数学七年级上册3.1.1 一元一次方程练习题

这是一份数学七年级上册3.1.1 一元一次方程练习题，共35页。试卷主要包含了了解方程及一元一次方程的概念；，52x﹣．等内容，欢迎下载使用。

1.了解方程及一元一次方程的概念；
2.理解等式的性质，并清除解方程是利用等式的性质解的原则；
3.理解移项法则，会解形如 ax+b=cx+d 的方程，体会等式变形中的化归思想；
4.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是 数学的一大进步，从而体会方程思想.
知识点1 一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2 等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b，c0，那么；
知识点3 含参一元一次方程
1、次数含参：主要考察一元一次方程定义
2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题
3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数
【题型1 方程及一元一次方程的定义】
【典例1】在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1 ④x+2y＝3中方程有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】下列各式中，属于方程的是（ ）
A．6+（﹣2）＝4B．C．7x＞5D．2x﹣1＝5
【变式1-2】下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a＝0B．2x+3
C．2x+1＝5D．2（x+1）＝2x+2
【变式1-3】下列①；②3x≠11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x﹣6；
⑥5﹣4＝1，其中是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例2】下列各式中，是一元一次方程的有（ ）
（1）x+π＞3；（2）12﹣x；（3）2+3＝5x；（4）x﹣y＝3；（5）t＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A．x﹣3＝yB．x2﹣1＝0C．D．
【变式2-2】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝0B．C．4x﹣3＝9D．x2﹣2x＝1
【变式2-3】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣y＝2B．3x+5＝8C．2x﹣3D．x2+x＝2
【题型2 利用一元一次方程的定义求值】
【典例3】已知（k﹣1）x|k|+3＝0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（ ）
A．﹣1B．C．D．±1
【变式3-1】若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【变式3-2】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．2B．±1C．﹣2D．±2
【变式3-3】已知（a﹣1）x|a﹣2|﹣6＝3是关于x的一元一次方程，则a＝（ ）
A．3或1B．1C．3D．0
【题型3 方程的解】
【典例4】已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【变式4-1】下列方程的解是x＝2的方程是（ ）
A．4x+8＝0B．﹣x+＝0C．x＝2D．1﹣3x＝5
【变式4-2】若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（ ）
A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【变式4-3】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【题型4 列方程】
【典例5】《孙子算经》中有道“共车”问题，其大致意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，那么可列方程为（ ）
A．4（x﹣1）＝2x+8B．4（x+1）＝2x+8
C．4（x+1）＝2x﹣8D．4（x﹣1）＝2（x+1）+8
【变式5-1】小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有x本图书，根据题意，可以列出方程： ．
【变式5-2】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
【变式5-3】某单位购买甲、乙两种纯净水共用了500元，其中甲种水每桶20元，乙种水每桶15元；乙种水比甲种水多买了10桶．设甲种水买了x桶，则可列方程： ．
【题型5 利用等式的性质变形】
【典例6】根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣cB．若ab＝bc，则a＝c
C．若，则a＝bD．若，则3x+2x＝1
【变式6-1】下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝yB．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝yD．由x＝y，得到＝
【变式6-2】下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+5＝b﹣5B．若a＝b，则2a＝3b
C．若a+b＝2b，则a＝bD．若a＝b+2，则2a＝2b+2
【变式6-3】下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝7，则B．若，则
C．若3x+2＝2x，则3x+2x＝2D．若，则x﹣1＝3
【题型6等式的性质变形】
【典例7】有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】设“〇”“□”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式7-2】如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）
A．■■B．■■■C．■■■■D．■■■■■
【变式7-3】等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bcB．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+cD．如果a＝b，那么a2＝b2
【题型7 利用等式的性质解方程】
【典例8】利用等式的性质解下列方程．
（1）y+3＝2； （2）﹣y﹣2＝3；
（3）9x＝8x﹣6； （4）8m＝4m+1．
【变式8】利用等式性质解方程：
（1）5x﹣2＝﹣7x+8； （2）3x+1＝x+9；
（3）．
【题型8 方程的解中遮挡问题】
【典例9】方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式9-1】方程3+＝2x，处被墨水盖住了，已知该方程的解是x＝0，那么处的数字是 ．
【变式9-2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式9-3】小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 ．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【典例10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解，并写出检验过程．
（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；
（2）2（x﹣1）﹣（x+1）＝3（x+1）﹣（x﹣1）（x＝0）．
