销售利润中的应用；
【题型5】反比例函数与几何综合应用；
【题型6】直通中考;
【题型7】拓展延伸
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】反比例函数在生产生活中的应用
【例1】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段（即：当时，大棚内的温度是时间的反比例函数），已知点A坐标为．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）当时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大橱内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)AB解析式为：；(2)恒温系统设定恒温为；(3)恒温系统最多关闭，蔬菜才能避免受到伤害
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）根据函数图象求出当时，y的值即可得出答案；
（3）先求出反比例函数解析式，然后代入临界值求出x，最后求出答案即可．
解：（1）解：设线段解析式为，
∵线段过点，代入得，
解得，
∴解析式为：；
（2）解：∵解析式为：，
当时，，
∴恒温系统设定恒温为；
（3）解：设双曲线解析式为：，
∵，
∴，
∴双曲线解析式为：，
把代入中，
解得：，
∴，
∴恒温系统最多关闭，蔬菜才能避免受到伤害．
【点拨】本题考查了一次函数、反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解题的关键是明确题意，注意临界点的应用．
【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．水温从降至，所需时间为
D．水温不低于的时间为
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
解：∵开机加热时水温每分钟上升，
∴水温从加热到，需要，故A选项错误；
∴设反比例函数的解析式为，将点代入，可=得，
∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项错误；
将代入得，
解得
∴
∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误；
∵开机加热时水温每分钟上升，
∴水温从加热到，需要，
将代入得，
解得
∴水温不低于的时间为，故D选项正确．故选：D．
【变式2】（21-22九年级上·全国·单元测试）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．（无需确定的取值范围）
【答案】
【分析】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式．设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：，把代入即可求出k的值．
解：设眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：，
把代入，
可得出，
∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为，故答案为：．
【题型2】反比例函数在工程问题中的应用
【例2】（2022·山东青岛·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图．
（1）分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式；
（2）扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？
（3）扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？
（4）当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？
【答案】(1)；；(2)；(3)；(4)
【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可；
（2）当代入，求出的值，进而得出答案；
（3）当代入，求出的值，进而得出答案；
（4）利用分别得出的值，进而得出答案．
解：（1）解：当时，由题意设，将代入得：，
故在扩建改造期间的函数关系式为：；
当时，当时，，则；
即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：；
（2）扩建改造工程完工后，当时，
即：，解得：，
∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元；
（3）扩建改造工程完工后，当时，
即：，解得：，
则，
∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元；
（4）对于，当时，，
对于，当时，，
所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月．
【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天.
（1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？
【答案】(1)；(2)平均每天至少要回填30吨土
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键.
（1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式；
（2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围．
解：（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得，
∴v关于t的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
那么平均每天至少要回填30吨土．
【变式2】（18-19九年级上·全国·单元测试）市政府计划建设一水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量（米3天）与完成运送任务所需的时间（天）之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1000米3，则公司完成全部运输任务需 天．

【答案】40
【分析】观察图象易知V与t之间是反比例函数关系，所以可以设v＝，依据图象上点（10，4000）的坐标可以求得v与t之间的函数关系式．再将v=1000代入求出t．
解：设v=，
∵点(10,4000)是图象上的点，
∴4000=，
∴k=40000.
∴v=.
将v=1000代入上式得：
1000=，
t=40.
故公司完成全部运输任务需40天.
故答案为40.
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用.
【题型3】反比例函数在跨学科中的应用
【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围）
（2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围？

【答案】(1)；（2）气体的体积应不小于
【分析】此题考查了反比例函数的应用．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可
解：（1）解：设，由题意知
，即；
（2）当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案．
解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意，
当时，，
∵，
∴I随R增大而减小，
∴当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【变式2】（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案．
解：设，
把代入中得：，解得
∴，
在中，当时，，当时，，
∴若压强由加压到，则气体体积压缩了，
故答案为：15．
【题型4】反比例函数在销售利润中的应用
【例4】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
（1）表中数据中的x，y满足一次函数、二次函数或反比例函数关系中的一种，请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
【答案】(1)；(2)240元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验．
（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式；
（2）根据“（售价－进价）×销售量=利润”列出式子，整理即可求解．
解：（1）解∶ 由表中数据得：，
∴，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
把代入得：，
解得：；
经检验，是原方程的根，符合题意．
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则每双运动鞋的售价应定为240元．
【变式1】（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（ ）
A．销量是售价的正比例函数
B．每天的利润是售价的正比例函数
C．每天的利润是售价的反比例函数
D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶
【答案】D
【分析】根据反比例函数的意义计算售价和销售量的乘积，即可判断A，再求出利润的表达式，即可判断B，C，根据利润为1600元列出方程，解之即可判断D．
解：由表可知：
，
∴销量是售价的反比例函数，故A不合题意；
每天的利润为：
故每天的利润既不是售价的正比例函数，也不是反比例函数，故B，C不合题意；
要使每天的利润达到1600元，
则，
解得：，即售价为33元/瓶，故D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数，解答本题的关键是正确利用表格中的数据，掌握销售问题中的等量关系．
【变式2】．（20-21九年级上·江苏南通·期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）．
已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元．
【答案】300
【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得．
解：由题意，设，
将代入得：，解得，
则，
设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元，
则，
整理得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：300．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题关键．
【题型5】反比例函数与几何综合应用
【例5】（2023·全国·三模）已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于．
（1）若，，求点的坐标；
（2）若，当点在直线上时，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了反比例函数，待定系数法求直线的解析式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点解题的关键．
（1）把，代入，得到、两点坐标，进而得到点坐标；
（2）先表示出、两点的坐标，得到，，，再利用待定系数的法求得直线DE的解析式，最后把点坐标代入并结合即可得到答案．
解：（1）解：时，
时，
过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点
（2）解：如图

点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，
，
，，
设直线的解析式为
则，解得
直线的解析式为
点在直线上
化简得．
把代入，整理，得
解得
【变式1】（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图，点A，B都在反比例函数的图象上，点P是直线上的一个动点，当最小时，点P的坐标是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线的对称点，利用数形结合的思想解答．先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可．
解：∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴A，B，
作点关于直线的对称点，则：，，
∴，
∴当三点共线时，，最小，
设直线的解析式为：y=kx+bk≠0，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：，
∴；
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为．
（1）比较大小： （填“”、“”、“”）；
（2）若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可；
（2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可．
解：（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为，
故答案为：
（2）
，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积．
故答案为：
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
（2）请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
解：（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
【例2】（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝（x≥3）；(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
解：（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y==0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
【题型7】拓展延伸
【例1】（2024八年级下·江苏·专题练习）为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示．
（1）研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
（2）当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【答案】(1)分钟；（2）完全有效，见解析
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
（1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果．
（2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果．
解：（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
（分钟）．
答：至少经过分钟后学生方可返回教室．
（2）当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
对于，当时，，
，
，
此次消毒是完全有效，
答：此次消毒完全有效．
【例2】（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射．
上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为．
（1）若，，，则______，______．
（2）求证．
（3）当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的．

【答案】(1)20；30； (2)见解析；(3)画图见解析，随着的增大而减小．
【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：；
（2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出；
（3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小．
解：（1）根据题意可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，即；
，即，
解得：，即；
故答案为：20；30；
（2）证明：根据题意可知，，，，
，
，
，即，
整理得：，
，，
，
，
，
，即 ，
，，
，
，
；
（3）列表：
描点、连线：

根据函数图象可知，随着的增大而减小．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合．

第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
售价x（元/瓶）
24
25
30
32
37.5
销售y（瓶）
200
192
160
150
128
售价（元/双）
销售量（双）
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……