人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练第一次月考押题检测卷(基础卷)(考试范围：第21-22章)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练第一次月考押题检测卷(基础卷)(考试范围：第21-22章)(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了25米．，75等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·九年级课时练习）下列等式是一元二次方程的是（ ）
A．（为常数）B．
C．D．
2．（2023秋·九年级课时练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ）

A．B．C．D．2
4．（2023春·湖北襄阳·九年级统考开学考试）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·九年级课时练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023秋·九年级课时练习）已知方程，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根B．只有一个根
C．有两个根D．有两个根
7．（2023秋·九年级课时练习）在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米．

A．米B．3米C．米D．4米
9．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
10．（2023·山东·九年级专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程的解为 ．
12．（2023秋·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为 ．
13．（2023秋·九年级课时练习）如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．

14．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 ．
15．（2023春·广西崇左·八年级校联考阶段练习）已知实数x满足，则代数式的值是 ．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是 ．
17．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为 秒时，为等腰三角形．

18．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）二次函数的对称轴为，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 .
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)
(2)
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
21．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数，的图象如图所示．

(1)求y的取值范围；
(2)若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
22．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为元，当这款电子产品按每个元出售时，一天可售出个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低元，其日销售量可增加个．设该电子产品每个降价元，网店一天可通过该电子产品获利润元．
(1)求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？
23．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有实根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
24．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．

(1)则 ， （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
25．（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
(1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式；
(2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？
26．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
第一次月考押题检测卷（基础卷）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·九年级课时练习）下列等式是一元二次方程的是（ ）
A．（为常数）B．
C．D．
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可．
【详解】解：A. （为常数），若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；
B. 可整理得，不是一元二次方程，故不符合题意；
C. ，是一元二次方程，符合题意；
D. ，不是整数方程，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将该方程化为一般式，即可解答．
【详解】解：，
，
∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
3．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小．
【详解】解：∵的图象开口向下
∴
∵的图象比的图象开口更大
∴
即
A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．
故选：B
【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．
4．（2023春·湖北襄阳·九年级统考开学考试）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为，即．
故选D．
【点睛】考查了二次函数函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．（2023秋·九年级课时练习）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键．
6．（2023秋·九年级课时练习）已知方程，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根B．只有一个根
C．有两个根D．有两个根
【答案】C
【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
解得∶，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤．
7．（2023秋·九年级课时练习）在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线的解析式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线的性质可得当时，随的增大而减小，又由当时，随的增大而减小即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解答此题的关键．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米．

A．米B．3米C．米D．4米
【答案】C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴支柱的高度为米．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
9．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
【答案】D
【分析】由直线不经过第一象限可得，分时和时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：直线不经过第一象限，
，
当时，
，
关于的方程的实数根的个数为2个，
当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
10．（2023·山东·九年级专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）方程的解为 ．
【答案】，
【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
12．（2023秋·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）若关于的一元二次方程有一个根为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】将代入方程得关于的方程，求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，
故将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
13．（2023秋·九年级课时练习）如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．

【答案】
【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
设的另一根为x，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
14．（2023秋·九年级课时练习）已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 ．
【答案】//
【分析】首先根据二次函数的性质得到开口向上，对称轴为，然后将和代入求解即可．
【详解】∵二次函数，
∵，
∴开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，
∴当时，y取得最小值，即，
∵当时，即，
当时，即，
∴当时，y取得最大值4，
∴，
∴的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15．（2023春·广西崇左·八年级校联考阶段练习）已知实数x满足，则代数式的值是 ．
【答案】5
【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．
【详解】解：已知方程分解因式得：，
可得或（无解），
．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数图象的位置关系即可求解．
【详解】解：由图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方
故当时，有
故答案为：
【点睛】本题考查函数图象与不等式的关系．根据函数图象的位置求解是“数形结合”思想的体现．
17．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，M，N两点分别从A，B两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D停止，当运动时间为 秒时，为等腰三角形．

【答案】或或
【分析】根据等腰三角形的定义，分四种情况：①当点M在上，点N在上时；②点M在上，点N在上时；③点M、N都在C、D上时；④当点M在上，N在上时，分别画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质、结合矩形的性质和解方程求解即可．
【详解】解：根据为等腰三角形，分以下四种情况：
①如图1，当点M在上，点N在上时，，，，
由得，解得；

②如图2，点M在上，点N在上时，，，
，，

在中，
由得，整理得：，
解得，(舍去)；
③如图③，点M、N都在C、D上时，

若点M在点N的右边时，则，，，
∴，此时，
由得，整理得，
∵，∴该方程无解；
若点M在点N的左边时，则，，，
∴，此时，
由得，
解得，不符合题意，舍去；
④如图④，当点M在上，N在上时，，，，
过N作于T，则四边形是矩形，

