人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程课时作业

这是一份人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程课时作业，共72页。试卷主要包含了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，换元法解一元二次方程，配方法的应用，一元二次方程中的因式分解，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程与几何动点问题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A．B．C．xD．1
2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程化成的形式则 ．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．
易错必考题二、一元二次方程的解
4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2021C．D．2025
5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2B．C．D．1
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m为方程的根，那么的值为 ．
7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为 ．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
易错必考题三、换元法解一元二次方程
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对B．6对C．8对D．无数对
11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ）
A． B．C．D．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是 ．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程的根为，，则方程的根是 ．
14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：
为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得．
当，时，，∴．∴；
当时，，∴．∴．
故原方程的解为， ，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：；
(3)请利用以上知识解方程：．
易错必考题四、配方法的应用
16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ）
A．B．10C．D．9
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x和y满足，则 ．
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设为整数，且，方程有两个不相等的整数根，则的值是 ．
20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：． ②求的最小值．
解：原式 解：原式
．
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______________．
(2)因式分解：．
(3)求的最小值．
21．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
易错必考题五、一元二次方程中的因式分解
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．或1B．C．D．
23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得，…第一步
方程两边都除以，得，…第二步
解得…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
②请直接写出方程的根为 ．
25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：且，，那么的值等于 ．
26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数
28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．10
29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．且C．D．且
31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 ．
33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，若关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则的值为 ．
34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 ．
36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(3)有实根，求m的最小整数值．
37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在的值，使为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
38．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长．
39．（2023秋·九年级课时练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
易错必考题七、一元二次方程根与系数的关系
40．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
41．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
42．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
43．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为( )
A．或1B．或3C．D．3
44．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）已知，是方程的两实数根，则 ．
45．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）已知方程的两根分别为，则 ．
46．（2023·四川成都·校考三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且．则的值为 ．
47．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知、，满足等式：，则 ．
48．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市南雅中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．
49．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根，满足，求k的值；
(3)已知方程的一个根为，求代数式的值．
50．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，请解答下列问题：
①若，，求的取值范围；
②请判断的值能否等于，若能，请求出此时的值；若不能说明理由．
51．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则________，________．
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值．
易错必考题八、一元二次方程与几何动点问题
52．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）
A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒
53．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（ ）
A． B． C．或D．
54．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为 ．
55．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动．
（1） ；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于．
56．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．

(1) ______， ______．
(2)当t为何值时，的面积为．
(3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由．
57．（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
易错必考题九、一元二次方程中的营销问题
58．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（ ）
A．15元B．14元C．13元D．12元
59．（2023春·八年级课时练习）某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元B．20元C．5元D．5元或10元
60．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元．
61．（2023秋·全国·九年级专题练习）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为 ．
62．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该款火腿销售量的月增长率；
(2)若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价）
63．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
(1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
(2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
易错必考题十、一元二次方程中的新定义问题
64．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则或1；
②若，则的值为3或；
③若方程的解为、，则的值为；
④若关于的方程有两个不相等的实数解，则．
A．1B．2C．3D．4
65．（2023·山东淄博·校考二模）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图像（部分）如图所示，则方程有（ ）个解．

A．4B．3C．2D．1
66．（2023·广东·二模）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
67．（2023秋·全国·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)【解决问题】
数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知，则 ；
(3)【拓展提升】
已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
68．（2022秋·八年级单元测试）对于m，n，定义：若，则称m与n是关于1的“对称数”．
(1)填空：7与______是关于1的“对称数”； 与______是关于1的“对称数”；
(2)已知，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，求a，b的值；
(3)若，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
第二十一章 一元二次方程 易错必考68题（10个考点）专练
易错必考题一、一元二次方程的一般形式
1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A．B．C．xD．1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6，
∴，，
解得：，
把代入原方程可得，
∴一次项是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项．
2．（2023春·八年级课时练习）将一元二次方程化成的形式则 ．
【答案】1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为，
故，
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．
【答案】二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：；参数m的取值范围是
【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m的取值范围．
【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：，
由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件，即．
可知它的各项系数分别是
二次项系数是：，
一次项系数是：，
常数项是：．
参数m的取值范围是．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．
易错必考题二、一元二次方程的解
4．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A．B．2021C．D．2025
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．
5．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．
【详解】∵，，，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，即，
∴，
∴是方程的一个根，
即时方程的一个根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m为方程的根，那么的值为 ．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再用m表示得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m为方程的一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．
7．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为 ．
【答案】或
【分析】设公共解为，根据一元二次方程根的定义得到，，，三式相加可得：或，分别代入所求式可解答．
【详解】解：设公共解为，
则，，，
三式相加得，
即，
因为，
所以或，
当时，，
原式

