数学七年级下册12.2 证明课时训练

这是一份数学七年级下册12.2 证明课时训练，共44页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31455" 【题型1 命题的概念】 PAGEREF _Tc31455 \h 1
\l "_Tc24838" 【题型2 判断命题的真假】 PAGEREF _Tc24838 \h 2
\l "_Tc10474" 【题型3 互逆命题】 PAGEREF _Tc10474 \h 2
\l "_Tc17636" 【题型4 三角形内角和的运用】 PAGEREF _Tc17636 \h 3
\l "_Tc11767" 【题型5 三角形外角的运用】 PAGEREF _Tc11767 \h 4
\l "_Tc13293" 【题型6 直角三角形性质的运用】 PAGEREF _Tc13293 \h 5
\l "_Tc13805" 【题型7 平行线性质的运用】 PAGEREF _Tc13805 \h 7
\l "_Tc11766" 【题型8 平行线判定的运用】 PAGEREF _Tc11766 \h 8
\l "_Tc24242" 【题型9 平行公理的运用】 PAGEREF _Tc24242 \h 9
\l "_Tc2342" 【题型10 推理与论证】 PAGEREF _Tc2342 \h 10
【题型1 命题的概念】
【例1】（2022秋·湖南娄底·八年级统考期中）下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线．
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（2）（4）
【变式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线AB和CD垂直吗？B．过线段AB的中点C作AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行D．已知a2=1，求a的值
【变式1-2】（2022春·宁夏固原·七年级校考阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________．
【变式1-3】（2022春·七年级课时练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)画一个60°的角．
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）下列命题中：其中是假命题的个数共有（ ）
①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么a=3
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角；
⑤三角形的内角和等于180°；⑥两个锐角的和是钝角．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【变式2-2】（2022春·河北保定·七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【变式2-3】（2022春·山西·七年级统考阶段练习）判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例．
（1）钝角的补角是锐角；
（2）一个角的余角小于这个角；
（3）如果a=b，那么a=b．
【题型3 互逆命题】
【例3】（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）命题“实数a、b，若a=b，则a2=b2”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．
【变式3-1】（2022春·全国·八年级专题练习）命题“若−3a>−3b，则a【变式3-2】（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
【变式3-3】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知命题“如果a=b，那么a=b．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【题型4 三角形内角和的运用】
【例4】（2022秋·山西运城·八年级统考期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥ABB．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BCD．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【变式4-1】（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在△ABC中，作CD⊥AB（如图），
∵CD⊥AB（已知）
∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【变式4-2】（2022春·山东潍坊·七年级统考期末）如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180º．
【变式4-3】（2022秋·重庆合川·八年级统考期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．
(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度数；
(2)求证：2∠BFC=∠A+180°．
【题型5 三角形外角的运用】
【例5】（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．160°
【变式5-1】（2022秋·海南海口·七年级校联考期末）将一块等腰直角三角板和一块含30°角的直角三角板按图所示方式叠放，则∠DOC等于（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B，C除外），点E在AC边上，且∠ADE=∠AED．
(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数；
(2)求证：∠BAD=2∠CDE．
【变式5-3】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B、C除外）点E在AC边上，且∠4=∠AED．
(1)如图1，若∠B=∠C=45°．
①当∠1=60°时，求∠2的度数；
②试推导∠1与∠2的数量关系．
(2)深入探究：如图2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠1与∠2的数量关系，要求有简单的推理过程．
【题型6 直角三角形性质的运用】
【例6】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC与BD交于点P，则∠BPC的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式6-1】（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB=______度．
【变式6-2】（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．∠B>∠C．
(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．
(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？
【变式6-3】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．
(1)若∠PAQ=45°，则∠CAB= ；若∠CAB=130°，则∠PAQ= ；
