初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形综合训练题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形综合训练题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组图形中不是全等形的是( )
A． B．
C． D．
2．如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．135°
4．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°
5．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分 交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．在中，，线段，，分别是的高，中线，角平分线，则点，，的位置关系为（ ）
A．点总在点，之间 B．点总在点，之间
C．点总在点，之间 D．三者的位置关系不确定
8．如图，中，，于点．过点作//且，点是上一点且，连接，，连接交于点．下列结论中正确的有（ ）个．
①；②；③平分；④；⑤
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①∴∠BED＝∠CFD＝90°，
②∴．
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
④∵在和中，，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③→②→①→④ B．③→①→④→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
10．如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（ ）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
二、填空题
11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ．
12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
13．如图，，，要使，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
14．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD=DE，AB=BE，∠A=70°，则∠CED= 度．
15．如图，为边的中点，，过点作直线交与点，交于点，若，，则 ．
16．如图，已知AC与BF相交于点E，ABCF，点E为BF中点，若CF＝8，AD＝5，则BD＝ ．
17．和中，，，，、分别为、边的高，且，则的度数为 ．
18．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．

三、解答题
19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
20．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
21．动手操作：
如图,已知AB∥CD,点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以点E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.
问题解决：
(1)若∠ACD=78°，求∠MAB的度数；
(2)若CN⊥AM,垂足为点N,求证：△CAN≌△CMN.
实验探究：
(3)直接写出当∠CAB的度数为多少时?△CAM分别为等边三角形和等腰直角三角形.
22．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
23．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．
(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
24．综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系．如图，已知点在的边的延长线上，过点作且，在上截取，再作交线段于点．

实践操作
（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；
探究发现
（2）勤奋小组在作出图形后，发现，，请说明理由；
探究应用
缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得，，求线段的长．
参考答案
1．B
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
解：观察发现，A. C. D选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等图形，
B选项中圆与椭圆不可能完全重合，
∴不是全等形．
故答案选B.
【点拨】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形.
2．A
【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．
解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
解：
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
4．D
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
5．B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．B
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，
，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．C
【分析】延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD>∠CAF>∠CAH，即可完成解答．
解：假设，如图所示，延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∵∠CAH+∠BAE=∠BAC
∴∠BAC>2∠CAH
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∵AB∴∠B>∠ACB
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC
∴
∴∠CAF<90°−∠ACB
∵AD⊥BC
∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF
即∠CAD>∠CAF>∠CAH
∴点总在点，之间，
故选：C．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．D
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质判断可求解．
解：∵AD⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠FAD=∠BAC=90°，
∴∠FAE=∠BAD，故①正确；
在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴BD=EF，∠ADB=∠AFE=90°，故②正确；
∵AF=AD，∠DAF=90°，
∴∠AFD=45°=∠EFD，
∴FD平分∠AFE，故③正确；
∵△ABD≌△AEF，
∴S△ABD=S△AEF，
∴S四边形ABDE=S四边形ADEF，故④正确；
如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，
∴∠FEN=90°，
∴∠EFN=∠ENF=45°，
∴EF=EN=BD，∠END=∠BDF=135°，
在△BGD和△EGN中，
，
∴△BDG≌△ENG（AAS），
∴BG=GE，故⑤正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．B
【分析】根据垂直定义得出∠BED=∠CFD=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．C
【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．
解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：
∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．
11．2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
12．55°
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
13．或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）
【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．
解：如图所所示，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，
（2）当∠C=∠D时，
（3）当AB=AE时，
故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．
14．110
【分析】根据SSS证△ABD≌△EBD，得∠BED=∠A=70°，进而得出∠CED.
解：∵AD=DE，AB=BE
又 BD= BD
∴△ABD≌△EBD（SSS）
∴∠BED=∠A=70°
∴∠CED=180°-∠BED=180°-70°=110°
故本题答案为110.
【点拨】本题通过考查全等三角形的判定和性质，进而得出结论.
15．10
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
解：，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
16．3
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．
解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠FCE，
∠B=∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE=FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF=8，
∵AD=5，
∴BD=3，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
17．50°或130°
【分析】分别画出两个三角形，①AM、DN都在三角形内部，根据直角三角形全等的判定定理（HL）可得出Rt△ACM≌Rt△DFN，从而可得出∠ABC＝∠DEF；②AM、DN有一个在三角形的外部，可证明Rt△ACM≌Rt△DFN，可求得∠DFN＝∠ACM＝60°，然后可求得∠DFE的度数．
解：如图1所示：
∵AM、DN分别为BC、EF边上的高，
∴△ACM和△DFN均为直角三角形．
∵在Rt△ACM和Rt△DFN中，
∴Rt△ACM≌Rt△DFN．
∴∠DFE＝∠ACB＝50°．
如图2所示：
∵AM、DN分别为BC、EF边上的高，
∴△ACM和△DFN均为直角三角形．
∵在Rt△ACM和Rt△DFN中，
∴Rt△ACM≌Rt△DFN．
∴∠DFN＝∠ACB＝50°．
∴∠DFE＝130°．
故答案为：50°或130°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，需要掌握三角形的判定定理包括：SAS，AAS，ASA，SSS，HL（直角三角形的判定），注意AAA，SSA不能判定全等，分类画出图形是解题的关键．
18．6
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
解：如图，在上取一点E，使，连接，

是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
又由垂线段最短得：当时，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．
19．见分析
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
解：证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
20．(1)证明见分析；(2)证明见分析；(3)EF＝，AE＝1．
【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；
（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用，
证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝，即可求出EF＝BF－BE＝－5＝．
解：（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∴BE⊥AC．
（3）解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4，
∴BC＝7，
∵BD＝4，
∴CD＝3，
∵，
∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5，
∴BF＝，
∴EF＝BF－BE＝－5＝．
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．
21．(1) ∠MAB =51°；(2)详见分析；(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠CAB，再根据角平分线的定义即可解决问题；
（2）根据AAS即可判断；
（3）根据等边三角形、等腰直角三角形的定义即可判定；
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=78°，
∴∠CAB=102°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=51°；
(2)证明：由作法知，AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又∵CN=CN，
∴△CAN≌△CMN.
(3)当∠CAB为120°时，△CAM为等边三角形；当∠CAB为90°时，△CAM为等腰直角三角形.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和尺规作图.
22．(1)①AE＝BD；②60°；(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见分析
【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
（2）上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中，，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
23．(1)48；(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见分析
【分析】（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
解：连接AC，如图，
在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
（2）∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）线段的长为9
【分析】（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于;
（2）根据平行和（1）中作的图证明，根据全等得出对应边相等、再根据对应角相等得出平行；
（3）由（2）的全等得出，再根据线段之间的关系算出．
解：（1）以为圆心，任意为半径画弧，交于 ,以为圆心，同等长为半径画弧,交于,以为圆心，为半径，与前弧交于,连接并延长至,以为圆心，长为半径，与交于，以为圆心，任意长为半径画弧交于点 ,以为圆心，同等长为半径，交于，以为圆心，长为半径交前弧于,连接并延长交于，如图为所求图形：

（2）理由如下：
在和中，
∴．
∴，．
∴．
（3）由（2）得，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴线段的长为9．
【点拨】本题考查尺规作图和全等三角形的性质和判定，熟练掌握尺规作图和全等三角形的边角代换是解题关键．