初中人教版（2024）21.1 一元二次方程一课一练

这是一份初中人教版（2024）21.1 一元二次方程一课一练，共33页。

选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B． C．D．
2．（2023·黑龙江·统考三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都是，则x的值是（ ）
A．B．25C．D．20
3．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
4．（2023年湖北省省直辖县级行政单位中考二模数学试题）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
6．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．C．2或4D．2或
7．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·广东广州·校考三模）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2022·浙江·九年级自主招生）关于x的方程，给出下列四个题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023春·吉林四平·八年级校联考阶段练习）方程的解是__________．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
13．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）已知关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________．
14．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为，墙的长度为．设垂直于墙的一边长为，则x的值为________．

15．（上海市长宁区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为______．
16．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是__________；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________．
17．（2023·山东临沂·统考二模）在中，，，将沿翻折到，的垂直平分线与相交于点E．若，则的长为______．

18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
20．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
21．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）电动车轻巧易操作，让我们的生活更加舒适便捷．本学期高老师为了方便上下班也买了一辆电动自行车．请解决以下两个问题：
(1)高老师家离学校有2000米的路程，她骑电动车上班时间比原来步行上班时间节省了20分钟．已知电动车的速度是步行速度的5倍．求高老师的步行速度．
(2)某天，高老师路过电动车专卖店，发现之前购买的那款电动车经过两个月后，售价由2620元降到了元，已知每月降价的百分率相同，求每月降价的百分率．
22．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根．
(1)写出与表示的数
(2)求出的值
(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？
23．（2023春·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
(3)若此方程的两个实数根分别为、，求代数式的值．
24．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
25．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）图，在矩形 中，，，，， 分别从 ，，， 出发沿 ，，， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若 （），则 ，，．
(1)当 为何值时，， 长度相等？
(2)当 为何值时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形？
(3)当 为何值时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
第二十一章 一元二次方程 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐一判断即可解答
【详解】解：不是方程，故A不符合题意；
中，当时，方程不是一元二次方程，故B不符合题意；
化简后为，是一元二次方程，故C符合题意；
为二元二次方程，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
2．（2023·黑龙江·统考三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都是，则x的值是（ ）
A．B．25C．D．20
【答案】B
【分析】根据经过两次降价后的价格原价建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
3．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围．
【详解】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
又，
且．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4．（2023年湖北省省直辖县级行政单位中考二模数学试题）已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
5．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．C．2或4D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
7．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可设点的坐标为，则，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

矩形的边在轴上，边在轴上，点B的坐标是，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，
由折叠的性质得：，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质、一元二次方程的应用，正确求出直线的函数解析式是解题关键．
8．（2023·广东广州·校考三模）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．
【详解】解：一元二次方程无实数根，
，
，
，即，
又，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键．
9．（2022·浙江·九年级自主招生）关于x的方程，给出下列四个题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【详解】解:时，或
方程化为：①
时，
方程化为：②
当，即时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得时，即：时，有5个不相等的实根
时，
则
中，不符合题意，故有2个实数根
中，，均不符合题意
故时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当，即时，
方程①的根为：，
方程②的根为：，
故共有4个不相等的实数根
当，即时，
方程没有实数根
综上，方程可能有个、个、个、个实数根
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键．
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，
∵无法确定a-b+c=0．故①错误；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴△=0-4ac＞0
∴-4ac＞0
则方程ax2+bx+c=0的判别式，
△=b2-4ac＞0
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
或，
∴或
∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023春·吉林四平·八年级校联考阶段练习）方程的解是__________．
【答案】或
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则________．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
13．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）已知关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________．
【答案】
【分析】直接根据判别式判断即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解与判别式之间的关系．
14．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为，墙的长度为．设垂直于墙的一边长为，则x的值为________．

【答案】10
【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为，列出一元二次方程，解之得出的值，再结合墙的长度为，即可确定的值．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
即的值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（上海市长宁区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为______．
【答案】
【分析】根据换元法即可求解．
【详解】解：方程，如果设，
∴
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
16．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是__________；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是，
故答案为：．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，
∴，，即
∴（负值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
联立①②解得：（为负数舍去）或
∴，
图2阴影部分的面积是
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
17．（2023·山东临沂·统考二模）在中，，，将沿翻折到，的垂直平分线与相交于点E．若，则的长为______．