(2)猜想∠CAB与∠PAQ的大小有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，猜想∠PAB与∠CAQ的大小又有何关系，并说明理由．
【题型7 平行线性质的运用】
【例7】（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB=50°，则∠AFG的度数为（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【变式7-1】（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°的三角板的一个顶点在含45°角的三角板的一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．20°C．15°D．14°
【变式7-2】（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于点E．
(1)证明：∠1=∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【变式7-3】（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
(1)求∠CBD的度数；
(2)在点P运动过程中，试判断∠APB与∠ADB之间的数量关系？并说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求出∠ABC的度数．
【题型8 平行线判定的运用】
【例8】（2022春·浙江杭州·七年级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是____________．（只填序号）
【变式8-2】（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ ）．
∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD （ ）．
∴ ＝∠ABD （ ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ （ ）．
∴∠l＝∠2（ ）．
【变式8-3】（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：BD∥EF；
②试说明∠DGE=∠BDG−∠FEG；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B−∠DNG=∠EDN，求∠B的度数．
【题型9 平行公理的运用】
【例9】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）已知AB∥CD， ∠EAF=13∠EAB， ∠ECF=13∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【变式9-1】（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°则∠4=_______．
【变式9-2】（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠EFC=40°，求∠BCG的度数．
【变式9-3】（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）问题提出
（1）如图1，若点A在B处的北偏东38°方向上，在C处的北偏西46°方向上，则∠BAC= ．
问题探究
（2）如图2，直线l1∥l2，且l3分别与l1，l2交于A，B两点，点P在直线AB上，若∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数．
问题应用
（3）某模具公司生产如图3所示的刀片，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），若小刀的刀片上、下平行，则认为该刀片合格，经过测量可得∠1+∠2=90°，你认为这样小刀的模具合格吗？请说明理由．
【题型10 推理与论证】
【例10】（2022秋·八年级课时练习）我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．
【变式10-1】（2022秋·八年级课时练习）问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．
【变式10-2】（2022秋·八年级课时练习）有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
【变式10-3】（2022秋·八年级课时练习）2007年9月，在中国举行了第五届女足世界杯，受到了世人瞩目．现假设某组有四个球队，分别为A，B，C，D四个足球队，在小组赛中她们进行循环比赛（即任意两队之间都要比赛一场），赛了若干场后，她们之间的比赛情况如下：
注1：在两队比赛中，以入球数多的一方为胜
注2：假设甲，乙两队比赛中，甲入球数为3，失球数为2（即乙队入球数为2），则我们把甲、乙两队的比赛成绩记为：甲队：乙队=3：2
根据上表，回答下列问题
（1）由于C队已赛了3场，即C队和其他的队都已经比赛过，则他们之间的比赛成绩为C：A= ；C：B= ；C：D= ；
（2）根据表格，D队到目前为止共比赛了 场，其中胜了 场；
（3）根据表格，请问D队到目前为止共入球几个，失球几个，并简单说明理由．比赛
场数
胜的
场数
负的
场数
平的
场数
入球数
失球数
A队
2
0
2
0
3
6
B队
2
1
0
1
4
3
C队
3
2
0
1
2
0
D队
专题12.1 证明【十大题型】
【苏科版】
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\l "_Tc31455" 【题型1 命题的概念】 PAGEREF _Tc31455 \h 1
\l "_Tc24838" 【题型2 判断命题的真假】 PAGEREF _Tc24838 \h 3
\l "_Tc10474" 【题型3 互逆命题】 PAGEREF _Tc10474 \h 5
\l "_Tc17636" 【题型4 三角形内角和的运用】 PAGEREF _Tc17636 \h 7
\l "_Tc11767" 【题型5 三角形外角的运用】 PAGEREF _Tc11767 \h 10
\l "_Tc13293" 【题型6 直角三角形性质的运用】 PAGEREF _Tc13293 \h 14
\l "_Tc13805" 【题型7 平行线性质的运用】 PAGEREF _Tc13805 \h 18
\l "_Tc11766" 【题型8 平行线判定的运用】 PAGEREF _Tc11766 \h 22
\l "_Tc24242" 【题型9 平行公理的运用】 PAGEREF _Tc24242 \h 29
\l "_Tc2342" 【题型10 推理与论证】 PAGEREF _Tc2342 \h 33
【题型1 命题的概念】
【例1】（2022秋·湖南娄底·八年级统考期中）下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线．
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（2）（4）
【答案】C
【分析】命题是表示带有判段意义的陈述语句,利用命题的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；（2）如果x2＞0，那么x＞0，它是命题；（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；（4）过直线外一点作已知直线的垂线，过直线外一点作已知直线的垂线，是描述性语言，没有做出判断，不是命题.故选C.
【点睛】本题主要考查了命题的定义,解决本题的关键是要熟练掌握命题的定义.
