初中北师大版（2024）1 菱形的性质与判定课后复习题

这是一份初中北师大版（2024）1 菱形的性质与判定课后复习题，共51页。
【题型1 菱形的性质】
【题型2 菱形的判定】
【题型3 菱形的性质与判定综合运用】
【题型4 菱形中最小值问题】
【题型1 菱形的性质】
1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．24C．20D．16
3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）
6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．24
7．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6B．5C．3D．2.5
8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9B．C．6D．3
10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的等积线段长度a取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
【题型2 菱形的判定】
12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB⊥BCB．AC＝BDC．AB＝BCD．AB＝AC
13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．∠ABC＝90°D．AB＝CD
15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．同旁内角互补
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．对角线垂直B．两对角线相等
C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分
18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 ．
19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD∥AB交AE于点D．
求证：四边形ABCD是菱形．
20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．
（1）求证：AC＝DE；
（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．
21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
（1）证明四边形BPCO为平行四边形；
（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．
22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件 时，▱EMFN是菱形．
23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）求证：四边形AFBE是菱形．
【题型3 菱形的性质与判定综合运用】
24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A．B．C．D．
25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（ ）
A．4B．8C．4D．
26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝ ．
27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝ ．
28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．
30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．
31．（2023•文山市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．
32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证四边形AFDE是菱形；
（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．
34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．
【题型4 菱形中最小值问题】
35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（ ）
①△BEC≌△AFC；
②△ECF为等边三角形；
③△ECF的边长最小值为3；
④若AF＝2，则S△FGC＝S△EGC．
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
39．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于 ．
40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是 ．
41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝ °，△BEF面积的最小值为 ．
42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为 4 ．
【答案】4．
43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）
44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
专题01 菱形的性质与判定（四大类型）
【题型1 菱形的性质】
【题型2 菱形的判定】
【题型3 菱形的性质与判定综合运用】
【题型4 菱形中最小值问题】
【题型1 菱形的性质】
1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
【答案】C
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：C．
2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．24C．20D．16
【答案】B
【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，
∴菱形ABCD是周长＝4BC＝4×6＝24，
故选：B．
3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，
∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故选：C．
4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（，0），（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC＝2AO＝2，BD＝2BO＝2，
∴菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝×2×2＝2，
故选：C．
5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）
【答案】C
【解答】解：∵A（﹣3，4），
∴OA＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝CB＝OC＝AB＝5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5＝﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
故选：C．
6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝4，
∴菱形的周长为：4×4＝16；
故选：B．
7．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．6B．5C．3D．2.5
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵s菱形ABCD＝AC•BD＝24，
∴，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴，
故选：C．
8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
由菱形的性质可得，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9B．C．6D．3
【答案】B
【解答】解：连接AC，BD交于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝AC，BM＝BD，
∵AC平行x轴，AO⊥OB，
∴BD⊥OB，
∵点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，
AC＝10，BD＝8，
∴AM＝×10＝5，BM＝×8＝4，
∴AB＝＝．
∴菱形ABCD的边长值为．
故选：B．
10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的等积线段长度a取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边垂直时最小，
此时直线l⊥DC交CD于点E，交AB于点F，过点D作DN⊥AB于点N，
则∠DAB＝60°，AD＝2，DN＝EF，
故DN＝AD•sin60°＝，
则EF＝，
当“等积线段”为菱形的对角线时最大，
则DO＝1，故BD＝2，AO＝，即AC＝2，
则a的取值范围是：．
故选：D．
11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
