九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定随堂练习题

这是一份九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定随堂练习题，共75页。
【题型1 正方形的性质】
【题型2 正方形的判定】
【题型3 矩形的性质与判定综合运用】
【题型4 正方形中最小值问题】
【题型5 正方形-对角互模型】
【题型6 正方形-半角互模型】
【题型7 正方形-手拉手模型】
【题型8 正方形-十字架模型】
【题型1 正方形的性质】
1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（ ）
​
A．10°B．15°C．22.5°D．30°
2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．邻边相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．24D．6
4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为（ ）
A．y＝xB．y＝2xC．y＝180﹣xD．y＝90﹣x
6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．1D．2
7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣45°B．α﹣90°C．270°﹣αD．180°﹣α
8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（ ）
A．80°B．70°C．75°D．45°
9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（ ）
A．5B．5C．2.5D．
10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（ ）
A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2
11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 .（将正确的序号都填入）
14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为 cm．
【题型2 正方形的判定】
15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A．CD＝ADB．OD＝CDC．BD＝ACD．∠AOB＝60°
17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①AB＝BC；
②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△CBE；
（2）△ACE添加一个条件 ，矩形ABCD为正方形．请说明理由．
21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若∠B＝35°，当∠C＝ 度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．
23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．
（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；
（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．
24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．
25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
【题型3 正方形的性质与判定综合运用】
26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．
27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．
（1）求证：四边形AFDE是正方形；
（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．
30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．
31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【题型4 正方形中最小值问题】
32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．4D．3
33.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．2
34．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 ．
36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为 ．
【题型5 正方形-对角互模型】
37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（ ）
A．6B．7C．8D．9
38.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变B．先增大再减小
C．先减小再增大D．不断增大
40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…An分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．505cm2 C．cm2 D．（）2021cm2
41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．
【题型6 正方形-半角互模型】
43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．
44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）
45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．
（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．
（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【题型7 正方形-手拉手模型】
46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．
47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为 ， ；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；
②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．
【题型8 正方形-十字架模型】
48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）
A．1B．2C．D．2
50．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
51．（2021春•船营区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为 ，CG+DG的长为 ．
52．（2020秋•莲湖区期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．
专题03 正方形的性质与判定（八大类型）
【题型1 正方形的性质】
【题型2 正方形的判定】
【题型3 矩形的性质与判定综合运用】
【题型4 正方形中最小值问题】
【题型5 正方形-对角互模型】
【题型6 正方形-半角互模型】
【题型7 正方形-手拉手模型】
【题型8 正方形-十字架模型】
【题型1 正方形的性质】
1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（ ）
​
A．10°B．15°C．22.5°D．30°
【答案】B
【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故选：B．
2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．邻边相等
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
【答案】A
【解答】解：A、矩形、正方形的对角线均相等且互相平分，故A选项符合题意；
B、正方形的邻边相等，矩形的邻边不一定相等，故B选项不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故C选项不符合题意；
D、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角，故D选项不符合题意．
故选：A．
3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．24D．6
【答案】C
【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵∠ABF＝30°，
∴，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴，
∴AB＝6（负值舍去），
∴正方形ABCD的周长为4×6＝24．
故选：C．
4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】C
【解答】解：∵图（1）中正方形ABCD的对角线BD的长为10cm，
∴AB＝cm，
如图（2），连接AC，交BD于O，
∵∠BAD＝120°，四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝cm，
∴BO＝＝cm，
∴BD＝2BO＝cm，
故选：C．
5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为（ ）