【变式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线AB和CD垂直吗？B．过线段AB的中点C作AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行D．已知a2=1，求a的值
【答案】C
【分析】对一件事情作出判断的语句叫做命题，根据定义判断即可．
【详解】解：A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意，
B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，
C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，
D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，
故选：C．
【点睛】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键．对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，假命题也是命题．
【变式1-2】（2022春·宁夏固原·七年级校考阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________．
【答案】④
【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可．
【详解】解：①钝角大于90°、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作出了判断，因此都属于命题；
③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题；
④作AD⊥BC属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题，
故选④．
【点睛】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句．
【变式1-3】（2022春·七年级课时练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)画一个60°的角．
【答案】(1)是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等
(2)是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等
(3)不是命题
【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（3）根据命题的定义判断即可．
【详解】（1）解：是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；
（2）是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；
（3）不是命题．
【点睛】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，结论为由条件得到的结论．
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）下列命题中：其中是假命题的个数共有（ ）
①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么a=3
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角；
⑤三角形的内角和等于180°；⑥两个锐角的和是钝角．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】利用实数的性质、三角形的外角的性质、对顶角的定义、三角形的内角和定理及锐角和钝角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①如果a+b=0，那么a、b互为相反数，故原命题错误，为假命题，符合题意
②如果a=3，那么a=±3， 故原命题错误，为假命题，符合题意；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，不符合题意；
④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑤三角形的内角和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；
⑥两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
假命题有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质．
【变式2-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义和性质、平行线的性质逐项分析即可获得答案．
【详解】A. 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B. 两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题、对顶角、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式2-2】（2022春·河北保定·七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题．
【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【变式2-3】（2022春·山西·七年级统考阶段练习）判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例．
（1）钝角的补角是锐角；
（2）一个角的余角小于这个角；
（3）如果a=b，那么a=b．
【答案】（1）真命题；（2）假命题，举例见解析；（3）假命题，举例见解析
【分析】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题；
（2）一个角的余角不一定小于这个角，该命题是假命题，举出反例即可；
（3）如果a=b，那么a与b相等或互为相反数，所以该命题是假命题，举出反例即可．
【详解】（1）钝角的补角是锐角，该命题是真命题．
（2）一个角的余角小于这个角，该命题是假命题．
反例：45°的余角是45°，与本身相等．
（3）如果a=b，那么a=b，该命题是假命题．
反例：−2=2，但是−2≠2．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断、补角、余角以及绝对值的概念，熟记相关概念是解题关键．
【题型3 互逆命题】
【例3】（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）命题“实数a、b，若a=b，则a2=b2”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．
【答案】 若a2＝b2，则a＝b 当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）
【分析】根据真假命题的定义进行判断，再举出反例即可．
【详解】解：命题“实数a、b，若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，
逆命题是假命题，
举反例：如，当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，
故答案为：若a2＝b2，则a＝b；当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉相关的性质定理．
【变式3-1】（2022春·全国·八年级专题练习）命题“若−3a>−3b，则a【答案】若a-3b
【分析】根据逆命题睥定义求解即可．
【详解】解：若−3a>−3b，则a-3b，
故答案为：若a-3b．
【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键．
【变式3-2】（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；成立
(2)如果两个角相等、那么这两个角是直角；不成立
【分析】（1）将题设，结论互换，写出逆命题，再进行判断即可；
（2）将题设，结论互换，写出逆命题，再进行判断即可；
【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质，可以得出逆命题成立；
（2）如果两个角是直角，那么这两个角相等的逆命题是如果两个角相等、那么这两个角是直角，根据相等的角不一定是直角，可以判断逆命题不成立．
【点睛】本题考查逆命题，判断命题的真假．熟练掌握逆命题的改写方法是解题的关键．
【变式3-3】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知命题“如果a=b，那么a=b．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
【答案】(1)条件为：a=b；结论为：a=b
(2)如果a=b，那么a=b
(3)假命题，反例不唯一
【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论；
（2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可；
（3）举出反例即可．
【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，
结论为：a=b；
（2）此命题的逆命题为：如果a=b，那么a=b；
（3）此命题的逆命题是假命题，
当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，
如a=2,b=−2时，2=−2，而2≠−2．
【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．
【题型4 三角形内角和的运用】
【例4】（2022秋·山西运城·八年级统考期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）
A．延长BC至D过C作CE∥ABB．过A作DE∥BC
C．过D作DE∥BCD．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC
【答案】C
【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】A、∵ CE∥AB，∴ ∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由 ∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得 ∠BCA+∠BAC+∠B=180°，故A不符合题意；
B、∵ DE∥BC，∴ ∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由 ∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，得 ∠B+∠BAC+∠C=180°，故B不符合题意；
C、∵ DE∥BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，无法证得三角形的内角和等于180°，故C符合题意；
D、如图，∵ DE∥BC，∴ ∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，∵ ∠A+∠AMP=∠AOP，∴ ∠A+∠C=∠AOP，∵∠BOP+∠AOP=180°，∴ ∠BOP+∠A+∠C=180° ∴ ∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
【变式4-1】（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法．
证明：在△ABC中，作CD⊥AB（如图），
∵CD⊥AB（已知）
∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．
请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．
【答案】不正确，理由见解析
【分析】根据不能用命题本身证明本身，可得判断小虎的做法不正确，再过点C作直线MN，使MN∥AB，证明∠B=∠NCB，∠A=∠MCA，再结合平角的含义可得结论．
【详解】解：小虎的做法不正确，
过点C作直线MN，使MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠B=∠NCB，∠A=∠MCA（两直线平行，内错角相等）
∵∠MCA+∠NCB+∠BCA=180°（平角定义）
∴∠B+∠A+∠ACB=180°（等量代换）
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理的证明，理解题意确定小虎的做法不正确是解本题的关键．
【变式4-2】（2022春·山东潍坊·七年级统考期末）如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C．
（1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数：
（2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180º．
【答案】（1）35°11′；（2）见解析.
