2023-2024学年福建省福州市福清市九年级（上）期末数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市福清市九年级（上）期末数学模拟试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,b)在双曲线y=−2x上，点A关于y轴的对称点B在双曲线y=kx上，则k−2的值为( )
A. −4B. 0C. 2D. 4
2.要使方程(a−3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程，则( )
A. a≠0B. a≠3
C. a≠3且b≠−1D. a≠3且b≠−1且c≠0
3.抛物线y=−3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为( )
A. y=−3(x−1)2−2B. y=−3(x−1)2+2
C. y=−3(x+1)2−2D. y=−3(x+1)2+2
4.将抛物线y=−(x−1)2向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线( )
A. y=−x2+2B. y=−(x−2)2+2
C. y=−x2−2D. y=−(x−2)2−2
5.下列方程式属于一元二次方程的是( )
A. x3+x−3=0B. x2+1x=2C. x2+2xy=1D. x2=2
6.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=2，AD=1，∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为( )
A. aB. 12aC. 13aD. 23a
7.平面直角坐标系内，点P(2,−3)关于原点对称点的坐标是( )
A. (3,−2)B. (2,3)C. (2,−3)D. (−2,3)
8.如图是二次函数y=−x2−2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是( )
A. −3≤x≤1
B. x≥1
C. x1
D. x≤−3或x≥1
9.如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
10.某学习小组在研究函数y=16x3−2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”16x3−2x=2实数根的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为13，则a等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
12.已知a2=b3，则代数式a+bb的值为( )
A. 52B. 53C. 23D. 32
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为______．
14.因式分解：x2−5x= ______．
15.x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕地______亩．
16.如图，BE为正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ABE=______°.
17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为(2,4)，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共24分。
19.如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE=1：2．
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)若S△AEF=6cm2，求S△CDF．
20.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
某食品代理商向超市供货，原定供货价为120元/件，超市售价为190元/件.为打开市场超市决定在第一季度对产品打八折促销，第二季度再回升10个百分点，为保证超市利润，代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返多少个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平？
22.(本小题8分)
如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x−43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2−3x+c的对称轴是x=32．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE.求证：PE⊥PF；
(3)若(2)中的点P坐标为(6,2)，点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=105°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0,7)，与反比例函数y=−8x在第二象限内的图象相交于点A(−1,a)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；
(3)设直线CD的解析式为y=mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤−8x的解集．
26.(本小题10分)
春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用32000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵点A(a,b)在双曲线y=−2x上，
∴ab=−2，
又∵点A与点B关于y轴的对称，
∴B(−a,b)，
∵点B在双曲线y=kx上，
∴k=−ab=2，
∴k−2的值为0．
故选：B．
点A(a,b)在双曲线y=−2x上，可得ab=−2，由点A与点B关于y轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出k，然后得出答案．
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a−3≠0，a≠3．
故选：B．
利用一元二次方程定义可得a−3≠0，再解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线y=−3x2向右平移1个单位，得：y=−3(x−1)2；
再向下平移2个单位，得：y=−3(x−1)2−2．
故选：A．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求解．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=−(x−1)2向右平移一个单位所得抛物线解析式为：y=−(x−1−1)2；
再向上平移2个单位为：y=−(x−1−1)2+2，即y=−(x−2)2+2．
5.【答案】D
【解析】解：A、x3+x−3=0属于一元三次方程，不符合题意；
B、x2+1x=2属于分式方程，不符合题意；
C、x2+2xy=1属于二元二次方程，不符合题意；
D、x2=2属于一元二次方程，符合题意，
故选：D．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=2，AD=1，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为(1：2)2=1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为13a，
故选：C．
证明△ACD∽△BCA，利用相似三角形的性质即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A(2,−3)关于原点过对称的点的坐标是(−2,3)．
故选：D．
根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
8.【答案】A
【解析】解：由图可知，−3≤x≤1．
故选：A．
根据函数图象写出直线y=0以及上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠FOC=40°，AO=OD=OC=OF，∠AOC=90°
∴∠AOF=130°，且AO=OF，
∴∠OFA=25°
故选：B．
由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC=40°，AO=OD=OC=OF，∠AOC=90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA的度数．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得直线y=2与y=16x3−2x有三个交点，
所以16x3−2x=2实数根的个数为3．
故选：C．
利用直线y=2与y=16x3−2x的交点个数可判断16x3−2x=2实数根的个数．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
11.【答案】A
【解析】【分析】