A．y＝xB．y＝2xC．y＝180﹣xD．y＝90﹣x
【答案】D
【解答】解：∵四边形APCD和四边形PBEF都是正方形，
∴∠APE＝∠CPB＝∠EBP＝90°，AP＝PC，PF＝PB，
∴∠CBE+CBP＝90°，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠CBP，
∵∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，
∴x+y＝90，
∴y＝90﹣x．
故选：D．
6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝CE，
∵F为线段BC的中点，
∴BF＝CF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝＝2（cm），
故选：D．
7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）
A．α﹣45°B．α﹣90°C．270°﹣αD．180°﹣α
【答案】D
【解答】解：如图，
由题意可知，∠1＝∠3+90°，
∵∠1＝α，
∴∠3＝α﹣90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α．
故选：D．
8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（ ）
A．80°B．70°C．75°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF＝∠BAF＝45°，
∵∠ABE＝35°，
∴∠CFB＝∠ABE+∠BAF＝80°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CFD＝∠CFB＝80°，
故选：A．
9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（ ）
A．5B．5C．2.5D．
【答案】A
【解答】证明：连接PC，
在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，BP＝BP，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∴EF＝AP＝5．
故选：A．
10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（ ）
A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2
【答案】D
【解答】解：
图1连接AC，
∵菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵对角线AC＝10cm，
∴BC＝10cm，
∴CE＝BC＝10cm，
图3过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ECH＝30°，
∴EH＝CE＝5cm，
∴△BCE的面积＝＝＝25（cm2），
故选：D．
11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
在△DCE和△DGE中，
，
∴△DCE≌△DGE（SAS），
∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，
在Rt△DAF和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），
∴AF＝GF＝1，
∵EG＝EC，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，
∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，
解得EG＝2.4，
∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4＝．
∴EF的长为．
故选：B．
12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故选：B．
13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 .（将正确的序号都填入）
【答案】①②③．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故选：①②③．
14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为 20 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图1，2中，连接AC．
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝40，
∴AB＝BC＝20，
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20，
故答案为：20，
【题型2 正方形的判定】
15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，符合题意；
故选：D．
16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A．CD＝ADB．OD＝CDC．BD＝ACD．∠AOB＝60°
【答案】A
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：A．
17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：
①AB＝BC；
②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】C
【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】D
【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
故选：D．
19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；
∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，
若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，
则EF2＝AB2，即EF＝AB．
若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，
故D选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△CBE；
（2）△ACE添加一个条件 ∠ACE＝90° ，矩形ABCD为正方形．请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）∠ACE＝90°，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠BCD＝∠CBE＝90°，
∵AC＝EC，
∴BD＝EC，
∵BC＝CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）；
（2）解：当∠ACE＝90°时，矩形ABCD为正方形．
∵∠ACE＝90°，AC＝EC，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAE＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD为正方形．
故答案为：∠ACE＝90°．
21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
【答案】见解析过程．
【解答】证明：连接GH，
∵G、F分别是BE、BC的中点，
∴GF∥EC，
同理FH∥BE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH，
又∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形，
∵BE⊥EC，
∴菱形EGFH是正方形．
22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若∠B＝35°，当∠C＝ 55 度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
∵∠B＝35°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝55°，
故答案为：55．
23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．
（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；
（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．
【答案】（1）四边形CDBE是菱形，证明过程见解答；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由见解答．
【解答】解：（1）四边形CDBE是菱形，
证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝BD，
∴平行四边形BDCE是菱形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，
当△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AC⊥BF，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∴△ADC是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
∵点E到直线AC和CF的距离相等，
∴CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°+45°＝90°，
∵AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
∵∠ADC＝90°，∠DCE＝90°，∠AEC＝90°，AD＝DC，