【分析】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，利用平行线的性质和余角得到∠2；
（2）依据平行线的性质得到∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，再由∠BAC+∠4+∠3=180°即可说明.
【详解】解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=54°49′，
又∵AC⊥AB，
∴∠2=90°-∠3=35°11′；
（2）∵a∥b，
∴∠4=∠ABC，∠3=∠BCA，
而∠BAC+∠4+∠3=180°，
∴∠ABC+∠BCA+∠BAC=180º.
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理.
【变式4-3】（2022秋·重庆合川·八年级统考期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F．
(1)若∠A=54°，∠ABC=50°，求∠CFD的度数；
(2)求证：2∠BFC=∠A+180°．
【答案】(1)63∘
(2)见解析
【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到∠ACB =76∘，再结合角平分线的定义可求解∠BFC的度数，进而可求解∠CFD的度数；
（2）利用角平分线的定义可求解∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF，再结合角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB=180∘−∠A，进而可证明结论.
【详解】（1）解：∵∠A=54∘,∠ABC=50∘,∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠ACB=180∘−50∘−54∘=76∘，
∵△ABC 的角平分线 BD、CE 相交于点 F，
∴∠CBF=12∠ABC=25∘,∠BCF=12∠ACB=38∘，
∴∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF=180∘−25∘−38∘=117∘，
∴∠CFD=180∘−117∘=63∘
（2）证明: ∵△ABC 的角平分线 BD、CE 相交于点 F，∠BCF=12∠ACB，
∴∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF
∴∠BFC=180∘−∠CBF−∠BCF =180∘−12∠ABC+12∠ACB=180∘−12∠ABC+∠ACB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠A
∴∠BFC=180∘−12180∘−∠A=90∘+12∠A
即 2∠BFC=180∘+∠A
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°本题的关键是利用三角形内角和把∠BFC与∠A联系起来．
【题型5 三角形外角的运用】
【例5】（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．160°
【答案】C
【分析】首先根据BE⊥AC，∠A=50°可得∠ABE的度数，然后根据CD⊥AB可得∠CDB的度数，最后根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：∵BE⊥AC，∠A=50°，
∴∠ABE=90°−∠A=90°−50°=40°
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BPC=∠PDB+∠DBP=90°+40°=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°、三角形外角的性质是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋·海南海口·七年级校联考期末）将一块等腰直角三角板和一块含30°角的直角三角板按图所示方式叠放，则∠DOC等于（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【答案】C
【分析】根据∠C=30°，得到∠BAC=60°，进而得到∠DAO=30°，利用三角形的外角得到∠DOC=∠ADB+∠DAO即可得解．
【详解】解：由图可知：∠C=30°，∠D=45°，∠BAD=∠ABC=90°，
则：∠BAC=60°，
∴∠DAO=∠BAD−∠BAC=30°，
∴∠DOC=∠ADB+∠DAO=75°；
故选C．
【点睛】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B，C除外），点E在AC边上，且∠ADE=∠AED．
(1)若∠B=∠C=45°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数；
(2)求证：∠BAD=2∠CDE．
【答案】(1)30°
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ADC=∠BAD+∠B=105°，根据三角形内角和求出∠BAC=180°−45°−45°=90°，得出∠DAE=∠BAC−∠BAD=30°，求出∠ADE=∠AED=12×180°−30°=75°，即可求出结果；
（2）设∠BAD=x，根据三角形外角求出∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，根据角度之间的关系求出∠CDE=12x，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°，
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠ADE=∠AED=12×180°−30°=75°，
∴∠CDE=105°−75°=30°；
（2）证明：设∠BAD=x，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，
∵∠B=∠C，
∴∠BAC=180°−2∠C，
∴∠DAE=∠BAC−∠BAD=180°−2∠C−x，
∴∠ADE=∠AED=12180°−∠DAE=∠C+12x，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=∠B+x−∠C−12x=12x，
∴∠BAD=2∠CDE．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【变式5-3】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC边上（点B、C除外）点E在AC边上，且∠4=∠AED．
(1)如图1，若∠B=∠C=45°．
①当∠1=60°时，求∠2的度数；
②试推导∠1与∠2的数量关系．
(2)深入探究：如图2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠1与∠2的数量关系，要求有简单的推理过程．
【答案】(1)①30°；②∠1=2∠2，见解析
(2)∠1=2∠2，见解析