【答案】C
【解答】解：如图，AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴BC＝5，
∴菱形ABCD的面积＝＝24，
又∵S菱形ABCD＝CB•AH＝24，
∴AH＝4.8，
故选：C．
【题型2 菱形的判定】
12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB⊥BCB．AC＝BDC．AB＝BCD．AB＝AC
【答案】C
【解答】解：A、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项C符合题意；
D、由AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
B．因为32+42＝52，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
∴对边相等，故B不一定是菱形；
C．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
D．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；
故选：A．
14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．∠ABC＝90°D．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．同旁内角互补
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【解答】解：A．角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；
B．两直线平行，同旁内角互补，错误，故符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，故不符合题意；
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意．
故选：B．
16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
【答案】B
【解答】解：根据题意可知AD＝B'C'，AD∥B'C'，
∴四边形AB'C'D是平行四边形．
方案甲，AB'＝C'D不能判断四边形AB'C'D是菱形；
方案乙，由B'D⊥AC'，
∴平行四边形AB'C'D是菱形；
方案丙，由∠A'C'B'＝∠A'C'D，又AD∥B'C'，
∴∠DAC'＝∠A'C'B'，
∴∠DAC'＝∠AC'D，
∴AD＝C'D，
∴平行四边形AB'C'D是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．对角线垂直B．两对角线相等
C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分
【答案】D
【解答】解：A、∵对角线垂直的四边形不一定是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线相等的四边形不是菱形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 AB＝CD（答案不唯一） ．
【答案】AB＝CD（答案不唯一）．
【解答】解：∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，
∴，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当AB＝CD时，FH＝GE＝GF＝EH，
此时四边形EGFH是菱形；
∴可添加的条件为：AB＝CD；
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD∥AB交AE于点D．
求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AE∥BF，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．
（1）求证：AC＝DE；
（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE；
（2）证明：由（1）可知四边形ACED是平行四边形，
∵∠BAE＝90°，点C是BE的中点，
∴AC＝CE＝BC，
∴平行四边形ACED是菱形．
21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．
（1）证明四边形BPCO为平行四边形；
（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析过程；
（2）添加AC＝BD，使得四边形BPCO为菱形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）解：添加AC＝BD，使得四边形BPCO为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵AC＝BD，
∴BO＝CO，
∴平行四边形BPCO是菱形．
22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件 AB⊥AC 时，▱EMFN是菱形．
【答案】（1）见解答；
（2）AB⊥AC（或∠BAC＝90°）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
又AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AM＝CN，
∴△AEM≌△CFN（SAS），
∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，
∵∠AME+∠EMN＝180°，∠CNF+∠FNM＝180°，
∴∠EMN＝∠FNM，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：连接EF交AC于O，如图所示：
由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB∥EF，
当AB⊥AC（或∠BAC＝90°），
∴∠BAC＝90°，
∴∠COF＝∠BAC＝90°，
∴EF⊥MN，
∴四边形EMFN是菱形．
故答案为：AB⊥AC（或∠BAC＝90°）．
23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）求证：四边形AFBE是菱形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
在△AGE和△BGF中，
，
∴△AGE≌△BGF（AAS）；
（2）∵△AGE≌△BGF，
∴AE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴平行四边形AFBE是菱形
【题型3 菱形的性质与判定综合运用】
24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是1，
∴S四边形ABCD＝AB×1＝BC×1，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+12，
解得AB＝，
∴S四边形ABCD＝BC•AE＝×1＝．
故选：D．
25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（ ）
A．4B．8C．4D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：
OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2，OC＝4，
∴菱形OACB的面积＝OC•AB
＝×4×2
＝4，
故选：C．
26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝ 25° ．
【答案】25°．
【解答】解：连接CD，如图．
∵分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D，
∴BD＝CD＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
∴BD∥AC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠CAD＝25°．
故答案为：25°．
27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得AC＝AD＝BC＝BD＝6，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
设AB与CD相交于点O，
则OA＝OB＝AB＝5，OC＝OD，
在Rt△AOC中，OC＝＝，
∴CD＝2，
故答案为：2．
28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）240．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：由（1）可知，OB＝OD，OM＝ON＝MN＝8，
∵四边形BNDM是菱形，周长为52，
∴BN＝DN＝DM＝BM＝×68＝17，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴OB＝＝＝＝15，
∴BD＝2OB＝30，
∴S菱形BNDM＝BD•MN＝×30×16＝240．
30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DE的长为．
【解答】（1）证明：∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB∥AD，
∴∠OBF＝∠ODE，
在△OBF与△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（AAS），