∴四边形ADCE是正方形．
25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．
【答案】（1）四边形MENF是菱形．理由见解答．
（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形．
（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．
【题型3 正方形的性质与判定综合运用】
26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；
（2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°，
∴AB＝＝20，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故．
27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG＝＝＝3，
∴DE＝EG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）9．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
设AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝＝x，
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．
29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．
（1）求证：四边形AFDE是正方形；
（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）9．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝3，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝3．
∴四边形AFDE的面积为3×3＝9．
30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）17．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知：，
又BE＝1，∠B＝90°，
∴由勾股定理得，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
（3）5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF＝，
∵EF＝CE＝1，
∴KE＝，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE＝，
故点A，E之间的距离为5．
【题型4 正方形中最小值问题】
32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．4D．3
【答案】B
【解答】解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴四边形PEBF为矩形，
∴EF＝BP，
当BP⊥AC，BP最短，
在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，
根据勾股定理可解得BP＝3，
∴EF得最小值为3．
故选：B．
33.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，
过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，
所以E′F＝＝．
故选：C．
34．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值 ．
【答案】
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝＝OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝CF＝1，
即AB＝，
故答案为：．
35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 ．
【答案】﹣1
【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EDA+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，
∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥﹣1，
∴BG的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为 9 ．
【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME （2）结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM （3）9
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：
如图1中，延长EM交AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME（ASA），
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（2）如图2中，结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：
如图2中，延长EM交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME（ASA），
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME；
（3）如图3，连接BF，取BF的中点H，连接HM，HN，则MN≤HM+HN，
∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值，
∵M、N、H分别是AF、BG、BF的中点，AB＝13，CE＝5，
∴MH＝AB＝，NH＝FG＝CE＝，
∴HM+HN＝9，
∴MN≤9，
∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值9，
故答案为：9．
【题型5 正方形-对角互模型】
37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．
38.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变B．先增大再减小
C．先减小再增大D．不断增大
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOC＝S正方形ABCD，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，
故选：A．
40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…An分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2B．505cm2
C．cm2D．（）2021cm2
【答案】B
【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，
则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，且∠EMO＝∠FNO＝90°，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，
则OMCN的面积是1，
∴阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
∴则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝2020×＝505（cm2）．
故选：B．
41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．
求证：CE＝DF．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，
∴∠DOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE＝DF．
42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．
【答案】（1）略 （2）MN＝OM＝3
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为6，
∴OH＝HA＝3，
∵E为OM的中点，
∴HM＝6，
则OM＝＝3，
∴MN＝OM＝3．
【题型6 正方形-半角互模型】
43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△△FAG（SAS），
∴EF＝FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝2，CN＝3，
∴MN2＝22+32，
∴MN＝．
44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）
【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，
证明如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
证明如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN
45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．
（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．
（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【解答】
（1）证明：延长MB到H，使BH＝DN，连接AH，如图（1），
