初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后作业题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后作业题，共39页。试卷主要包含了如图，已知△ABC，如图，，垂足为，垂足为，如图，等内容，欢迎下载使用。

解答题
1．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．

2．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．

3．如图，点，分别在和上，，点是上一点，的延长线交延长线于点．
(1) 若，，求的度数；
(2) 若点是的中点，与全等吗？请说明理由．
4．如图，已知△ABC
(1) 利用尺规作图，作△DEF，使△DEF≌△ABC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由．
5．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
6．如图，点E、F在BD上，且，，，试说明：点O是AC的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：因为
所以，即
因为，
所以 （理由：SSS）
所以（理由： ）
因为（理由： ）
所以（理由： ）
所以 （理由：全等三角形对应边相等）
所以点O是AC的中点．
7．如图，在多边形ABCDE中，，于点F，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
8．如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、BC和DC上，DG=DC，CE=CF，点P是线段CG上一点，连接FP，EP．求证：FP=EP．
9．如图，，垂足为，垂足为．求证：
(1) ； (2) ．
10．如图，．
(1)写出与全等的理由；
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
11．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2) 数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
12．在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．
(1)如图1，求证：AC＝BD；
(2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．
13．如图，D为等边三角形ABC外一点，∠BDC=120°，∠DBC=∠DAC．试说明：AD=BD+DC．
14．已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；
（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
15．如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．
（1）求证：≌；
（2）求证：；
（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．
16．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE．
（1）请你找出图中其他的全等三角形；
（2）试证明CF＝EF．
17．如图，AC、BD相交于点O，AB=CD，AC=BD.求证：(1) ∠ABD=∠DCA；(2) AO=DO.
18．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明≌；
（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。
19．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
20．探究：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上（D不与A，B重合），连结CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连结DE、AE．
求证：△BCD≌△ACE．
应用：如图②，在图①的基础上，点D在BA的延长线上，其他条件不变．若AD=AB，AB=4，求DE的长．
21．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知、均为锐角三角形，且，，.
求证：.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
22．如图1，直线于点B，，点D为中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
求证：；
如图2，连接交于点F，连接交于点H，，求证：；
如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，，求的最小值．
23．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动;同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.当点Q到达C点时，点P同时停止，设运动时间为t秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)
(1)CQ的长为______cm(用含的代数式表示);
(2)连接DQ并把DQ沿DC翻折，交BC延长线于点F，连接DP、DQ、PQ.
①若，求t的值.
②当时，求t的值，并判断与是否全等，请说明理由.
24．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________________．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上． 若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3） 拓展应用．
如图3，在四边形ABDC中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为
参考答案
1．，，，证明见解析
【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得．
【详解】解：图中的全等三角形有：，，；
∵D是的中点，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，，，
∴；
∴，
∵，，，
∴．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
2．图中全等的直角三角形有：，，，，，，证明见解析
【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可．
【详解】解：，，，，，．
理由如下：
在与中，，
，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
在与中，，
∴．
综上所述，图中全等的直角三角形有：，，，，，（任选三对即可）．
【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．(1) (2)不全等，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）只有一边一角不能证两个三角形全等．
【详解】（1）解：，，
，
又，，
；
（2）不全等，理由如下：
点是的中点，
，
，
只确定了这两个条件，无法证明全等．
【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得出是解答本题的关键．
4．(1)见解析； (2)见解析．
【分析】（1）根据SSS作出图形即可；
（2）根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】（1）如图，△DEF即为所求（作法不唯一）．
（2）由作图可知，AB＝DE，EF＝BC，DF＝AC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点拨】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．(1)①，SSS (2)见解析
【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点拨】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
6．；；全等三角形对应角相等；对顶角相等；；
【分析】根据已知条件判定两三角形全等，并利用全等三角形的对应角相等，再次得到两个三角形全等，从而得到对应线段相等，即可证明点O是AC的中点．
【详解】因为
所以，即
因为，
所以（SSS）
所以（全等三角形对应角相等）
因为（对顶角相等）
所以（）
所以（全等三角形对应边相等）
所以点O是AC的中点．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质能逐步推理是解题的关键．
7．（1）见解析（2）6
【分析】（1）根据ASA证明△ABF≌△DBC，故可求解；
（2）根据SAS证明△ABE≌△DBE，得到AE=DE=4，故可求解．
【详解】（1）∵，
∴∠BFA=∠C=90°
又，
∴△ABF≌△DBC，
∴；
（2）∵△ABF≌△DBC
∴∠ABF=∠DBC
∵===
∴∠ABE=∠DBE
又AB=DB，BE=BE
∴△ABE≌△DBE
∴AE=DE=4，
∴的面积为AE×BF=．
【点拨】此题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
8．证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥CB进而求得∠GCE=∠GCF，根据SAS证出△PCE≌△PCF，即可得出答案.
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DGC=∠GCE．
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠GCF，
∴∠GCE=∠GCF，
在△PCE和△PCF中，
∵，
∴△PCE≌△PCF(SAS)，
∴FP=EP．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，比较简单，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质.
9．(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）直接用即可证明；
（2）由，可得出，由，
可得出，由即可得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可；
（2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在与中