；
当时，，，
，
，
原式


，
综上，代数式的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案．
【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根，
∴．
，
∴代数式的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键．
9．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案；
（2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
易错必考题三、换元法解一元二次方程
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对B．6对C．8对D．无数对
【答案】C
【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．
【详解】解：由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．
11．（2023春·全国·八年级专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】将原方程中的换成，再移项即可．
【详解】解：根据题意，得，即；
故选：D．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是 ．
【答案】，，
【分析】根据关于x的方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案．
【详解】解：∵,
∴,
关于的方程的解是，，令，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程的根为，，则方程的根是 ．
【答案】，
【分析】设，可得，根据的根为，，可得或，即可得到答案；
【详解】解：设，可得，
∵的根为，，
∴或，
解得：，，
故答案为，；
【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设，得到，结合方程的根为，．
14．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入方程，得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，于是，
把代入方程，得，
去分母，得，
若，有，
于是，方程有一个根为，不合题意，
∴，
故所求方程为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读材料：
为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得．
当，时，，∴．∴；
当时，，∴．∴．
故原方程的解为， ，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：；
(3)请利用以上知识解方程：．
【答案】(1)换元；转化
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）利用换元法解方程即可；
（3）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：利用了换元法，体现了转化思想；
故答案为：换元，转化；
（2）设，
原方程可变为，
则，
∴或，
∴，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴原方程的解为；
（3）设，
原方程可变为，
解得，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查解一元二次方程．解题的关键是理解并掌握换元法解方程．
易错必考题四、配方法的应用
16．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（ ）
A．B．10C．D．9
【答案】B
【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：∵与就是“同族二次方程”，
∴，
即，
∴
解得
∴
＝
＝，
则代数式能取的最大值是2020．
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
18．（2023秋·江苏·九年级专题练习）实数x和y满足，则 ．
【答案】
【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：，，
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）设为整数，且，方程有两个不相等的整数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】将方程化为，根据为整数，且方程有两个不相等的整数根即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
为整数，且方程有两个不相等的整数根，
当时，符合题意，
解得：；
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，求参数的整数问题，掌握方法是解题的关键．
20．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：． ②求的最小值．
解：原式 解：原式
．
，
，
即的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______________．
(2)因式分解：．
(3)求的最小值．
【答案】(1)4
(2)
(3)2
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可；
（2）将32化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解．
【详解】（1）解：∵，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
∵，
∴，
∴的最小值为2．
【点睛】本题考查配方法的应用、因式分解的应用，根据完全平方式进行配方和平方的非负性是解题的关键．
21．（2023春·浙江宁波·八年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；
（2）利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义；
（3）利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题．
【详解】解：（1）

，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为；
故答案为：；
（2），
，
，
无论取何实数，二次根式都有意义；
（3），
四边形的面积，
，
，
四边形的面积