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
在△ABH和△ADN中，
，
∴△ABH≌△ADN（SAS），
∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠HAB+∠BAM＝45°，
∴∠HAM＝∠NAM，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，
∴MN＝BM+DN；
（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：
在DN上截取DH＝BM，如图（2），
与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，
∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAH+∠BAN＝45°，
∴∠HAN＝45°，
∴∠HAN＝∠NAM，
在△ANH和△AMN中，
，
∴△ANH≌△AMN（SAS），
∴NH＝MN，
而DN＝DH+HN，
∴BM+MN＝DN，
即MN＝DN﹣BM．
【题型7 正方形-手拉手模型】
46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠EAG＝∠DAB＝90°，
∵∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：BE⊥GD，理由如下：如图，设DG与AE的交点为P，
∵△GAD≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AGD，
∵∠EPH＝∠APG，
∴∠EHG＝∠EAG＝90°，
∴EB⊥GD；
（2）解：如图2，连接BD，BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，
∴DB＝AB＝3，DO＝BO＝，
∵AG＝，
∴GO＝AO+AG＝，
∴DG＝＝＝，
∴BE＝DG＝．
47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．
（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为 ， ；
（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），
①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；
②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．
【解答】解：（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：
延长AF交BD于H，如图①所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACF＝∠DCB＝90°，
∴∠CAF+∠AFC＝90°，
在△ACF和△DCB中，
，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，
∵∠DFH＝∠AFC，
∴∠CDB+∠DFH＝∠CAF+∠AFC＝90°，
∴∠DHF＝90°，
∴AF⊥BD；
故答案为：AF＝BD，AF⊥BD；
（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由如下：
设AF交CD于点M，如图②所示：
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACD＝∠FCB＝90°，
∴∠CAF+∠AMC＝90°，
∴∠ACD+∠DCF＝∠FCB+∠DCF，
即∠ACF＝∠BCD，
在△ACF和△DCB中，
，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，
∵∠DMH＝∠AMC，
∴∠CDB+∠DMH＝∠CAF+∠AMC＝90°，
∴∠DHM＝90°，
∴AF⊥BD；
②分两种情况：
a、如图③所示：连接CG交BF于O，
∵四边形BCFG是正方形，
∴CB＝BG，BF⊥CG，∠BGF＝90°，OB＝OF＝OC＝OG，
∴BF＝CG＝BC＝2，OB＝OF＝OC＝BF＝1，
∴AO＝＝＝，
∴AF＝AO+OF＝+1，
由（2）得：AF＝DB，
∴DB＝+1；
b、如图④所示：连接CG交BF于O，
同上得：OB＝OF＝OC＝BF＝1，
∴AO＝＝＝，
AF＝AO﹣OF＝﹣1，
由（2）得：AF＝DB，
∴DB＝﹣1；
综上所述，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为+1或﹣1．
【题型8 正方形-十字架模型】
48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS）；
∴∠AFB＝∠CFB，
又∵∠AFC＝140°，
∴∠CFB＝70°，
∵∠DFC+∠CFB＝180°，
∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°，
∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，
∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°，
故选：D
49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE＝S△DAF，
∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，
即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，
∵OA＝1，
∴BO＝2，
∴AB＝＝＝，
故选：C．
50．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
【答案】（1）见解析；
（2）AD＝DE，理由见解析；
（3）QM＝．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QBC，
∵∠QBC+∠ABQ＝90°，
∴∠PAB+∠ABQ＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BQ；
（2）AD＝DE，理由如下：
如图，延长BQ、AD交于一点F，
当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ，
∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，
∴△FDQ≌△BCQ（ASA），
∴FD＝BC，
∴FD＝AD，
由（1）得：∠FEA＝90°，
∴DE＝FA＝AD；
（3）由（1）得：AP⊥BQ，
∴∠ANE+∠NAE＝90°，
∵∠NAE+∠AEH＝90°，
∴∠ANE＝∠AEH，
设∠ANE＝∠AEH＝α，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠AEH＝α，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE＝α，
∵△PAB≌△QBC，
∴∠CQB＝∠APB＝α，
∵∠QNM＝∠ANE＝α，
∴∠CQB＝∠QNM，
∴QM＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠ABQ＝∠CQB＝α，
∴∠ABQ＝∠ANE，
∴AN＝AB＝2，
设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，
∵AD2+DM2＝AM2，
∴22+（x+1）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴QM＝．
51．（2021春•船营区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．
（1）求证：CE＝DF；
（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为
，CG+DG的长为 ．
【答案】（1）见解答；
（2）；．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，CD＝BC，∠DCF＝∠CBE＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠CFD，
∴△DCF≌△CBE（AAS），
∴CE＝DF；
（2）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△DCG的面积与四边形BEGF的面积相等，均为×3＝，
设DG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即DG+CG＝，
故答案为：；．
52．（2020秋•莲湖区期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 AE＝DF ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．
【答案】（1）AE＝DF；
（2）见解答；
（3）4．
【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF，
故答案为AE＝DF；
（2）如图1，故点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
则AB＝EM，
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴EM＝BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵BC⊥EM，
∴∠CBG+∠EFM＝90°，
∴∠CBG＝∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴BG＝EF；
（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，
过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG＝HF，
∵AE＝2，BF＝5，
∴NG＝HF＝5﹣2＝3，
又∵GC＝MB＝1，
∴NC＝NG+CG＝3+1＝4．