广东省(上进联考)2025届高三上学期10月阶段检测考数学试题

这是一份广东省(上进联考)2025届高三上学期10月阶段检测考数学试题，共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，向量在向量上的投影向量的坐标为等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知事件互斥，且满足，则（ ）
A．0.25B．0.35C．0.4D．0.75
4．向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知底面半径为的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的离心率为，焦点为，一个短轴顶点为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则（ ）
A．0B．C．4D．
8．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（ ）
A．2B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下：（单位：环），则这组样本数据的（ ）
A．极差为4B．平均数是8C．上四分位数是9D．方差为4
10．已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（ ）
A．存在和实数，使得
B．不存在和实数，满足
C．存在和实数，满足
D．若存在实数满足，则只能是指数函数
11．已知，圆，点为圆上一动点，以为直径的圆交轴于两点，设，则（ ）
A．当点在轴上时，B．的取值范围是
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为______．（用数字作答）
13．已知正数满足，则的最小值为______．
14．若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知的三个内角所对的边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆的半径．
16．（15分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：．
17．（15分）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
（1）求的方程；
（2）讨论过点的直线与的交点个数．
18．（17分）在三棱锥中，底面分别为的中点，为线段上一点，平面底面．
（1）若，求二面角的余弦值；
（2）求．
19．（17分）已知数列一共有项，成公差不为0的等差数列，对任意的成等差数列，且对于不同的，其公差为同一个非零常数．
（1）若，求数列的各项之和；
（2）证明：成等差数列；
（3）从中任取三个数，记成等差数列且也成等差数列的概率为，证明：．
广东省2025届高三上学期10月阶段检测考
数学参考答案及评分细则
1．【答案】A
【解析】由，故．故选A．
2．【答案】C
【解析】，故．故选C．
3．【答案】D
【解析】由全概率公式可得．故选D．
4．【答案】B
【解析】因为，则，所以在上的投影向量为．故选B．
5．【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，由，得，故，所以圆锥的体积．故选C．
6．【答案】D
【解析】设的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，则在等腰三角形中，．因为的离心率为，所以在直角三角形中，，故．故选D．
7．【答案】C
【解析】设的最小正周期为，依题意，得，解得，所以，解得，所以，所以．故选C．
8．【答案】C
【解析】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，联立解得
不妨取，同理可得，则，因为四边形是平行四边形，于是，由于点在上，所以，因此．故选C．
9．【答案】ABC（每选对1个得2分）
【解析】将这组数据从小到大排序得，对于A，这组数据的极差为，故A正确；对于B，平均数为，故B正确；对于C，因为，所以上四分位数为，故C正确；对于D，方差为，故D错误．故选ABC．
10．【答案】AC（每选对1个得3分）
【解析】令，则存在实数使得，A正确；存在，故B错误；令，则，C正确；若，，故D错误．故选AC．
11．【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】当在轴上时，，则，则，故A正确；设，，则，代入得，可得在以坐标原点为圆心、为半径的圆上运动，又圆交轴于，故，故B错误；以为直径的圆的方程可写为，令，可得，即，则分别为方程的两根，由韦达定理得，故C正确；要证，即证，，，所以，即，故D正确．故选ACD．
12．【答案】70
【解析】由题意可得功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1种的买法种数为．
13．【答案】
【解析】由题意可得，故，故，当且仅当，即时取等号．
14．【答案】
【解析】等号左边的分子和分母同时除以，等号右边的分子和分母同时除以，分离出参数，设，则当时，单调递增，当时，单调递减，且时，时，，且方程有唯一解，故．
15．解：（1）由题意得，
又，
，
化简得，
又．
（2）在中，由余弦定理得，
，设的外接圆半径为，故，
外接圆的半径为2．
【评分细则】
第一问在最终求值时，如果未说明角的取值范围扣1分．
16．（1）解：当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）证明：当时，，
令，
则，所以在上单调递增，
又，所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
故．
【评分细则】
第二问用其他方法证明酌情给分．
17．解：（1）由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，则其高为2，
即焦点到准线的距离，解得（负值舍去），
所以的方程为．
（2）若直线的斜率存在，设的方程为．
由方程组可得．
（Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（Ⅱ）当时，方程的根的判别式为，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点；
（ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点．
综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2．
【评分细则】
第二问如果考生设的直线方程为其他形式，按步骤酌情给分．
18．解：（1）因为，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
因为平面底面，易得平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则可得
令可得
设二面角为，
则，
故二面角的余弦值为．
（2）连接交于点，则，
，而．
故，从而，
从而，又平面底面，平面底面，
故平面，故，又平面，
故，又，故．
【评分细则】
其他解法酌情给分．
19．首先构造如图的数表：
（1）解：由题意得，又由数列的定义知，
则可补全数表如图所示．
则数列的各项之和为45．
（2）证明：如数表所示，即证明左上至右下的对角线（记为）上的数成等差数列，由该数表中的数的定义可知，该数表每行均为等差数列且公差相同，设公差为，每列也为等差数列且公差相同，设公差为，那么，
那么数列是以为首项、为公差的等差数列．
（3）证明：不妨将数表的每个数看作一个点，若三点共线，且关于中间的一点中心对称，则显然这三个点对应的数构成等差数列．
在该数表中，只需要横行投影成等差数列，且纵列投影成等差数列即可，
先对横行进行分析，在个数中取三个数得到不相同的等差数列的方法数，
①若为偶数，则公差为的等差数列的个数为，公差为的个数为公差为的个数为2，共有个等差数列，
此时总取法数为，
；
②若为奇数，由上分析易得同理可以产生个等差数列，
此时总取法数为，
．
综上所述成立．
【评分细则】
其他证明方法只要合理有逻辑均给分．…
…
…
…
…
…
…
…
1
3
5
3
5
7
5
7
9