由得，则，
解得，
综上，满足条件的t值为或或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程和解一元二次方程等知识，理解等腰三角形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键．
18．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）二次函数的对称轴为，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由对称轴求b的值，则二次函数，关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，，在时，，当时，，当时，，用与有交点即可解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数，
∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，
∴，解得：，
∵，当时，，当时，，
∴与有交点，t满足条件为，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质与一元二次方程的解的条件是解答本题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
整理得，，
∴，
则或，
解得，，
（2）
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法并灵活选择是解题的关键．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
∴，
解得
【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
21．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数，的图象如图所示．

(1)求y的取值范围；
(2)若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先配方，求出二次函数的最小值，然后计算时的值即可确定的范围；
（2）根据的最小值和当、时，的值即可确定的取值范围．
【详解】（1）解：配方得：，
当时，，
当时，的取值范围为：；
（2）二次函数的顶点坐标为，
当时，，
即直线与该函数图象只有一个交点，
当时，，
当时，，
当时，直线与该函数图象只有一个交点，
的范围为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用二次函数的顶点式正确确定顶点坐标是解题的关键．
22．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为元，当这款电子产品按每个元出售时，一天可售出个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低元，其日销售量可增加个．设该电子产品每个降价元，网店一天可通过该电子产品获利润元．
(1)求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)这款电子产品销售单价为元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为元．
【分析】（1）利润是降价的函数，根据总利润每个电子产品的利润销售量，即可求得答案．
（2）电子产品每个降价应大于等于，每个电子产品的利润应大于等于，可得，求解可得的取值范围；二次函数的开口向下，对称轴为，据此即可求得答案．
【详解】（1）根据题意可知，利润是降价的函数，根据总利润每个电子产品的利润销售量，得
．
化简，得
．
（2）根据题意可知，电子产品每个降价应大于等于，每个电子产品的利润应大于等于，可得
．
解得
．
二次函数的开口向下，对称轴为，
所以，当时，二次函数可以取得最大值．
当时，这款电子产品的销售单价为：(元)．
将代入，得
．
所以，这款电子产品销售单价为元时，网店每天的销售利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
23．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有实根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)k的值为
【分析】（1）一元二次方程有实根时，由此可解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实根，
，
；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，符合题意．
故所求k的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，，，掌握上述知识点是解题的关键．
24．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．

(1)则 ， （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于？
(3)是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，或
(2)当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
(3)存在这样的P,当秒或秒时，是等腰三角形
【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，利用梯形面积公式，即，代入数据，列方程即可求得时间t；
（3）分、、三种情况讨论求出t值即可；
【详解】（1）解：根据题意，，
当点P未到点C时，；
当点P在点C右边时，；
故答案为：，或；
（2）解：若点P、Q分别沿延线段运动时，
，
即，
解得：（秒），
若点P在点C右边时，，
则，
解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：当时，作于H，则，

∴四边形是矩形，
∴，
，
，
（秒）；
当时，，，
，
，
解得（秒）；
当时，，
，
，
即，
，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的性质及动点问题，一元二次方程的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
25．（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
(1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式；
(2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？
【答案】(1)
(2)隧道需标注的限高应米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时，y有最大值5.5，然后运用待定系数法求出解析式即可；
（2）把代入解析式，求出函数值即可解题．
【详解】（1）根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值5.5，
∴设隧道满足的关系式为．
把，代入解析式，得，
解得．
∴隧道满足的关系式为．
（2）当时，，∴（米）．
答：隧道需标注的限高应3.25米．
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系，求得解析式是解题的关键．
26．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标．
【答案】(1)是直角三角形；
(2)四边形面积的最大值为36，点M的坐标为；
(3)或，，，
【分析】（1）令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形；
（2）采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为．设点M的坐标为
过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点M的坐标；
（3）由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点P的坐标为，根据两点间距离公式可得，，．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：①，②，③，分别代入即可得到方程，求解即可解答．
【详解】（1）令，则，
∴点A的坐标为，
令，则，
解得，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为．
∵，，
∴，，，
∴在中，，
在中，，
，
∴，
∴是直角三角形．
（2）设直线的函数解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的函数解析式为．
设点M的坐标为
过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为

∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，为，
此时，
即点M的坐标为．
（3）原抛物线的对称轴为，
∵在中，，，，
∴将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，
∴新抛物线的对称轴为
∵点P是新抛物线对称轴上的一点，
∴设点P的坐标为，
∵，
∴，
，
．
若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：
①，则，
解得，
此时点P的坐标为；
②，则，
解得，
此时点P的坐标为或；
③，则，
解得，
此时点P的坐标为或．
综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，，．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．
x/米
0
2
4
6
8
y/米
2.5
4.75
5.5
4.75
2.5
x/米
0
2
4
6
8
y/米
2.5
4.75
5.5
4.75
2.5