【分析】（1）①根据三角形的外角的性质求出∠ADC ，结合图形计算即可；
②设∠BAD=x ,根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；
（2）设∠BAD=x,根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可．
【详解】（1）①∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠1+∠B=105°，∠DAE=∠BAC−∠1=30°，
∴∠ADE=∠4=75°，
∴∠2=105°−75°=30°；
②∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠1+45°，
∵∠DAE=90°−∠1，
∴∠ADE=∠AED=12180°−90°+∠1=45°+12∠1，∠2=∠4−∠C=45°+12∠1−45°，即∠1=2∠2；
（2）设∠1=x，∴∠ADC=∠1+∠B=∠B+x,∠DAE=∠BAC−∠1=180°−2∠C−x，
∴∠4=∠AED=∠C+12x，∴∠2=∠B+x−∠C+12x=12x，
∴∠1=2∠2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
【题型6 直角三角形性质的运用】
【例6】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BCD=90°，∠A=30°，∠D=45°，AC与BD交于点P，则∠BPC的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】先由直角三角形的性质求出∠CBD=45°，从而得出∠ABD=45°，然后由三角形外角性质得出结果．
【详解】解：∵∠BCD=90°，∠D=45°，
∴∠CBD=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=45°，
∵∠A=30°，
∴∠BPC=∠A+∠ABD=75°．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2022秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB=______度．
【答案】10
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=50°，再由折叠的性质得到∠CA′D=50°，即可利用三角形外角的性质求出∠A′DB=∠CA′D−∠B=10°．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=40°，
∴∠A=50°，
由折叠的性质可知，∠CA′D=∠A=50°，
∴∠A′DB=∠CA′D−∠B=10°，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
【变式6-2】（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线．∠B>∠C．
(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．
(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？
【答案】(1)12
(2)∠DAE=12α−β
【分析】（1）首先计算出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD的度数，进而可得∠DAE的度数；
（2）由（1）知∠DAE=∠BAE−∠BAD，再把∠BAE=12∠BAC，∠BAD=90°−∠B代入整理可得答案．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°−∠B+∠C=180°−60°+36°=84°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12×84°=42°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=42°−30°=12°．
故答案为：12．
（2）∠DAE=12α−β，
理由如下：
∵在△ABC中，∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=12180°−α−β
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−α，
∵∠DAE=∠BAE−∠BAD，
∴∠DAE=12180°−α−β−90°−α=12(α−β)．
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的角平分线和高的定义，直角三角形两锐角互余．解题的关键是掌握三角形内角和为180°，理清角之间的关系．
【变式6-3】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．
(1)若∠PAQ=45°，则∠CAB= ；若∠CAB=130°，则∠PAQ= ；
(2)猜想∠CAB与∠PAQ的大小有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，猜想∠PAB与∠CAQ的大小又有何关系，并说明理由．
【答案】(1)135°，50°；
(2)∠CAB=180°−∠PAQ；见解析
(3)∠PAB=90°−∠CAQ．见解析
【分析】（1）∠PAQ=45°，根据角的和差定义求出∠BAP=45°，则∠CAB=∠BAP+∠CAP；若∠CAB=130°，则∠BAP=∠CAB−∠CAP，再进一步求出∠PAQ即可；
（2）∠CAB与∠PAQ的大小为∠CAB=180°−∠PAQ，利用等角的余角相等求出∠CAQ=∠BAP即可解答；
（3）∠PAB与∠CAQ的大小关系为∠PAB=90°−∠CAQ，利用∠PAC+∠CAQ=45°，∠BAC+∠CAQ=45°求出∠PAC=∠BAC即可解答．
【详解】（1）∵∠PAQ=45°，∠BAQ=90°，
∴∠BAP=45°，
∵∠CAP=90°，
∴∠CAB=∠BAP+∠CAP=45°+90°=135°；
∵∠CAB=130°，
∴∠BAP=∠CAB−∠CAP=130°−90°=40°，
∴∠PAQ=∠BAQ−∠BAP=90°−40°=50°．
故答案为：135°，50°；
（2）∠CAB=180°−∠PAQ，
利用如下：
∵∠CAQ+∠PAQ=90°，∠BAP+∠PAQ=90°，
∴∠CAQ=∠BAP，
∴∠BAP=90°−∠PAQ，
∴∠CAB=∠PAQ+2∠BAP=∠PAQ+2(90°−∠PAQ)=180°−∠PAQ，
即∠CAB=180°−∠PAQ；
（3）∠PAB=90°−∠CAQ，
理由如下：
∵∠PAC+∠CAQ=45°，∠BAC+∠CAQ=45°，
∴∠PAC=∠BAC，∠BAC=45°−∠CAQ，
∴∠PAB=∠CAQ+2∠BAC=∠CAQ+2(45°−∠CAQ)=90°−∠CAQ．
即∠PAB=90°−∠CAQ．
【点睛】本题考查三角形综合题，考查了直角三角形的性质，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握角的和差定义，属于中考常考题型．
【题型7 平行线性质的运用】