【答案】
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，设，在中，利用勾股定理可求，利用折叠的性质和等腰三角形的性质可证，利用勾股定理可得，由可构建关于x的方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：连接，

∵的垂直平分线与相交于点E，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
∴，
由折叠可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点，正确作出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得，，
所以，
则，
则
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：．
移项得：，
配方得：，
即，
开方得： ，
∴原方程的解是：．
（2）．
因式分解得，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
21．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）电动车轻巧易操作，让我们的生活更加舒适便捷．本学期高老师为了方便上下班也买了一辆电动自行车．请解决以下两个问题：
(1)高老师家离学校有2000米的路程，她骑电动车上班时间比原来步行上班时间节省了20分钟．已知电动车的速度是步行速度的5倍．求高老师的步行速度．
(2)某天，高老师路过电动车专卖店，发现之前购买的那款电动车经过两个月后，售价由2620元降到了元，已知每月降价的百分率相同，求每月降价的百分率．
【答案】(1)80米/分
(2)
【分析】（1）设高老师的步行速度为，根据骑电动车上班时间比原来步行上班时间节省了20分钟列出方程，解之即可；
（2）设每月降价的百分率为y，根据售价由2620元降到了元，列出方程，解之即可．
【详解】（1）解：设高老师的步行速度为，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴高老师的步行速度为80米/分．
（2）设每月降价的百分率为y，
由题意可得：，
解得：或（舍），
∴每月降价的百分率为．
【点睛】本题考查了分式方程，一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
22．（2023·浙江杭州·校考三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根．
(1)写出与表示的数
(2)求出的值
(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)琮琮说的不对，理由见详解
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，再根据，利用点的平移即可得出结果；
（2）把代入一元二次方程，即可得出结果；
（3），求出一元二次方程的解，即可得出结论．
【详解】（1）
解：，
在中，，
以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，
，
；
（2）解：是一元二次方程的一个根，
，
解得：；
（3）解：琮琮说的不对，理由如下：
，则一元二次方程为，
解这个方程得：
而，即一定是此方程的根，
故琮琮说的不对．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关系，本题的关键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法．
23．（2023春·江苏南通·八年级启东市长江中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
(3)若此方程的两个实数根分别为、，求代数式的值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)5．
【分析】（1）根据判别式定理，运用配方法求解；
（2）根据求根公式确定解的形式，结合整数根的条件求解；
（3）根据根与系数关系，结合完全平方公式对代数式变形，运算求解．
【详解】（1）解：由题意，
∴方程有两个实数根．
（2）时，
化简，得或
方程有整数根，则
（3）由题知，，
∴
∴，
∴原式=
【点睛】本题考查一元二次方程判别式，根与系数关系，完全平方公式，根据公式灵活对代数式变形是解题的关键．
24．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为或．
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
25．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）图，在矩形 中，，，，， 分别从 ，，， 出发沿 ，，， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若 （），则 ，，．
(1)当 为何值时，， 长度相等？
(2)当 为何值时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形？
(3)当 为何值时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)当 为 时，， 长度相等
(2)当时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形
(3)当 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）由题意得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可
【详解】（1）解： ，，
时，即 ，
解得： 或 （舍去），
当 为 时，， 长度相等；
（2）解：当点 与点 重合或点 与点 重合时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边可能构成一个三角形，
当点 与点 重合时，
由题意得：，
解得：，（舍去），
，
此时点 与点 不重合，
符合题意；
当点 与点 重合时，
由题意得：，
解得：，
此时 ，不符合题意，
点 与点 不能重合．
综上所述，所求的值为：；
（3）解： 当 点到达 点时，，此时 点和 点还未相遇，
点 只能在点 的左侧，
当点 在点 的左侧时，如图 所示：
由题意得：，
解得：（舍去），，
当 时四边形 是平行四边形；
当点 在点 的右侧时，如图 所示：
由题意得：，
解得：（舍去），，
当 时，四边形 是平行四边形；
综上所述，当 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的熟练关系列出一元二次方程解决问题解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．
(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
【答案】(1)16，20
(2)见解析
(3)或或或
【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果；
（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
【详解】（1）如图，
取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于，
当时，，
，
当时，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，AG//CE
，四边形是平行四边形，
，
设，则，
，
，舍去，
，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：如图，
当时，图中，
，
，
，
，
当时，图中，
由得，
，
，
，
如图，
当时，作于作于，
设，
，，，
在中，
，
在中，
，
由得，
，
，，
或，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程．