2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中模拟试题

这是一份2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中模拟试题，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间:120分钟 满分150分
班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．小花同学从初中三个年级上下册共六本数学书中随机抽两本，刚好抽到同一年级数学书的概率是（ ）
A．15B．16C．13D．14
2．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
4．青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
5．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（ ）
A．线段AE的长B．线段BE的长
C．线段CE的长D．线段AC的长
6．全球十大恐怖病毒之一——汉坦病毒，有非同寻常的多样性，可以通过各种动物传染给人，传染速度较快，人类感染后会出现高热、出血、肾脏损伤等症状．某地有1头猪得了汉坦病毒，经过两轮传染后共有144头猪得了这种病毒，每轮传染中平均1头猪传染了几头猪？设每轮传染中平均1头猪传染了x头猪，可列方程（ ）
A．1+x+x（1+x）＝144B．1+x2＝144
C．1+x+x2＝144D．1+2x＝144
7．已知方程x2﹣3x+1＝0的两根是x1，x2，则x1+x2+x1•x2的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（ ）
A．5B．25C．33D．6
9．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（ ）
A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003
10．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=32，PB＝10，下列结论：
①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB=53；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①④⑤C．①②④D．③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．方程x2＝3x的解是 ．
12．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
13．菱形有一个内角是60°，边长为6cm，则它的面积是 cm2．
14．已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则2024﹣m2+m+mn的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．用指定方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x＝2（配方法）；
（2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）．
17．如图，在菱形ABCD中，过点C作对角线AC的垂线，交AB的延长线于点E，连接BD，求证：四边形DBEC是平行四边形．
18．已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC、BD交于点O，且A0、B0的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两根．
（1）求m的值．
（2）求菱形ABCD的面积．
19．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；
（2）若四边形AFDE是矩形，AE＝3，AF＝5，求BC的长．
20．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）满足x1x2+x1+x2=m2+6，求m的值．
21．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m＝ %，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
22．某淘宝网店销售台灯，成本为每个20元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为30元时，平均每月售出500个；若售价每下降1元，其月销售量就增加100个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为780个台灯的情况下，若预计月获利恰好为5600元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到6000元，说明理由．
23．（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为x1，x2，则满足：①x1+x2＝ ；②x1•x2＝ ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理；
知识应用：
（2）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，求1m+1n的值．
24．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣12＝0（x＞0）的正确构图是 .（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+32x-1=0，即x（ ）＝1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个根为 ；
【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝ ，b＝ ，求得方程的正根为 ．
25．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 ．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC=2，则CF的长为 ．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1-5．AADBC．
6-10．ADBDC．
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．x1＝0，x2＝3．
12．1000．
13．183．
14．2018．
15．32．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．解：（1）x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝6，
（x﹣2）2＝6，
x-2=±6，
解得x1=2+6，x2=2-6；
（2）2x2﹣5x+1＝0，
a＝2，b＝﹣5，c＝1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17，
∴x=5±172×2，
解得x1=5+174，x2=5-174．
17．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵CE⊥AC，
∴CE∥BD，
又∵BE∥CD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
18．解：（1）由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，由根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5．
又∵Δ＞0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，
解得m＜-114，
∴m＝﹣3．
（2）将m的值代入方程得；x2﹣7x+12＝0．
解得x1＝3，x2＝4．
∴菱形ABCD的面积＝4×12OA⋅OB=4×12×3×4=24．
19．（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边中点，
∴DE、DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）解：如图所示，连接EF，
∵若四边形AFDE是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AE＝3，AF＝5，
∴EF=AE2+AF2=34，
∵E、F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=234．
20．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m＞12；
（2）∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2=m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
解得：m＝﹣3或m＝1，
∵m＞12，
∴m＝1．
21．解：（1）m＝100%﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%＝20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%＝50；
故答案为：20，50；
如图所示；50×20%＝10（人）．
（2）1500×24%＝360；
故答案为：360；
（3）列表如下：
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P=612=12．
22．解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加100个，
∴若售价下降1元，每月能售出500+100＝600个台灯，售价下降x元（x＞0），每月能售出（500+100x）个台灯；
故答案为：600；（500+100x）；
（2）设每个台灯的售价为y元，
由题意得：（y﹣20）[500+100（30﹣y）]＝5600，
∴y2﹣55y+756＝0，
∴y1＝28，y2＝27，
当y＝28时，500+100（30﹣y）＝700＜780，
当y＝27时，500+100（30﹣y）＝800＞780（不合题意，舍去），
答：每个台灯的售价为28元；
（3）月获利不能达到6000元，
理由如下：设每个台灯的售价为a元，
由题意得：（a﹣20）[500+100（30﹣a）]＝6000，
整理得：a2﹣55a+760＝0，
∵Δ＝（﹣55）2﹣4×1×760＝﹣15＜0，
∴方程无实数根，
∴月获利不能达到6000元．
23．解：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式为x=-b±b2-4ac2a，
若方程的两个根为x1，x2，则满足①x1+x2=-ba；②x1⋅x2=ca．
证明如下：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
当b2﹣4ac≥0时，x=-b±b2-4ac2a，
∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，
∴x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba，
x1⋅x2=-b+b2-4ac2a×-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)22a=b2-b2+4ac2a=ca
故答案为：x=-b±b2-4ac2a，-ba，ca；
（2）根据根与系数的关系得m+n=32，mn=-12，
∴1m+1n=m+nmn=32÷(-12)=-3．
24．解：【理解应用】∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴x（x﹣4）＝12，
∴很容易观察出构图是②，
故答案为：②；
【类比迁移】2x2+3x﹣2＝0，
第一步：将原方程变为x2+32x-1=0，即x(x+32)=1；
第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：(x+x+32)2=4×1+(32)2；
解得原方程的一个根为x=12；
故答案为：x+32，（x+x+32）2＝4×1+（32）2，12；
【拓展应用】∵x2+ax＝b，
∴x2+ax＝b，
∴x（x+a）＝b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×4×b+a2，
∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴b＝3，a2＝4，
解得：b＝3，a＝±2，
当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2﹣4，x＝1，方程的一个正根为1；
当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3；
综上所述，方程的一个正根为1或3，
故答案为：±2，3，1或3．
25．解：问题引入：BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
∠A=∠CAE=CE∠AEF=∠CED，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
故答案为：BE＝DE；
问题延伸：（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
∠MDP=∠GFPDP=FP∠DPM=∠FPG，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM=2，
∴MG＝22，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（22）2，
∴x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF=GF2+CG2=12+22=5。男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女