初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数综合训练题，共19页。试卷主要包含了5时，求出的值及的值．等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
答题注意事项：请用清晰的字迹填写答案，以便老师批改。答题过程中可以在草稿纸上进行计算
一、单选题（共10小题）
1．若，，则等于（ ）
A．B．C．D．或
2．下列说法正确的个数是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
A．B．C．D．
3．有理数在数轴上的位置如图所示，化简．（ ）
A．B．C．D．
4．，则化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．2
5．若方程无解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．下列语句叙述正确的是（ ）
A．对于任意有理数，若，则B．对于任意有理数，若，则
C．对于任意有理数，若，则D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数
7．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（ ）
A．B．或C．或D．或
8．在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且的最小值为，若，则的值为（）
A．或B．或C．或D．或
9．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）

A．1B．1.5C．2.5D．2
第II卷（非选择题）
本部分为填空题和解答题，共11小题。答案应准确、简洁，书写清晰规范。注意单位和符号的正确使用。
二、填空题（共6小题）
11．式子的最小值为 ．
12．若，，且，则 ．
13．已知m是有理数，则的最小值是 ．
14．若，求代数式 ．
15．的最小值为 ．
16．给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（共5小题）
17．同学们都知道表示7与之差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1) ，，则 ；
(2)找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是 ．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
18．用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题：
(1) 有最______值为______；有最______值为 ______；
(2)当 _______ 时，有最______值_____；
(3)当_______ 时，有最______值_____；
(4)当，求的值
19．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ；
(3)若表示一个有理数，且．则 ；
(4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ；
(5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ；
(6)当时，则的最大值为 ．
20．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时， 可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．
从而化简代数式可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时， 原式；
③当时， 原式；
综上讨论， 原式
通过以上阅读， 请你解决以下问题：
(1)当时， ；
(2)化简代数式；（写出解答过程）
(3)直接写出的最大值 ．
21．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题：

(1)表示3的点与的点之间的距离表示为 ；
(2)的最小值是 ，此时的值为 ；
(3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值．
参考答案：
1．D
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、有理数加法运算、绝对值的意义
【分析】此题考查了乘方、绝对值、代数式的值，先由，得到，，再分别代入数值计算即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
即等于或，
故选：D
2．C
【知识点】相反数的定义、绝对值的意义
【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可．
【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意；
绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意，
∴说法正确的个数是．
故选：C．
3．B
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算
【分析】本题考查了数轴与绝对值，根据数轴得到，，进而判断出，，，即可去绝对值进行化简，由数轴判断出的符号是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，，
∴原式
，
故选：．
4．B
【知识点】化简绝对值
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键．
先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
5．D
【知识点】绝对值方程
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案．
【详解】解：当时，原方程可变为：，
即，
∵此时，
∴当时，方程无解；
当时，原方程可变为：，
即，
∴当时，方程无解；
当时，原方程可变为：，
即，
∵此时，
∴当时，方程无解；
综上分析可知：当时，方程无解；
故选：D．
6．A
【知识点】判断是否互为相反数、绝对值的意义、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可．
【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意；
B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意；
C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意；
D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意；
故选：A．
7．D
【知识点】绝对值的意义、化简绝对值
【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴的值等于或，
故选：D．
8．C
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程
【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，如何表示数轴上两点之间的距离及绝对值的化简，得出是解题的关键．根据表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，且，可得绝对值方程，从而求出b的值．
【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，
当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，
∴，
∵，
∴，
∴或9．
故选C．
9．B
【知识点】绝对值的意义、有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算．熟练掌握绝对值的意义，代数式求值，有理数的混合运算是解题的关键．
由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，当时，的值最小为，由，可得，，当，时，代数式 的值最小，当，时，代数式 的值最大，分别计算，，然后求和作答即可．
