广东省江门市新会区陈经纶中学2025届高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份广东省江门市新会区陈经纶中学2025届高三上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用复数乘除法运算化简.
【详解】.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.
【详解】解不等式可得，
又可得只有当时，的取值分别为在集合中，
所以.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】因为，，
所以.
所以.
故选：A
4. 已知且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】且，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为8.
故选：D
5. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，，
所以，得，
因为当时，不一定成立，而当时，一定成立，
所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件.
故选：B
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可.
【详解】的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以是奇函数，
其图象关于原点对称，排除A选项；
取，则，排除C、D选项；
故选：B.
7. 已知为等比数列的前项积，若，且（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比中项的性质求解即可.
【详解】由等比数列的性质，得，所以.
故选:B.
8. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得.
【详解】因为函数为偶函数，
则，即①，
又因为函数为奇函数，
则，即②，
联立①②可得，所以．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角余弦值为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法验证即可.
【详解】由，，则与不平行，故错误；
，，则，故正确；
，，
，故正确；
，即在方向上的投影向量为，故正确.
故选：.
10. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ）
A. B. 点是函数的对称中心
C. 函数在上单调递增D. 直线是函数图象的对称轴
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C.
【详解】∵的两条相邻对称轴距离为.
∴，∴.∴.
∵，∴，又，则.
∴.∴选项A正确；
选项B：由，
可得函数对称中心的横坐标：.
当时，对称中心为.B正确；
选项C：当时，，，
∴在上不递增，C错误；
选项D：由，.
可得对称轴：，.∴不对称轴.
或验证法把代入得，∴不是对称轴.
∴D错误；
故选：AB.
11. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在同一直角坐标系内作出y=fx和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，
由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确；
对于B中，因为，
且函数关于对称，
由图象得，且，
所以，可得，则，
所以，其中，
令，当且仅当时，取得最小值，
所以，所以B正确；
对于C中，是两个根，
所以，即，所以，
由是的两个根，所以，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得，
令，可得函数hx在上单调递增，
所以，即，，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：
1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象；
2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”.
3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可.
【详解】因为，，所以．
故答案为：1
13. 已知向量与的夹角为，，，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.
【详解】由题意，向量与的夹角为，，，
所以，
所以,
故答案为：6
14. 已知函数，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得.
【详解】因，函数的对称轴为直线，
而由可知其对称轴为直线，故，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.
（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.
【小问1详解】
由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即
【小问2详解】
由,令解得
令解得,所以在上单调递减,在上单调递增.
所以当时,最小,且最小值为,,,
故最大值为
16. 已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意列方程组算出即可；
（2）由裂项相消法求解即可.
小问1详解】
设等差数列an的公差为，则，解得，．
∴．
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，
∴．
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解
【小问1详解】
变形为：，
所以，
因为，所以，
【小问2详解】
因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
18. 已知为数列的前项和，若.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）令，若，求满足条件的最大整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证.
（2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解.
【小问1详解】
证明：由可得，
当时，，解得，
当时，，即，
则
，即，
即，即，
又，
所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，则，
设，
则
令，得，
即，即，
又，，，
所以满足条件的最大整数为为5.
19. 已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，不相等的实数满足，求证：.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；
（2）令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性将双变量问题转化为单变量问题，再构造新的函数，利用导数证明即可.
【小问1详解】
依题意，，则，
令，解得，
故当时，f'x<0，当时，f'x>0，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为，无极大值；
【小问2详解】
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以，
又，所以，
所以在R上单调递增，
，即，
因，所以，
要证，即证，只需证，
即，即，
令函数，
则，
令，则，
所以为R上的增函数，
当时，，当时，，
所以hx在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以对任意，都有，从而原命题得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.