北师大版九年级数学上册《知识解读•题型专练》第一章特殊平行四边形章末测试卷(提升卷)(原卷版+解析)

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第一单元 特殊的平行四边形（提升卷）（考试时间：45分钟 试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•平陆县期末）矩形和菱形都一定具有的性质是（　　）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角2．（2022秋•礼泉县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（　　）A．7 B．6 C．5 D．23．（2023•新都区模拟）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（　　）A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定4．（2022秋•婺城区期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　）A． B． C． D．不能确定5．（2023春•鹤山市校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形6．（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）7．（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（　　）A．76 B．24 C．48 D．888．（2022春•永善县期中）如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　）A． B． C． D．9．（2022秋•南海区校级期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　）A． B． C． D．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。11．（2021秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 　　．（2022春•临湘市期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为　　．13．（2022•虞城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 使平行四边形ABCD是菱形．14．（2022春•东莞市期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．15．（2022春•滨城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　 　．16．（2022•薛城区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．三、解答题（本题共5题，17题-20题，每题10分，21题12分）。17．（2022•随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AE＝CF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．18．（2022•遵义三模）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：BE＝CF．（2）若∠AOB＝60°，AB＝8，求矩形的面积．19．（2022春•石城县校级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．20．（2023•岳麓区一模）如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，点P为对角线BD上任一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交BC于点Q．（1）求证：AP＝PQ；（2）若，求四边形ABQP的面积．21．（2022春•兴国县期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 第一单元 特殊的平行四边形（提升卷）（考试时间：45分钟 试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋•平陆县期末）矩形和菱形都一定具有的性质是（　　）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角【答案】B【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角度数直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，所以矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分，故选：B．2．（2022秋•礼泉县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（　　）A．7 B．6 C．5 D．2【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC,∵AC＝14,∴OB＝7,故选：A．3．（2023•新都区模拟）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是（　　）A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，S菱形ABCD＝×8×6＝24，∴AB＝＝5，S△AOB＝6，∵•AB•EO＝×AO×BO，∴5EO＝4×3，EO＝，故选：C．4．（2022秋•婺城区期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　）A． B． C． D．不能确定【答案】A【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选：A．5．（2023春•鹤山市校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，故选：D．6．（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【答案】B【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故选：B．7．（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（　　）A．76 B．24 C．48 D．88【答案】A【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝100﹣×8×6＝76．故选：A．8．（2022春•永善县期中）如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，∴AB＝5，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，∴DH＝＝4.8．故选：C．9．（2022秋•南海区校级期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故正确；∴其中正确的结论为①④，故选：B．10．（2021春•林州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：连接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值为，∵点G为四边形DEAF对角线交点，∴GF＝EF＝；故选：B．填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。11．（2021秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是 　3　．【答案】3．【解答】解：∵∠C＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3．故答案为3．12．（2022春•临湘市期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为　15°　．【答案】15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠AED＝（180°﹣∠ADE）＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为：15°．13．（2022•虞城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　AB＝BC或AC⊥BD　使平行四边形ABCD是菱形．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．14．（2022春•东莞市期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．15．（2022春•滨城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　 　．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×5×12＝×13×AP，∴AP＝，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP≤AC，即AP≤12，∴AM≤6，∴≤AM≤6．故答案为：≤AM≤6．16．（2022•薛城区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故答案为：+3．三、解答题（本题共5题，17题-20题，每题10分，21题12分）。17．（2022•随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AE＝CF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）1．【解答】（1）证明：∵四边形BEDF为正方形，∴DF＝EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，∴DC﹣DF＝AB﹣EB，∴CF＝AE，即AE＝CF；（2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形，∴5DE＝20，DE＝EB，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，由（1）知：AE＝CF，∴CF＝1．18．（2022•遵义三模）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：BE＝CF．（2）若∠AOB＝60°，AB＝8，求矩形的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OB＝OC，∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，在△BEO和△CFO中，，∴△BEO≌△CFO（AAS），∴BE＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OB＝OA，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝8，∴AC＝16，由勾股定理得：BC＝＝8，∴矩形的面积是AB×BC＝8×8＝64．19．（2022春•石城县校级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，∴∠DBC＝∠BDF，∴BE＝DE，在△DCE和△BFE中，，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，∴BC＝2，在Rt△ECD中，∵CD＝2，∠EDC＝30°，∴DE＝2EC，∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，∴CE＝，∴BE＝BC﹣EC＝．20．（2023•岳麓区一模）如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，点P为对角线BD上任一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交BC于点Q．（1）求证：AP＝PQ；（2）若，求四边形ABQP的面积．【答案】（1）见解析；（2）25．【解答】（1）证明：过点P作MN∥CD交AD于点M，交BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，∵MN∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形MNCD为矩形，∴∠NMD＝90°，∠MPD＝45°，AD＝CD＝MN，∴MD＝MP，∴AM＝PN，∵AP⊥PQ，∴∠APQ＝90°，∴∠APM+∠QPN＝90°，∵∠QPN+∠PQN＝90°，∴∠APM＝∠PQN，在△AMP和△PNQ中，，∴△AMP≌△PNQ（AAS），∴AP＝PQ；（2）解：在等腰直角三角形DMP中，，根据勾股定理得MD＝MP＝1，∴AM＝5，∴四边形ABQP的面积＝．21．（2022春•兴国县期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH＝2，S四边形AECF＝S△ABC＝．△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4+．