，
当，四边形的面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．
易错必考题五、一元二次方程中的因式分解
22．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．或1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．
【详解】解：把代入，得，
解得或，
而，
所以的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
23．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
【答案】B
【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，则，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
综上：x的值是5或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
24．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列解方程的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得，…第一步
方程两边都除以，得，…第二步
解得…第三步
①第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
②请直接写出方程的根为 ．
【答案】 公式法 二 可能为0 ，
【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；
②利用因式分解法求解即可．
【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：可能为0，
故答案为：公式法，二，可能为0；
②∵，
∴，
∴，
则，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
25．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：且，，那么的值等于 ．
【答案】或2
【分析】先把已知条件化为，再利用因式分解法得到或，然后把或分别代入中计算即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴或，
当时，即；
当时，即，
∴的值等于或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
26．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程有实数根，则，由此即可求解；
（2）根据（1）中的取值范围求出的值，由此可求出方程的解，把的值代入一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得，
∴的取值范围．
（2）解：由（1）可知，，
∴的最大整数是，
∴方程可化为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
又，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握一元一次方程的定义，有实根的计算方法，解一元二次方程的方法的知识是解题的关键．
27．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】(1)见解析
(2)或或0或2
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为，，得出，然后利用有理数的整除性确定的整数值．
【详解】（1）解：证明：，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2），即，
解得：或．
一元二次方程的两根为，，
，
，
，
如果为整数，则或或0或2，
整数的所有可能的值为或或0或2．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出的整数值．
易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数
28．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．D．10
【答案】D
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根．
29．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 且然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；
【详解】解：根据题意得 且，
解得 且 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题 的关键
30．（2023·辽宁阜新·校联考一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）．
A．B．且C．D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：当时，，
∴，
当时，原方程是一元一次方程，有实数根，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
31．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）已知关于x的一元二次方程没有实数根，且a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】C
【分析】由所给方程是一元二次方程可知，由方程没有实数根可知，再解不等组，找出交集即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程没有实数根，
，，
，，
a满足，
由得，
由得，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式，即时，方程没有实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个不等的实数根．
32．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 ．
【答案】且．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：当时，方程是一元二次方程，则△有实数根，
解得且．
故答案为且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
33．（2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）已知关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，若关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则的值为 ．
【答案】
【分析】先解方程得，再把代入方程得，接着根据方程有两个相等的实数解，得到，然后通过解方程组求出、，从而得到的值．
【详解】解：解方程得，
关于的一元一次方程与一元二次方程有一个公共解，
为方程的解，
，
关于的一元二次方程有两个相等的实数解，
，
把代入得，解得，
当时，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
34．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
35．（2023·辽宁抚顺·统考三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 ．
【答案】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到，确定符合题意的整数解即可．
【详解】∵x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∵k是整数，
∴k的最大整数值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
36．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
(3)有实根，求m的最小整数值．
【答案】(1)且
(2)，
(3)0
【分析】（1）分两种情况讨论：当时，变成；当时，是一元二次方程，根据方程根的情况可得，求解即可；
（2）当时，变成；当时，是一元二次方程，根据方程根的情况可得，求解即可；
（3）当时，变成；当时，是一元二次方程，根据方程根的情况可得，求解即可．
【详解】（1）解：，
移项合并同类项得：，
当时，是一元二次方程，
由题意得：，
解得：；
当时，变成，只有一个实数根，不符合题意；
∴m的取值范围是且；
（2）解：当时，变成，只有一个实数根，不符合题意；
当时，是一元二次方程，
由题意得：，
解得：，
把代入得：，
整理得：，
解得：；
（3）解：当时，变成，有一个实数根，符合题意，
当时，是一元二次方程，
由题意得：，
解得：，
∴m的最小整数值是0；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程根的情况是解题的关键．
37．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)是否存在的值，使为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)且
(2)2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式，建立关于的不等式组，求得的取值范围．
（2）根据（1）中所求的取值范围，得出使为非负整数的值，代入中，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，且，
∴，
解得：且;
（2）解：∵且，
∴，．
当时，，此时方程的两根均为无理数，不符合题意舍去；
当时，，此时方程的两根均为有理数，符合题意；
故满足条件的的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：①＞方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③＜方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
38．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)详见解析
(2)，周长：
【分析】（1）分情况讨论：，化为一元一次方程，求解；，化为一元二次方程，运用根的判别式处理；
（2）对等腰三角形分情况讨论，分别求解，运用三角形三边关系定理判断取舍．
【详解】（1）解：当时，方程化为，解得：，方程有解；
当时，，
，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
综上，无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：解方程得，，
①当腰长为4，则
∴，周长
②当底边为4，则，
∴．
，，不符合题意．
故，周长为9
【点睛】本题一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求解；注意分情况讨论是解题的关键．
39．（2023秋·九年级课时练习）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值，
（3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值．
【详解】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，
，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且
（3）由（2）可得，
∵整数，k为正整数．
∴或．
【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，．
易错必考题七、一元二次方程根与系数的关系
40．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
则：，
即：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．
41．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
【答案】D
【分析】由解的定义，得，由根与系数关系得，对代数式变形，代入求解．
【详解】解：由题意，，，
∴．
∴．
故选：D.
【点睛】本题考查方程解的定义，一元二次方程根与系数关系，掌握根与系数关系定理是解题的关键．
42．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是方程的两根，得出，，，然后对代数式变形，最后代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键．
43．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为( )
A．或1B．或3C．D．3
【答案】C
【分析】先根据根的情况得出判别式为非负数，求出的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入，然后解方程求出的值，再结合的范围求解即可．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根
∴，
∴，
由题可知，
，
代入，得
，
化简为，
，
，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，熟练运用根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
44．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）已知，是方程的两实数根，则 ．
【答案】4092529
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵m是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵m，n是方程的两实数根，
∴，
∴．
故答案为:4092529．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
45．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）已知方程的两根分别为，则 ．
【答案】15
【分析】由题意知，，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
46．（2023·四川成都·校考三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且．则的值为 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系：，解题的关键是熟知根与系数的关系且能灵活应用．
47．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知、，满足等式：，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∵满足
∴，为以为未知数的一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键．
48．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市南雅中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可；
（2）由题意可得，进行变形后代入即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，方程的两实根为，
，
，
即，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题.
49．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根，满足，求k的值；
(3)已知方程的一个根为，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有两个不相等实数根可知，得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得，，结合即可求解；
（3）将代入原方程，化简整理可得，利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）由根与系数的关系，得， ．
∵，
∴，
解得：或，
又∵，
∴；
（3）∵方程的一个根为，
∴，
整理可得：，
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，方程的解的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
50．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，请解答下列问题：
①若，，求的取值范围；
②请判断的值能否等于，若能，请求出此时的值；若不能说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②不能，见解析
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得，则，然后解不等式即可；
由于，，所以，由于时，有最小值，从而可判断的值不能为．
【详解】（1）证明：