【详解】解：由绝对值的意义可知，当时，的值最小为，
当时，的值最小为，
∵，
∴，，
当，时，代数式 的值最小，；
当，时，代数式 的值最大，；
∴，
故选：B．
10．D
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义
【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【详解】解：∵|a−d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a−b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b−d|＝4，
∴|b−c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c−d|＝|8−10|＝2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．
11．
【知识点】绝对值非负性
【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的最小值是，
∴的最小值为，
故答案为：．
12．或
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】先计算绝对值，比较大小后，确定x，y的值，计算即可．
本题考查了绝对值的计算，有理数大小比较，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴或；或，
∴，或 ，，
∵，
∴是负数或0；
∴或，
∴或，
故答案为或
13．8
【知识点】绝对值的意义、化简绝对值
【分析】该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论．
根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值．
【详解】解：∵绝对值最小的数是0，
∴分别当等于0时，有最小值．
∴m的值分别为2，4，6，8．
∵①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
∴的最小值是8．
故答案为：8．
14．
【知识点】绝对值的其他应用、化简绝对值
【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可．
【详解】解：，
，，，
，，，
，
故答案为：1
15．
【知识点】绝对值的意义
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为，
故答案为：．
16．①②④
【知识点】绝对值的意义、有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可．
【详解】解：①，所以，则，①正确；
②若，所以，则，②正确；
③若，所以，则，③错误；
④若，且，所以，则，，④正确．
故答案为：①②④．
17．(1)10；或
(2)，0，1，2
(3)有最小值．最小值为9
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义
【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解各个代数式的意义是正确解答的关键．
（1）直接求出结果即可；
（2）根据的意义，可得出的取值范围，再得出整数解即可；
（3）根据的意义，可得出答案．
【详解】（1）解：，，则或，
故答案为：10；或；
（2）解：的意义为数轴上表示数的点与表示数，和表示数2的点的距离之和为3，
又数轴上表示数，与表示数2的点距离之和为，
，
又为整数，
可能为，0，1，2，
故答案为：，0，1，2；
（3）解：有最小值．最小值为9，
理由是：可以理解为：在数轴上表示到3和的距离之和，
当在3与之间的线段上（即时：
即的值有最小值，最小值为．
18．(1)小；1；大；5
(2)1；小；2
(3)3；大；9
(4)
【知识点】绝对值非负性
【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
（1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值；
（2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解；
（3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解；
（4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴有最小值1，
∵
∴
∴有最大值5
故答案为：小；1；大；5．
（2）解：∵
∴，
∴当时，有最小值2，
故答案为：1；小；2．
（3）解：∵
∴
∴当时，有最大值9，
故答案为：3；大；9．
（4）解：∵
∴，，
解得：，，
∴．
19．(1)3
(2)
(3)4
(4)或
(5)5，
(6)3
【知识点】数轴上两点之间的距离、化简绝对值
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可；
（3）根据题意化简绝对值，即可获得答案；
（4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案；
（5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案；
（6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是．
故答案为：3；
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．
故答案为：；
（3）当时，则．
故答案为：4；
（4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，
当时，的最小值为，
所以时，有理数的取值范围是或．
故答案为：或；
（5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，
当时，
，
则时，存在最小值，为；
当时，
，
则时，存在最小值，为；
当时，
，
则时，存在最小值，为；
当时，
，
则时，存在最小值，为，
综上所述，当时，有最小值为5．
故答案为：5，；
（6）由（5）可知，当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
而，
即时，，，
所以的最大值为3．
故答案为：3．
20．(1)
(2)原式
(3)
【知识点】化简绝对值
【分析】本题考查含绝对值的代数式化简问题，
（1）根据绝对值的意义可得结论；
（2）零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，分三种情况找出的值即可；
（3）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值；
注意读懂题目的解答以及分类思想的运用是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）令和，分别求得，，
可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上讨论，原式；
（3）令和，分别求得，，
当时，原式；
当时，原式，
∴；
当时，原式，
∴的最大值为．
故答案为：．
21．(1)4
(2)3，0
(3)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、绝对值的其他应用
【分析】本题考查了绝对值的应用．
（1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4．
（2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值；
（3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5．
【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为．
（2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3，
故答案为：3，．
（3）解：由图可得，
只有当或时，的最小值是4.5，
∴当的最小值是4.5时，或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
B
D
A
D
C
B
D