【例7】（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB=50°，则∠AFG的度数为（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【答案】B
【分析】由对顶角相等可得∠AHG=∠EHB=50°，再由平行线的性质可得∠EGD=50°，最后根据平行线的性质可得∠AFG的度数．
【详解】解：∵GE交AB于点H，
∴∠AHG=∠EHB=50°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD=∠AHG=50°，
∵∠FGE=60°，
∴∠FGD=∠FGE+∠EGD=60°+50°=110°，
∵AB∥CD，
∴∠AFG=∠FGD=110°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【变式7-1】（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°的三角板的一个顶点在含45°角的三角板的一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．20°C．15°D．14°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，得到∠2=∠3+∠1=45°，即可得解．
【详解】解：由题意，得：∠2=45°,∠3=30°，l1∥l2，
∴∠2=∠3+∠1=45°，
∴∠1=45°−∠3=15°；
故选C．
【点睛】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质．熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
【变式7-2】（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于点E．
(1)证明：∠1=∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠3=28°．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，由AB∥CD可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2=12∠ABD=12×56°=28°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=28°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
【变式7-3】（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
(1)求∠CBD的度数；
(2)在点P运动过程中，试判断∠APB与∠ADB之间的数量关系？并说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求出∠ABC的度数．
【答案】(1)60°
(2)∠APB=2∠ADB，理由见解析
(3)30°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABN=180°，∠ABN=120°，根据角平分线的定义得出∠CBP= 12 ∠ABP，∠DBP= 12 ∠NBP，进而即可求解；
（2）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又BD平分∠PBN，即可得出∠PBN=2∠DBN；
（3）由平行线的性质得出∠ACB=∠CBN，进而得出∠ABC=∠DBN，角平分线的定义即可得出结论
【详解】（1）解：如图，∵ AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABN=120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP= 12 ∠ABP，∠DBP= 12 ∠NBP，
∴∠CBD= 12 ∠ABN=60°，
（2）∠APB=2∠ADB，
理由如下：
∵ AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB．
（3）∵ AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，即∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∴∠ABC= 14 ∠ABN=30°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
【题型8 平行线判定的运用】
【例8】（2022春·浙江杭州·七年级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】∵ 中由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到AD∥CB，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2不能得到AB∥CD，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到AB∥CD，
∴符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是____________．（只填序号）
【答案】①③④⑤⑥
【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位角相等，两直线平行，即可判断③；根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得∠4=∠6，再根据同位角相等，两直线平行，即可判断⑤；过点B作BD∥b，则∠3=∠ABD，从而得出∠2=∠CBD，进而得出BD∥a，最后根据平行于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴a∥b，
故①能够判定直线a∥b，符合题意；
②∠2=∠3不能判定a∥b，故②不符合题意；
③∵∠3=∠5，
∴a∥b，
故③能够判定直线a∥b，符合题意；
④∵∠3+∠4=180∘，
∴a∥b，
故④能够判定直线a∥b，符合题意；
⑤∵∠5+∠6=180∘，∠5+∠4=180∘，
∴∠4=∠6，
∴∴a∥b，
故⑤能够判定直线a∥b，符合题意；
⑥过点B作BD∥b，
∵BD∥b，
∴∠3=∠ABD，
∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，
∴∠2=∠CBD，
∴BD∥a，
∴a∥b．
故⑥能够判定直线a∥b，符合题意；
综上：能够判定直线a∥b的有：①③④⑤⑥．
故答案为：①③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行．
【变式8-2】（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ ）．
∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD （ ）．