首先根据题意得：22+3+a=13，解此分式方程即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：根据题意得：22+3+a=13，
解得：a=1，
经检验，a=1是原分式方程的解，
∴a=1．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】解：∵a2=b3，
∴a=23b，
∴a+bb=23b+bb=53．
故选：B．
用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：由题意可知：a=0+(3−2)=1，
b=0+(2−1)=1，
∴a+b=2．
由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也作相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．
本题考查了平移中的坐标变化以及代数式求值，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
14.【答案】x(x−5)
【解析】【分析】
根据提公因式法，可分解因式．
本题考查了因式分解，提公因式法分解因式的关键是确定公因式．
【解答】
解：x2−5x=x(x−5)．
故答案为：x(x−5)．
15.【答案】y3x2
【解析】解：由题意可得，
每亩地需要的时间为：x⋅x⋅xx=x2，
则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕地：y⋅y⋅yx2=y3x2，
故答案为：y3x2．
根据题意，可以表示出每亩地需要的时间，然后即可得到y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕地多少亩．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
16.【答案】36
【解析】解：360°÷5=72°，
180°−72°=108°，
所以，正五边形每个内角的度数为108°，
即可知∠A=108°，
又知△ABE是等腰三角形，
则∠ABE=12(180°−108°)=36°．
故答案为36．
先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，求出一个内角的度数，根据△ABE是等腰三角形，一个三角形内角和180°，即可求出∠ABE的大小．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
17.【答案】3 3
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】
解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM=360°6×2=30°，
∴OM=OB⋅cs∠BOM=6× 32=3 3；
故答案为3 3．
18.【答案】12
【解析】解：∵点A的坐标为(2,4)，
∴OB=2，AB=4，
∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，
∴CD=OB=2，AD=AB=4，
∴点C的坐标为(6,2)，
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴2=k6，
解得，k=12，
故答案为：12．
根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，由点C在反比例函数y=kx的图象上，从而可以得到k的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化−旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)由AE：EB=1：2得AEAB=13，
又∵ABCD是平行四边形，∴△AEF∽△CDF，
由AB=CD得AECD=13，
所以△AEF与△CDF周长的比等于相似比等于1：3．
(2)由S△AEFS△CDF=19(相似三角形面积比是相似比的平方)
由S△AEF=6cm2解得S△CDF=54cm2．
【解析】根据ABCD是平行四边形，推出△AEF∽△CDF，利用所以△AEF与△CDF周长的比等于相似比即可求得．
利用△AEF与△CDF周长的比等于相似比等于1：3.由相似三角形面积比是相似比的平方，即可求得答案．
此题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握．此题主要利用了相似三角形周长比等于相似比和相似三角形面积比是相似比的平方．
20.【答案】解：(1)证明：连接OD，如图，
∵四边形AOCD是平行四边形，
而OA=OC=OD，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠FOB=60°，
∵EF为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO=90°，
在△FDO和△FBO中
OD=OB∠FOD=∠FOBFO=FO，
∴△FDO≌△FBO(SAS)，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，
tan∠FOB=BFOB，
∴BF=1×tan60°= 3．
∵∠EDO=90°，∠AOD=60°，
∴∠E=30°，
∴EF=2BF=2 3．
【解析】(1)先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．
本题考查了切线的判断与性质;圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．有切线时，常常遇到切点连接圆心可得到半径．
21.【答案】解：设平均每季度返x个百分点，
根据题意得：190×0.8×(1+10%)−120(1−x%)2=190−120，
解得：x1=10，x2=190(不符合题意，舍去)．
答：代理商承诺在供货价基础上向超市返点试问平均每季度返10个百分点，半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平．
【解析】设平均每季度返x个百分点，利用销售利润=售价−供货价，结合半年后超市的销售利润回到开始供货时的水平，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当y=0时，13x−43=0，解得x=4，即A(4,0)，抛物线过点A，对称轴是x=32，得16a−12+c=0−−32a=32，
解得a=1c=−4，抛物线的解析式为y=x2−3x−4．
(2)∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=13x.
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P(3a,a)，则PC=3a，PB=a．
又∵PF=3PE，
设PB=n，PC=3n，PE=m，PF=3m，
则CF= 9m2−9n2=3 m2−n2，BE= m2−n2
∴PCPB=PFPE =FC EB=3．
∵∠PCF=∠PBE=90°，
∴△PCF∽△PBE，
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
(3)如图所示，点E在点B的左侧时，设E(a,0)，则BE=6−a．
∵CF=3BE=18−3a，
∴OF=20−3a．
∴F(0,20−3a)．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20−3a+0，
∴Qx=a−6，Qy=18−3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18−3a=(a−6)2−3(a−6)−4，解得：a=4或a=8(舍去)．
∴Q(−2,6)．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E(a,0)，则BE=a−6．
∵CF=3BE=3a−18，
∴OF=3a−20．
∴F(0,20−3a)．
∵PEQF为矩形，
∴Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20−3a+0，
∴Qx=a−6，Qy=18−3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18−3a=(a−6)2−3(a−6)−4，解得：a=8或a=4(舍去)．
∴Q(2,−6)．
综上所述，点Q的坐标为(−2,6)或(2,−6)．
【解析】(1)先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；
(2)设P(3a,a)，则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
(3)设E(a,0)，然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到Qx+Px2=Fx+Ex2，Qy+Py2=Fy+Ey2，从而可求得点Q的坐标(用含a的式子表示)，最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．
23.【答案】解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×a=4−4a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，
∵x1x2+x1+x2>0，
∴a+2>0，
解得：a>−2，
∴−2