【变式10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；
（2）0.52x﹣（1﹣0.52）x＝80（x＝1000）．
【题型10 方程的解的规律问题】
【典例11】观察下列方程：
①的解是x＝2，
②的解是x＝3，
③的解是x＝4，
…
（1）根据观察得到的规律，直接写出其中解是x＝6的方程，并检验．
（2）直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数）
【变式11-1】一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程 ，解为 ．
【变式11-2】一列方程如下排列：
＝1的解是x＝2；
＝1的解是x＝3；
＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2020的方程： ．
1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若＝，则a＝bB．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若﹣x＝6，则x＝﹣2
3．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分式的基本性质D．不等式的性质2
4．（2023•顺德区校级三模）下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝bB．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则D．若x＝2，则x2＝2x
5．（2023•东河区模拟）如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（ ）
A．a＝bB．a＞bC．a≠bD．a＜b
6．（2023•岳麓区校级三模）下列变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+1＝b﹣1B．若a﹣b+1＝0，则a＝b+1
C．若a＝b，则D．若，则a＝b
7．（2023•英德市二模）下列方程中，解是x＝2的方程是（ ）
A．3x+6＝0B．2x+4＝0C．D．2x﹣4＝0
8．（2023•广灵县模拟）下列等式变形正确的是（ ）
A．若x＝y，则B．若ac＝bc，则a＝b
C．若x2＝4x，则x＝4D．若，则a＝b
9．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
10．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 ．
1．（2023春•泉州期中）下列各式是一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣1＝5B．x﹣y＝3C．x+3D．3x+y＝5
2．（2022秋•永川区期末）如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．﹣6
3．（2022秋•金华期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．350克B．300克C．250克D．200克
4．（2022秋•仪征市期末）若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．B．2C．1D．
5．（2022秋•丹东期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（ ）
A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2B．若3a＝2b，则9a＝4b
C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5D．若3a＝2b，则
6．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022秋•南昌期末）已知关于x的方程5x+3k＝21与5x+3＝0的解相同，则k的值是（ ）
A．﹣10B．7C．﹣9D．8
8．（2023•余江区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： ．
9．（2022秋•白云区期末）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x，把1与x对调，新的两位数比原两位数小18，则依此题意所列的方程为 ．
10．（2022春•朝阳区校级期中）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）求该方程的解．
11．（2022•庐阳区校级三模）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： ．
12．利用等式的性质解方程，并检验．
（1）4x﹣6＝﹣10； （2）﹣5x＝﹣15；
（3）10x＝5x﹣3； （4）7x﹣6＝8x．
第01讲 一元一次方程
1.了解方程及一元一次方程的概念；
2.理解等式的性质，并清除解方程是利用等式的性质解的原则；
3.理解移项法则，会解形如 ax+b=cx+d 的方程，体会等式变形中的化归思想；
4.通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是 数学的一大进步，从而体会方程思想.
知识点1 一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2 等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b，c0，那么；
知识点3 含参一元一次方程
1、次数含参：主要考察一元一次方程定义
2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题
3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数
【题型1 方程及一元一次方程的定义】
【典例1】在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1﹣x＝x+1 ④x+2y＝3中方程有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“＝”，不是方程；
②1+7＝15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
③1﹣x＝x+1，是方程；
④x+2y＝3，是方程．
故选：B．
【变式1-1】下列各式中，属于方程的是（ ）
A．6+（﹣2）＝4B．C．7x＞5D．2x﹣1＝5
【答案】D
【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】下列各式中，不是方程的是（ ）
A．a＝0B．2x+3
C．2x+1＝5D．2（x+1）＝2x+2
【答案】B
【解答】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程，
故选：B．
【变式1-3】下列①；②3x≠11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x﹣6；
⑥5﹣4＝1，其中是方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①、④是方程，共有2个，
故选：B．
【典例2】下列各式中，是一元一次方程的有（ ）
（1）x+π＞3；（2）12﹣x；（3）2+3＝5x；（4）x﹣y＝3；（5）t＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：（1）不是方程，
故不是一元一次方程；
（2）不是方程，
故不是一元一次方程；
（3）2+3＝5x是一元一次方程；
（4）x﹣y＝3是方程，但含有两个未知数，
故不是一元一次方程；
（5）t＝1是一元一次方程；
综上所述，是一元一次方程的有2个，
故选：B．
【变式2-1】下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A．x﹣3＝yB．x2﹣1＝0C．D．