，
此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得，
，，
，
解得，
即的范围为；
的值不能为．
理由如下：
根据根与系数的关系得，，




，
时，有最小值，
的值不能为．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
51．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则________，________．
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；
（2）利用根与系数的关系，即可得出，，再利用完全平方公式将变形为，代入值进行计算即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
故答案为：，；
（2）解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，通过完全平方公式变形进行计算，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，是解题的关键．
易错必考题八、一元二次方程与几何动点问题
52．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）
A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒
【答案】A
【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
∴运动时间为1秒．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
53．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（ ）
A． B． C．或D．
【答案】C
【分析】过E作于点M，当运动时间为秒时，，利用勾股定理解，可得关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：如图所示，过E作于点M，
由题意知，当运动时间为秒时，，，，
，
根据勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，，
的长为时点E的运动时间是或，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．本题作答方法不唯一，也可以通过分类讨论求解．
54．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．动点，同时从，两点出发，当的面积为时，动点，的运动时间为 ．
【答案】
【分析】设，的运动时间为，可得，用表示出的面积，并令其等于，即可解出的值，即动点，的运动时间．
【详解】解：设动点，的运动时间为，且，则，．
，，
又的面积为，
，解得，（舍去）．
故动点，的运动时间为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确地设出未知量，并通过解方程求解是解决本题的常见方法．
55．（2023春·安徽·八年级期中）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动．
（1） ；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于．
【答案】 ； 1或7或．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案；
（2）过点Q作于点E，则，当运动时间为t秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）解：过点Q作于点E，则，如图所示，
当运动时间为t秒时，，，，，
依题意得：．
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去），．
∴经过1或7或秒后，的面积等于．
故答案为：1或7或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
56．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．

(1) ______， ______．
(2)当t为何值时，的面积为．
(3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)当t为1或2时，的面积为
(3)存在；当，使是以为底边的等腰三角形
【分析】（1）根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可；
（2）过点Q作于点H，，，，根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；
（3）根据是以为底边的等腰三角形，得，再列方程解答即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∴，，
∵，
即，
解得：，负值舍去，
∴，
故答案为：3；6．
（2）解：过点Q作于点H，如图所示：

