北师大版九年级数学上册《知识解读•题型专练》第一章特殊平行四边形章末测试卷(培优卷)(原卷版+解析)

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第一单元 特殊的平行四边形（培优卷）（考试时间：45分钟 试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•商河县期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分2．（2022秋•仓山区校级期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）A．4 B．4 C．3 D．53．（2021秋•定安县期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km4．（2022春•东平县期中）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（　　）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm5．（2022春•承德期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC6．（2022春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（　　）A．30° B．45° C．50° D．55°7．（2022•吉首市校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）A．3.5 B．4 C．7 D．148．（2022春•鞍山期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．109．（2022春•德城区校级期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大10．（2022•东坡区校级模拟）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD点F，则PE+PF等于（　　）A． B． C． D．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。11．（2022春•东莞市期中）如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件　 ，就可以判定它是一个菱形．12．（2022春•兴义市期中）如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是　 　．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 　　度．14．（2022春•沂南县期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．15．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（9，0），C（0，3），点D以2cm/s的速度从A出发向终点O运动，点P以1cm/s的速度从C出发向终点B运动，当△ODP是以OP为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为　 　．16．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　．三、解答题（本题共5题，17题-20题，每题10分，21题12分）。17．（2023•钦州一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形．18．（2023春•东莞市校级期中）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AF的长．19．（2023春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．20．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．21．（2023春•渝北区月考）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 第一单元 特殊的平行四边形（培优卷）（考试时间：45分钟 试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•商河县期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分【答案】D【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．2．（2022秋•仓山区校级期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）A．4 B．4 C．3 D．5【答案】B【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．3．（2021秋•定安县期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．4．（2022春•东平县期中）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（　　）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm【答案】D【解答】解：设对角线AC，BD相交于O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BO＝DO＝12∴AB＝＝13∴菱形ABCD的周长＝13×4＝52故选：D．5．（2022春•承德期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，故选：A．6．（2022春•承德县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（　　）A．30° B．45° C．50° D．55°【答案】B【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴x+3x＝90，x＝22.5°，即∠FDC＝x°＝22.5°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，∴ED＝EC，∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°故选：B．7．（2022•吉首市校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝×28＝7，且O为BD的中点，∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE＝AB＝3.5，8．（2022春•鞍山期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．故选：C．故选：A．9．（2022春•德城区校级期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是两个边长相等正方形，∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，即∠BOM＝∠CON，∵在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOC＝S正方形ABCD，即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，故选：A．10．（2022•东坡区校级模拟）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD点F，则PE+PF等于（　　）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：C．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。11．（2022春•东莞市期中）如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件　AB＝BC　，就可以判定它是一个菱形．【答案】见试题解答内容【解答】解：补充的条件是AB＝BC，理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝BC．12．（2022春•兴义市期中）如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是　15　．【答案】15．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长＝3AB＝15，故答案为：15．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 　70　度．【答案】70．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，∴∠AED＝∠AEB，∵∠AEB为△EBC的外角，∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，∴∠AED＝70°，故答案为70．14．（2022春•沂南县期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　6　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．15．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（9，0），C（0，3），点D以2cm/s的速度从A出发向终点O运动，点P以1cm/s的速度从C出发向终点B运动，当△ODP是以OP为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为　（6﹣2，3）或（，3）　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设经过t秒后，△ODP是以OP为一腰的等腰三角形，∵四边形OABC是矩形，C（0，3），∴∠OCB＝90°，CP＝t，OC＝3，若OP＝OD时，∴＝OP2，∴t2+9＝（9﹣2t）2，∴t＝6﹣2，t＝6+2（不合题意舍去）∴点P（6﹣2，3）；若OP＝PD时，∴点P在OD的垂直平分线上，∴t＝（9﹣2t），∴t＝，∴点P（，3）；综上所述：点P（6﹣2，3）或（，3），故答案为：（6﹣2，3）或（，3）．16．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3+　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，故答案为：3+．三、解答题（本题共5题，17题-20题，每题10分，21题12分）。17．（2023•钦州一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，AD＝BC，∵DF＝BE，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形．18．（2023春•东莞市校级期中）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AF的长．【答案】（1）见解答；（2）1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1．19．（2023春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，点E为对角线BD中点，过E作FH⊥BD，交AD于点F，交BC于点H，连接BF，DH．（1）试判断四边形BFDH的形状，并说明理由；（2）若AB＝12，AD＝18，求BH的长．【答案】（1）平行四边形FBHD为菱形，理由见解析；（2）BH的长度为13．【解答】解：（1）四边形FBHD为菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠FDB＝∠HBD，∵E为BD中点∴BE＝DE，∵FH⊥BD，∴∠FED＝∠HEB，∴△FED≌△HEB（ASA），∴FE＝HE，又BE＝DE，∴四边形FBHD为平行四边形，∵FH⊥BD，∴平行四边形FBHD为菱形；（2）设BH的长度为x，由（1）得四边形FBHD为菱形，∴BH＝FD＝BF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝12，AD＝18，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，∴122+（18﹣x）2＝x2，解得：x＝13，∴BH的长度为13．20．（2023春•鄂城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，EF⊥AB于F点，OG∥EF交AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5，2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝AE＝5，由（1）可知，四边形EFCO是矩形，∴FG＝OE＝5，∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，故答案为：2．21．（2023春•渝北区月考）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、△ABC的外角∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，见解析．【解答】解：（1）OE＝EF；理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．