∴ ＝∠ABD （ ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ （ ）．
∴∠l＝∠2（ ）．
【答案】对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【详解】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的定义），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
【变式8-3】（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：BD∥EF；
②试说明∠DGE=∠BDG−∠FEG；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B−∠DNG=∠EDN，求∠B的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)∠DGE＝∠BDG＋∠FEG，理由见解析；
(3)60°
【分析】（1）①根据角平分线的定义即可得到∠BDG＝∠ADG，从而可得∠ADG＝∠DGB，则AB∥BC，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，从而证明BD∥EF；②过点G作GH∥DB交DA于点H，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点G作GK∥DB交AD于K，则KG∥EF，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α ∠PDE=180∘−4α，∠PDM=180°−α，由角平分线的定义可得∠PDN=∠MDN=12∠PDM=90∘−α2，然后分别求出∠EDN=72α−90∘，∠DNG=32α，∠B−∠DNG=∠EDN进行求解即可．
（1）
证明：①∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG，
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG，
∴BD∥EF；
②过点G作GH∥DB交DA于点H，
由①得BD∥EF，
∴GH∥DB∥EF，
∴∠BDG＝∠DGH，∠FEG＝∠EGH，
∴∠DGE＝∠DGH-∠EGH，
∴∠DGE=∠BDG-∠FEG；
（2）
解：过点G作GK∥DB交AD于K，
同理可证BD∥EF，
∴KG∥EF，
∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，
∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，
∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；
（3）
解：设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180∘−∠BDE=180∘−4α，∠PDM=180°−α，
∵DN平分∠PDM，
∴∠PDN=∠MDN=12∠PDM=90∘−α2，
∴∠EDN=∠PDN−∠PDE=90∘−α2−(180∘−4α)=72α−90∘，∠GDN=∠MDN−∠MOG=90∘−α2−α=90∘−32α，
∵DG⊥NG，
∴∠DGN=90∘，
∴∠DNG=90∘−∠GDN=90∘−(90∘−32α)=32α，
∵DE∥BF，
∴∠B=∠PDE=180∘−4α，
∵∠B−∠DNG=∠EDN，
∴180∘−4α−32α=72α−90∘，
∴α=30∘，
∴∠B=180∘−4α=60∘．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，余角的计算，解题的关键是能够熟知平行线的性质与判定条件．
【题型9 平行公理的运用】
【例9】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）已知AB∥CD， ∠EAF=13∠EAB， ∠ECF=13∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ∠EAB+∠ECD=∠AEC=66°，同样的方法可得∠F=∠FAB+∠FCD，再根据角的倍分可得 ∠FAB=23∠EAB,∠FCD=23∠ECD，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作EG∥AB，则EG∥AB∥CD，
∴ ∠AEG=∠EAB,∠CEG=∠ECD，
∴∠EAB+∠ECD=∠AEG+∠CEG=∠AEC=66°，
同理可得：∠F=∠FAB+∠FCD，
∵∠EAF=13∠EAB,∠ECF=13∠ECD，
∴∠FAB=23∠EAB,∠FCD=23∠ECD，
∴∠F=∠FAB+∠FCD=23∠EAB+23∠ECD=23(∠EAB+∠ECD)=23×66°=44°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【变式9-1】（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°则∠4=_______．
【答案】55°/55度
【分析】过点E作EF∥AB，过点M作MN∥CD，然后利用平行线的性质进行计算，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，过点M作MN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥MN∥CD，
∴∠GEF=∠1=40°，∠HMN=∠2=50°，
∵∠3=∠HMN+∠EMN=65°，
∴∠EMN=65°−50°=15°，
∵∠EMN=∠MEF=15°，
∴∠4=∠GEF+∠MEF=40°+15°=55°；
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【变式9-2】（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠EFC=40°，求∠BCG的度数．
【答案】∠BCG=15°
【分析】过C作CD//EF，根据AB//CD//EF，可得∠BCD，∠DCF的度数，又GC⊥CF ，可得∠GCF，从而得到∠BCG的度数．
【详解】解：如图，过C作CD//EF，
∵AB//CD//EF，
∴∠BCD=∠ABC=65°，∠DCF=∠EFC=40°，
∵GC⊥CF，
∴∠GCF=90°，
∴∠GCD=90°−∠DCF=90°−40°=50°，
∴∠BCG=∠BCD−∠GCD=65°−50°=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
【变式9-3】（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）问题提出
（1）如图1，若点A在B处的北偏东38°方向上，在C处的北偏西46°方向上，则∠BAC= ．
问题探究
（2）如图2，直线l1∥l2，且l3分别与l1，l2交于A，B两点，点P在直线AB上，若∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数．
问题应用