，，则，
在中，，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：，，均符合题意，
答：当t为1或2时，的面积为．
（3）解：存在，理由如下：
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，即，
解得：，符合题意，
答：当，使是以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
57．（2022秋·广西桂林·九年级桂林市第一中学统考期中）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为
故答案为：．
（2）由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
易错必考题九、一元二次方程中的营销问题
58．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（ ）
A．15元B．14元C．13元D．12元
【答案】B
【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，依题意有
，
解得，
∵每碗售价不得超过15元，
∴．
∴当每碗售价定为14元时，店家才能实现每天利润2800元．
故选：B
【点睛】题目主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
59．（2023春·八年级课时练习）某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元B．20元C．5元D．5元或10元
【答案】B
【分析】先设每双鞋应降价x元，根据平均每天售出的双数×每件盈利=每天销售利润，再列出方程，求出x的值，再根据尽可能让利顾客，把不合题意的根舍去即可求出答案；
【详解】解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润”是解题的关键．
60．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元．
【答案】
【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
即，
解得，，，
∵每件头盔的利润不能超过进价的，
∴每件头盔的售价不能超过元，
所以舍去，
所以售价应为100元，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键．
61．（2023秋·全国·九年级专题练习）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
62．（2023春·安徽池州·八年级统考期中）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为，6月份销售量为，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该款火腿销售量的月增长率；
(2)若该款火腿的进价为120元，经在市场中测算，当售价为160元时，月销售量为，若在此基础上售价每上涨0.5元，则月销售量将减少，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润=售价-进价）
【答案】(1)
(2)应定价为每千克190元
【分析】（1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据该款火腿4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）该款火腿的实际售价为y元，根据月销售利润=每千克火腿的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【详解】（1）设该款火腿销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该款火腿销售量的月增长率为．
（2）设该款火腿的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
答：该款火腿的实际售价应定为190元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
63．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．
(1)求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
(2)当蛋黄粽子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？
【答案】(1)蛋黄粽子每袋进价50元，红豆粽子每袋进价20元
(2)52元
【分析】（1）设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，
根据题意得：，
解得：．
答：蛋黄粽子的进价是50元袋，红豆粽子的进价是20元袋；
（2）设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
解得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
易错必考题十、一元二次方程中的新定义问题
64．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则或1；
②若，则的值为3或；
③若方程的解为、，则的值为；
④若关于的方程有两个不相等的实数解，则．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据新定义的运算法则，将1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④．
【详解】解：①，解得：或1；
故①正确，符合题意；
②，整理得：，
∴，
∴或，
∴或，
故②正确，符合题意；
③，
∵方程的解为、，
∴，
∴，则
当时，，
当时，，
∴的值为或，
故③不正确，不符合题意；
④∵，
∴，
当时，整理得：，
∴，解得：；
当时，整理得：，
∴，解得：；
∴，
故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②，共2个；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
65．（2023·山东淄博·校考二模）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图像（部分）如图所示，则方程有（ ）个解．

A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据新定义得到，求出x的取值范围，分、、、分别解关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：由题意可知，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
①当时，，，解得；
②当时，，，解得（舍去）；
③当时，，，解得（舍去）；
④当时，，，解得（舍去）；
所以方程的解为或或或3，共4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键．也考查了实数的大小比较．
66．（2023·广东·二模）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个相等实数根可得，即且，解出k的解集即可．
【详解】由新定义的运算法则可得出：．
∵，
∴．
∵该方程有两个相等实数根，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
67．（2023秋·全国·九年级专题练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)【解决问题】
数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)【探究问题】
已知，则 ；
(3)【拓展提升】
已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
【答案】(1)不是，是
(2)1
(3)当时，S为“完美数”，理由见解析
【分析】（1）判断11和53能否表示成（a、b是整数）的形式即可；
（2）将已知等式变形为，根据平方的非负性求出x和y，代入求值；
（3）将S变形为，根据完全平方式的特点求解．
【详解】（1）解：数11不能表示成（a、b是整数）的形式，不是“完美数”；
，数53是“完美数”．
故答案为：不是，是；
（2）解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：1；
（3）解：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵S是完美数，
∴是完全平方式，
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，新定义运算，完全平方式等，解题的关键是正确理解新定义，掌握完全平方式的结构特点．
68．（2022秋·八年级单元测试）对于m，n，定义：若，则称m与n是关于1的“对称数”．
(1)填空：7与______是关于1的“对称数”； 与______是关于1的“对称数”；
(2)已知，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，求a，b的值；
(3)若，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的x值为或1
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）根据定义得到，整理得，再根据a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，得到即可；
（3）根据定义得到，解方程即可．
【详解】（1）解：根据关于1的“对称数”的定义，
得，
故答案为：；
（2）根据题意，得，
即，
∴，
整理得，
∵a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，
∴，
解得；
（3）∵C与D是关于1的“对称数”，
∴，
整理，得，
解得或，
∴满足条件的x值为或1．
【点睛】此题考查了新定义，解一元二次方程，因式分解的应用，正确理解新定义并灵活应用是解题的关键．