初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课时作业

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课时作业，共24页。

【知识点1】全等三角形的判定与性质
【知识点2】全等三角形的证明思路
【知识点3】角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【知识点4】全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
【考点一】全等三角形的概念与性质
【例1】如图，已知，点在边上，与相交于点．
若，，求线段的长；
若，，求的度数．
【答案】(1)5；(2)
【分析】（1）由，得到，，而，即可得到；
（2）由，得到，，由三角形外角的性质得到．
解：，
，，
，
；
（2）解：，
，，
，，
．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【举一反三】
【变式】如图，，，E，F分别为线段和射线上的一点．若点E从点B出发向点A运动，速度为；同时点F从点B出发向点D运动，速度为，运动到某时刻同时停止．在射线上取一点G，使与全等，求的长．

【答案】或
【分析】设运动时间为设，，，因为，使 与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出．
解：设运动时间为设，，，
因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当时，
有：，
解得：，
，
情况二：当时，
有，
解得：，
，
综上所述，或；
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【考点二】全等三角形的性质与判定
【例2】如图，．
写出与全等的理由； (2) 判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见分析；(2)，理由见分析
【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可；
（2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得．
解：（1）全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在与中

∴
（2），理由如下：
在与中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在与中
，
∴ ，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．
【举一反三】
【变式】在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
【答案】(1)仍是真命题，证明见分析；(2)仍能得到，作图和证明见分析
【分析】（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．
解：（1）∵
∴
∵
∴
在和中有
∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC，，
在和中有
∴
∴
∴
故仍能得到，如图所示
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
【例3】如图，在五边形中，，．
(1)请你添加一个条件，使得，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若，，求的度数．
【答案】(1)见分析；(2)．
【分析】（1）或．根据或，证明即可求解；
（2）根据得出，继而根据三角形内角和定理得出，根据即可求解．
解：（1）证明：添加：或．
∵在和中，
∴或．
（2）∵，
∴，
∴

，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【举一反三】
【变式】已知在四边形中，，．
如图1，连接，若，，则=______．
如图2，点P、Q分别在线段、上，且，求证：
若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，如图3所示，若满足，请直接写出与∠D的数量关系．
【答案】(1)7；(2)证明见分析；(3)
【分析】（1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答；
（2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论；
（3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：．
解：∵，，
∴，
∴都是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为7；
（2）证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴即；
（3）解：，理由如下：
如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【考点三】角平分线和线段垂直平分线
【例4】已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【答案】证明见分析.
【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．
解：证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
【点拨】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．
（1）求证：△ACE ≌ △BCD．
（2）求∠AOB的度数．
（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD
【答案】(1)证明见分析；（2）；（3）证明见分析.
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明；
（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形内角和等于180°，由△APC和△BPO中有内角互为对顶角进而得出∠BOA=∠ACP=60°.
（3）过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其对应高相等．再根据到角两边距离相等的点在角平分线即可得出结论.
解：（1）证明：与都是等边三角形，
，，，
∴，
即．
在和中，
，
（SAS）．
（2）．
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BPO =∠APC，
又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．
（3）如图，过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，
，
∴，AE=BD，
∴，
∴CG=CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴OC是∠AOD的角平分线，即OC平分∠AOD.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等．
【例5】（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BE平分∠ABC， 求证：点E在线段AB的垂直平分线上．
【答案】（1）详见分析；（2）详见分析.
【分析】（1）先画出图形，写出已知、求证，过Q作MN⊥AB于C，推出∠QCA=∠QCB=90°，根据HL推出Rt△QCA≌Rt△QCB，根据全等三角形的性质得出AC=BC，即可得出答案；（2）根据题意可得∠CBA=60°，由角平分线可得∠ABE=30°，即可证明∠ABE=∠A，可得BE=AE，根据（1）即可证明结论.
解：(1)已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C.则∠QCA=∠QCB=90°
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA=QB ,QC=QC
∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.)
∴AC=BC
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（2）证明：∵∠C=90°∠A=30°，
∴∠ABC=90°−30°=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∴点E在线段AB的垂直平分线上．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键.
【举一反三】
【变式】课本例题
已知：如图，AD是的角平分线，，，垂足分别为E、F．求证：AD垂直平分EF．
小明做法
证明：因为AD是的角平分线，，，所以
理由是：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．
因为，
所以AD垂直平分EF．
理由是：“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
老师观点
老师说：小明的做法是错误的
请你解决
指出小明做法的错误；
正确、完整的解决这道题．
【答案】见分析；见分析.
【分析】小明证明不能说明AD垂直平分EF，只有再证明时，A也在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，才能得结论；
先利用角平分线性质得出；再证≌，易证AD垂直平分EF．
解：由，只能得D在EF的垂直平分线上，不能说AD垂直平分EF．
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，又，
垂直平分到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．
【考点五】全等三角形中的作图题
【例6】如图，已知点在的边延长线上，是的中点．

用直尺和圆规完成以下作图，保留作图痕迹：①以为顶点，以为一边，使，②在射线上取一点，使，连接．
结合(1)中作图，求证：且．
【答案】(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据题意作，在射线上取一点，使，连接；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得证．
解：图形如图所示：

（2）证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，全等三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接．

(1)过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若是的中点，求证：．
【答案】(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）尺规作 ，延长即可；
（2）证明即可；
解：（1）如图，为所求

（2）∵
∴，
∵是的中点，
∴
在和中
∴
∴
【点拨】该题主要考查了尺规作相等角以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解答该题的关键是熟悉各种尺规作图的基本操作，熟练运用全等三角形的性质和判定解题．
【变式2】如图1，已知，，与交于点．

求的度数；
如图2，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形）
【答案】(1)；(2)，，，
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）根据，可得三组对应边相等，三组对应角相等，进而结合图形，即可写出图中所有全等三角形．
解：（1）∵
∴
在中，
∴
∴
（2）解：∵，
∴,
∴，即，
在中，
∴
∴，，
∴，即
在中，
∴
在中，
∴，
∴
在中，
∴，
综上所述，图中所有全等三角形为，，，．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

【答案】证明见分析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
解：证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，

在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
已知：是的角平分线，且，
(1)如图，求证：；

(2)如图，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且连接．

①求证：；
②若，且，求的长．
【答案】(1)证明见分析；(2)①证明见分析；②
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得；
（2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质推得；
②过作于，根据全等三角形的性质可得，，，，推得，即，即可求得．
解：（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
②过作于，如图：

由①知：，
∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等