（3）某模具公司生产如图3所示的刀片，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），若小刀的刀片上、下平行，则认为该刀片合格，经过测量可得∠1+∠2=90°，你认为这样小刀的模具合格吗？请说明理由．
【答案】（1）84° （2）35° （3）合格；理由见解析
【分析】（1）如图1，过点A作AF∥BD，利用平行线的性质可得：∠BAF=∠ABD，∠CAF=∠ACE，即可求得答案；
（2）如图2，点P在线段AB上，过点P作PM∥l1，运用平行线的性质可得∠CPM=∠1=15°，∠DPM=∠2=20°，即可求得答案；
（3）模具合格，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得∠AEF=∠1，再根据等角的余角相等可得∠CEF=∠2，由平行线的判定即可判断．
【详解】（1）解：如图1，过点A作AF∥BD，
∵AF∥BD，
∴∠BAF=∠ABD，
∵BD∥CE，
∴AF∥CE，
∴∠CAF=∠ACE，
∵∠ABD=38°，∠ACE=46°，
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=∠ABD+∠ACE=38°+46°=84°，
故答案为：84°；
（2）解：如图2，过点P作PM∥l1，
∵PM∥l1，∠1=15°，∠2=20°，
∴∠CPM=∠1=15°，
∵l1∥l2，
∴PM∥l2，
∴∠DPM=∠2=20°，
∴∠3=∠CPM+∠DPM=15°+20°=35°；
（3）解：模具合格，理由如下：
如图3，∠AEC=90°，∠1+∠2=90°，
过点E作EF∥AB，
则∠AEF=∠1，
∵∠AEC=90°，
∴∠AEF+∠CEF=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠CEF=∠2，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
即小刀的刀片上、下平行，模具合格．
【点睛】本题考查了平行线的性质和方向角，等角的余角相等，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型10 推理与论证】
【例10】（2022秋·八年级课时练习）我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．
【答案】第一个人必胜
【详解】试题分析：第一个人可以两个两个的说，也可以一个一个的说，还可以有时说一个，有时说两个，但不论第二个人怎样变化，2，5，8，11，17，20这些数的主动权都在第一个人手中．
解：第一个人必胜；
因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，17，20，报数，故第一个人必胜．
点评：此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，11，8，5，2的顺序．
【变式10-1】（2022秋·八年级课时练习）问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．
【答案】8个
【详解】试题分析：本题可根据小“+”字形的中心来求，那么小“+”字形的中心应该在6×6的方格中，每3×3的方格中最多可放2个因此“+”字形的最多的个数为8个．
解：8个．
证明：设“+”字形的中心为中间的那个方格，
显然所有的中心在6×6的方格内，而每个3×3的方格内最多放2个中心，
6×6的棋盘内够有3×3的个数为6×6÷（3×3）=4，
因此最多的个数应该是4×2=8个．
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
【变式10-2】（2022秋·八年级课时练习）有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
【答案】见解析
【详解】试题分析：（1）因为共有12人，这辆小汽车连司机在内最多能乘5人．所以当汽车首先载4位乘客时，其余乘客在原地不动，12位乘客分3批，计算所需要的时间和3小时进行比较即可；
（2）在汽车每接送一批顾客的时候，剩下的顾客也要同时往前赶，计算所需的时间和3小时进行比较即可．
解：选择（1）当汽车首先载4位乘客时，其余乘客在原地不动，12位乘客分3批，汽车共需时间：40×5=200千米，200÷60=＞3，故肯定赶不上火车；
选择（2）当汽车首先载4位乘客时，其余乘客以每小时6千米的速度前进，当汽车接第二批4位乘客，共需时：（40+40）÷（60+6）=，此时，乘客已走6×==≈7.7千米，当司机接走第二批4位乘客时，余下4位乘客在原地不动，汽车共走4×（40﹣7.7）+40=169.2千米＜3小时×60千米/小时=180千米，说明能赶上火车．当司机接走第二批4位乘客时，余下4位乘客以每小时6千米的速度前进，由上可知，汽车走更少的路，说明更能赶上火车；
选择（3）：将选择（1）和选择（2）综合即可．
点评：此题的难点在于计算第二种选择，注意在汽车所走的时间内，剩下的顾客一直在走，从而得到每一次汽车接送顾客时所走的路程．
【变式10-3】（2022秋·八年级课时练习）2007年9月，在中国举行了第五届女足世界杯，受到了世人瞩目．现假设某组有四个球队，分别为A，B，C，D四个足球队，在小组赛中她们进行循环比赛（即任意两队之间都要比赛一场），赛了若干场后，她们之间的比赛情况如下：
注1：在两队比赛中，以入球数多的一方为胜
注2：假设甲，乙两队比赛中，甲入球数为3，失球数为2（即乙队入球数为2），则我们把甲、乙两队的比赛成绩记为：甲队：乙队=3：2
根据上表，回答下列问题
（1）由于C队已赛了3场，即C队和其他的队都已经比赛过，则他们之间的比赛成绩为C：A= ；C：B= ；C：D= ；
（2）根据表格，D队到目前为止共比赛了 场，其中胜了 场；
（3）根据表格，请问D队到目前为止共入球几个，失球几个，并简单说明理由．
【答案】（1）C：A=1：0，C：B=0：0，C：D=1：0
（2）D队到目前为止共比赛了3场，胜利1场
（3）见解析
【详解】试题分析：（1）根据比赛规则以及进球数目即可分别得出各队比赛情况；
（2）利用进球数目即可得出，所有比赛场数情况，得出D队到目前为止的比赛情况；
（3）利用（1）（2）中比赛分析得出D队到目前为止进球情况即可．
解：（1）根据B队胜两场，平一场，结果进球数为2，即可得出，B队所胜两场都为1：0，
平的那场是：0：0，根据B队也平了一场，可得出B和C一定是平局，根据A队失球较多，与B队进球数不符，即可得出一定是C队胜了A队．所以：C：A=1：0，C：B=0：0，C：D=1：0，
（2）因为A队两场全输，每支队伍只有比赛三场，
有一场比赛输给了C队，比分为：C：A=1：0，
因为B队一胜一负，根据A队失球较多，与B队进球数不符，
∴B队一定胜D队，B：D=4：3，另一场比赛为：C：D=1：0，
∴D：A=5：3，
∴D队到目前为止共比赛了3场，胜利1场；
（3）根据以上分析即可得出：B：D=4：3，D：A=5：3，C：D=1：0，
∴D队到目前为止共入球8个，失球8个．
点评：此题主要考查了推理与论证，根据已知正确得出B队比赛情况以及各队进球与失球数是解题关键．比赛
场数
胜的
场数
负的
场数
平的
场数
入球数
失球数
A队
2
0
2
0
3
6
B队
2
1
0
1
4
3
C队
3
2
0
1
2
0
D队