∴
（2），理由如下：
在与中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在与中
，
∴ ，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．
11．(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
【详解】（1）解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
（2）上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
12．(1)见解析
(2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD．
【分析】（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，即可证明AC=BD；
（2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△AOC，
∴AC=BD；
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，
由（1）得△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，
在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，
又∠DFB=∠AFC，BD=AC，
∴△DFB≌△AFC(AAS)，
在△DCB和△ABC中，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，
∴∠BAC=∠CDB，
∵AB=CD，
∴△DCB≌△ABC(ASA)，
同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
13．答案见详解
【分析】延长BD至E，使DE=DC，连接CE，由∠BDC=120°，推出等边△CDE，得到CD=DE=CE，∠DCE=∠DEC=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACD=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，即可求出结论．
【详解】解：AD=BD+DC，理由如下：
延长BD至E，使DE=DC，连接CE．
∵∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=DE=CE，∠DEC=60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即：∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵BE=BD+DE，
∴AD=BD+DC．
【点拨】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
14．（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD．
（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．
【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA，
即∠DCB＝∠ACE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，
∵∠CME＝∠DMO，
，
即∠DOM＝∠ECM＝90°，
∴AE⊥BD，
∴AE＝BD且AE⊥BD；
（2）∵AC＝DC，
∴AC＝CD＝EC＝CB，
在△ACB与△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，
∴∠DOM＝90°，
∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN，
∴DM＝AN，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∵DE＝AB，AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析．
【分析】（1）根据和是等边三角形，得到边角关系，即，，，根据等式性质得到，最后利用证明全等即可；
（2）根据≌，可知对应角，又因为，等量代换可知，进而得到；
（3），由是等边三角形，点为的中点，根据三线合一可知，再根据≌，进而得到，最后可求得的度数．
【详解】（1）和是等边三角形；
，，，
，
即，
在与中
，
≌；
（2）≌，
；
，
，
；
（3），理由如下：
是等边三角形，点为的中点，
，，，
，
，
≌，
，
，
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识点，准确的运用这些性质是解题的关键．
16．（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；（2）证明过程见解析；
【分析】（1）图中除了已知的Rt△ABC≌Rt△ADE，还有①△ACD与△AEB，②△DCF与△BEF，根据全等三角形的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，进一步即可根据SAS判断①中两个三角形应是全等关系，然后根据这两对全等三角形的性质即可判断②中两个三角形的关系，问题从而解决；
（2）根据全等三角形的性质和SAS可证△CAD≌△EAB，然后根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，CD=BE，再利用AAS即可证明△CDF≌△EBF，进一步即可推出结论．
【详解】解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；
①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
∵AC＝AE，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）．
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．
即∠CAD＝∠EAB．
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）
∴CF＝EF．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，灵活应用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．(1)见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据三边对应相等的两三角形全等，证得△ABC≌△DCB，然后根据全等三角形的对应角相等，证得结论；
（2）在（1）的基础上，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等角对等边，可证.
试题解析：（1）在△ABC与△DCB中，AB=CD，AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB，即∠ABD=∠DCA；
（2）由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC
∵AC=BD，∴AC-OC=BD-OB，即AO=DO.
18．（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°，不变．
【分析】（1）利用SAS可证全等；
（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；
（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；
（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．
【详解】（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：
AP=BQ
∴≌；
（2）∠CMQ=60°不变
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BQ，得t=2（4-t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；
（4）∠CMQ=120°不变，
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．
【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质进行角度转化，得出需要的结论．
19．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．
（2）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO＝EH，再证△AFD≌△HFE即可．
【详解】证明：（1）连接OD，如图1，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠EAB＝60°，
∵DA⊥BA，
∴∠DAB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAE＝∠DAB，
∵MN垂直平分OA，
∴OD＝DA，
∴△AOD是等边三角形，
∴DA＝OA，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（2）证明：如图2，作EH⊥AB于H，
∴∠EHA＝∠DAF＝90°，
∵AE＝BE，
∴2AH＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，
∴2OB＝AB，
∴AH＝BO，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH＝AO＝AD，
∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴F为DE的中点．
【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．探究：证明见解析；应用：．
【详解】试题分析：探究：由△ABC是等腰直角三角形，得到直角，线段、角相等，由线段垂直得到直角，证明三角形全等．
应用：由等腰直角三角形ABC，得到∠CAB=∠ABC=45°，由AD=AB，得到AD=1，BD=5，由勾股定理求得结果．
试题解析：探究：如图①，
∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵AC=BC，CE=CD，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
应用：如图②，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD=AB，
∴AD=1，BD=5，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=5，
∴∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠DAE=90°，
∴DE=．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．
21．（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【分析】（1）过B作BD⊥AC于D，过B1作B1D1⊥B1C1于D1，得出∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°，根据SAS证△BDC≌△B1D1C1，推出BD=B1D1，根据HL证Rt△BDA≌Rt△B1D1A1，推出∠A=∠A1，根据AAS推出△ABC≌△A1B1C1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.
【详解】（1）证明：过点作于，过作于，
则.
在和中，
，，，
∴，
∴.
在和中，
，，
∴，
∴.
在和中，
，，，
∴.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵，，.
∴≌（HL）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD⊥AC，，
与（1）同理，利用AAS先证明，得到，
再利用HL证明，得到，
再利用AAS证明；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
22．(1)见解析 (2)见解析 (3)5
【分析】（1）由可证，可得；
（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）证明：如图1，过点D作，
由题意可得：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）
（2）① 2.4 ② 2，不是全等三角形.
【分析】（1）根据题意动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.因此利用速度和时间的乘积等于路程，可得CQ的长.
（2）①根据题意分别计算和的面积，列方程求出t值即可.
②首先根据题意计算PF、DP和DF的长，再利用勾股定理列方程求解即可,确定了t值再证明与是否全等.
【详解】（1）根据题意可得点Q移动的速度为2cm