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：作BH⊥AD交DA的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝180°﹣∠BAD＝60°，
∵AB＝2，AD＝4，
∴AH＝AB•cs60°＝2×＝1，BH＝AB•sin60°＝2×＝，
∴DE＝AH+AD＝1+4＝5，
设DE＝x，EH＝5﹣x，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE＝x，
∵BH2+EH2＝BE2，
∴（）2+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴DE的长为．
31．（2023•文山市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB．
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA，
∵BD＝4，
∴OB＝2，
在Rt△AOB中，AB＝6，OB＝2，
，
．
32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）96．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，
∴OA＝OC＝8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积＝AC•DE＝×16×12＝96．
33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证四边形AFDE是菱形；
（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形．
（2）解：∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵，
∴，
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．
34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵E，D分别是AF，BF的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE∥AB且2DE＝AB，
∵CD＝2DE，
∴AB＝CD，
∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAF＝90°，D是斜边BF的中点，
∴AD＝BF＝DF＝BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
由（1）可知，AD＝DF＝BD，DE∥AB，
∴∠DEF＝∠BAF＝90°，
∴CE⊥AF，
∵∠F＝30°，
∴CD＝DF＝2DE＝2，
∴EF＝＝＝3，
∵E是AF的中点，
∴AE＝EF＝3，
∴菱形ABCD的面积＝CD•AE＝2×3＝6．
【题型4 菱形中最小值问题】
35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．3D．2.5
【答案】B
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE＝∠PEO＝∠PFO＝90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OB•OC＝BC•OP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴MP的最小值＝×4.8＝2.4．
故选：B．
36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（ ）
①△BEC≌△AFC；
②△ECF为等边三角形；
③△ECF的边长最小值为3；
④若AF＝2，则S△FGC＝S△EGC．
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°．
∵BE＝AF，∠B＝∠CAF，BC＝AC，
∴△BEC≌△AFC（SAS）；
故①正确；
∵△BEC≌△AFC；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
故②正确；
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝5，
∴当CE⊥AB时，△ECF的边长取最小值，
在Rt△CBE中，∠B＝60°，BC＝5，
∴CE＝BC•sinB＝5×＝，
∴△ECF的边长最小值为，
故③错误；
过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∵△BEC≌△AFC，
∴BE＝AF＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3．
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝3．
∵AD∥BC，
∴AF∥EM，
∴＝＝，
∴S△FGC＝S△EGC，
方法2：∵AF＝2，
∴AE＝3，
∵菱形对角线是∠EAF的角平分线，
∴点G到AF和AE两边距离相等，
∴两个三角形等高，
∴面积比＝AF：AE＝2：3．
故④正确．
故选：C．
37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC边上的一动点，
∴AE⊥BC时，AE有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AE，
∴AE＝，
故AE长的最小值为，
故选：B．
38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝2，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：A．
39．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于 ．
【答案】．
【解答】解：连接OP，作OG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵BC•OG＝OB•OC＝S△BOC，
∴×5OG＝×4×3，
∴OG＝，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∵OP≥OG，
∴EF≥，
∴EF的最小值等于，
故答案为：．
40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是 2.4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，OA＝CO，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝24，
∴AC＝＝＝6，
∴OA＝CO＝3，
由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵当OH最小时，OH⊥BC，
此时S△OBC＝BO•CO＝BC•OH，
∴OH＝＝＝2.4，
即OH最小值为2.4，
故答案为：2.4．
41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝ 60° °，△BEF面积的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝2，DF+CF＝2，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝，
∴边BE上的高为，
△BEF面积的最小值为：．
故答案为：．
42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，连接AC，作点A的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，
在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，
∴∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A，点H关于BC对称，
∴AH⊥BC，AN＝NH，
∴FH＝AF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴BN＝NC＝1，AN＝BN＝，
∴AH＝2AN＝2，
∵AE＝CF，
∴BE＝BF，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∴DF+CE＝DF+AF＝DF+FH，
∴当点F，点D，点H三点共线时，DF+CE的最小值为DH的长，
∴DH＝＝＝4，
故答案为：4．
43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为 ．（提示：根据轴对称的性质）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AE＝AD＝1，DE＝＝，
∴EF+BF的最小值为．
44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形AECF的面积为，保持不变；△CEF的面积有最大值，最大值为．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠ACF＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△
AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：
∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝．
∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：
∵△AEF为等边三角形，
∴，∠AEF＝60°，
∴，
∴，
∴，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，
即△CEF的面积的最大值为．