（2）①根据题意可得


即
②根据题意可得DP=
DF=
PF=


解的
所以当时，可得
CQ=2, BQ=PB=4,
因此可得 , , ,
而
所以可得与不是全等三角形.
【点拨】本题主要考查正方形的动点问题，关键在于根据题意列出方程，根据方程求解即可.
24．（1）BE+FD=EF；（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE，证明见解析；（3）
【分析】（1）先证明△ABE≌△ADG（SAS），再证明△AEF≌△AGF（SAS），可即可求解；
（2）首先在DF上截取BG=DF，并连接AG，然后证明△ABE≌△ADG（SAS），再证明△AEF≌△AGF（SAS），可即可求解；
（3）方法一：延长AB至K，使得BK=BC，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，证得△DBK≌△DBC（SAS），进而得到∠KDC=2∠BDC=90°，由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，可以证得△DKM≌△DNC（AAS），进一步得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解；
方法二：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，作DH⊥BC，可以证得D为△ABC的旁心，然后得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）BE+FD=EF
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG
又∵AB=AD，BE=GD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AG=AE
∵∠BAD=2∠EAF
∴
∴∠EAF=∠GAF
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴GE=FE
∴GD +DF= GF=EF
∵BE=GD
∴BE+FD=EF
故答案为BE+FD=EF．
（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE.
如图2所示，在DF上截取BG=DF，并连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF
又∵AB=AD，BG=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠BAG=∠DAF，AG=AD
∴
∴
∴∠EAG=∠EAF
又∵AG=AD，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE
∴GE=FE
∴EF +DF= GE+BG =BE
故正确结论是EF+FD=BE；
（3）
方法一：延长AB至K，使得BK=BC，
∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBM=180°，
∴∠CBD=∠MBD
又∵BK=BC，BD=BD
∴△DBK≌△DBC（SAS）
可知DK=DC，∠K=∠DCB，∠KDC=2∠BDC=90°
由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC
∵∠K+∠ACD=180°，∠DCN+∠ACD=180°，
∴∠K=∠DCN，即∠DCB=∠K=∠DCN
∴△DKM≌△DNC（AAS），
∴MK=CN, DM=DN
∴BC=BK=BM+CN，且四边形AMDN为正方形
设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，
∴，
∴
∵
∴
方法二：延长AB至K，使得BK=BC，
∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBM=180°，
∴∠CBD=∠MBD
∴△DBK≌△DBC（SAS）
同理得到∠DCB=∠DCN
可知DK=DC，∠K=∠DCB，∠KDC=2∠BDC=90°
由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，作DH⊥BC，由角平分线性质可得DM=DH=DN，即点D
∵D为△ABC的“旁心”
∴BH=BM，CH=CN
∴BC=BH+CH=BM+CN，且四边形AMDN为正方形
设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，
∴，
∴
∵
∴
故答案为．
【点拨】本题考查了三角形全等，全等中辅助线的引发，问题的关键是根据题意做出正确的辅助线，画出示意图，根据题意推理即可．