【答案】C
【解答】解：A．方程x﹣3＝y是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．方程x﹣2＝是一元一次方程，选项C符合题意；
D．方程＝3是分式方程，选项D不符合题意．
故选：C．
【变式2-2】下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝0B．C．4x﹣3＝9D．x2﹣2x＝1
【答案】C
【解答】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C、该方程是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式2-3】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣y＝2B．3x+5＝8C．2x﹣3D．x2+x＝2
【答案】B
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项符合题意；
B．是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．是代数式，不是方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【题型2 利用一元一次方程的定义求值】
【典例3】已知（k﹣1）x|k|+3＝0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（ ）
A．﹣1B．C．D．±1
【答案】C
【解答】解：根据题意得：
|k|＝1，
即k＝1或k＝﹣1，
k﹣1≠0，
k≠1，
综上可知：k＝﹣1，
把k＝﹣1代入原方程得：
﹣2x+3＝0，
解得：x＝，
故选：C．
【变式3-1】若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：
m﹣1＝1，
解得：m＝2．
故选：D．
【变式3-2】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝（ ）
A．2B．±1C．﹣2D．±2
【答案】C
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，
∴，
∴m＝﹣2，
故选：C．
【变式3-3】已知（a﹣1）x|a﹣2|﹣6＝3是关于x的一元一次方程，则a＝（ ）
A．3或1B．1C．3D．0
【答案】C
【解答】解：由题意得：|a﹣2|＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝3，
故选：C．
【题型3 方程的解】
【典例4】已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【答案】A
【解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，
解得：a＝﹣6．
故选：A．
【变式4-1】下列方程的解是x＝2的方程是（ ）
A．4x+8＝0B．﹣x+＝0C．x＝2D．1﹣3x＝5
【答案】B
【解答】解：把x＝2代入各方程验证可得出x＝2是方程﹣x+＝0的解．
故选：B．
【变式4-2】若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（ ）
A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【答案】C
【解答】解：依题意，得
2×（﹣1）﹣（﹣1）•k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，
解得，k＝﹣6．
故选：C．
【变式4-3】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【答案】D
【解答】解：
把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0
可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，
解得：m＝8，
故选：D
【题型4 列方程】
【典例5】《孙子算经》中有道“共车”问题，其大致意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，那么可列方程为（ ）
A．4（x﹣1）＝2x+8B．4（x+1）＝2x+8
C．4（x+1）＝2x﹣8D．4（x﹣1）＝2（x+1）+8
【答案】A
【解答】解：设有x辆车，
依题意，得：4（x﹣1）＝2x+8．
故选：A．
【变式5-1】小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有x本图书，根据题意，可以列出方程： x+15＝100﹣x﹣15 ．
【答案】x+15＝100﹣x﹣15．
【解答】解：根据题意，可以列出方程为x+15＝100﹣x﹣15，
故答案为：x+15＝100﹣x﹣15．
【变式5-2】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 5x+45＝7x+3 ．
【答案】5x+45＝7x+3．
【解答】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故答案为：5x+45＝7x+3．
【变式5-3】某单位购买甲、乙两种纯净水共用了500元，其中甲种水每桶20元，乙种水每桶15元；乙种水比甲种水多买了10桶．设甲种水买了x桶，则可列方程： 20x+15（x+10）＝500 ．
【答案】20x+15（x+10）＝500．
【解答】解：设甲种水买了x桶，则乙种水买了（x+10）桶，
20x+15（x+10）＝500，
故答案为：20x+15（x+10）＝500．
【题型5 利用等式的性质变形】
【典例6】根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣cB．若ab＝bc，则a＝c
C．若，则a＝bD．若，则3x+2x＝1
【答案】C
【解答】解：A、若x＝y，则x+c＝y+c或x﹣c＝y﹣c，
故该选项错误，不符合题意；
B、若ab＝bc，当b＝0时，则a不一定等于c，
故该选项错误，不符合题意；
C、若，则a＝b，
故该选项正确，符合题意；
D、若，则3x+2x＝6，
故该选项错误，不符合题意，
故选：C．
【变式6-1】下列根据等式的性质变形不正确的是（ ）
A．由x+2＝y+2，得到x＝yB．由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b
C．由cx＝cy，得到x＝yD．由x＝y，得到＝
【答案】C
【解答】解：A、由x+2＝y+2，得到x＝y，正确；
B、由2a﹣3＝b﹣3，得到2a＝b，正确；
C、当c＝0时，由cx＝cy，x≠y，错误；
D、由x＝y，得到＝，正确；
故选：C．
【变式6-2】下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+5＝b﹣5B．若a＝b，则2a＝3b
C．若a+b＝2b，则a＝bD．若a＝b+2，则2a＝2b+2
【答案】C
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+5＝b+5，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，
∴2a＝2b，不一定等于3b，故本选项不符合题意；
C．∵a+b＝2b，
∴a+b﹣b＝2b﹣b，
∴a＝b，故本选项符合题意；
D．∵a＝b+2，
∴2a＝2b+4，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-3】下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝7，则B．若，则
C．若3x+2＝2x，则3x+2x＝2D．若，则x﹣1＝3
【答案】B
【解答】解：A若2x＝7，则，故不正确，不符合题意；
B．若，则，∴，正确，符合题意；
C．若3x+2＝2x，则3x﹣2x＝﹣2，故不正确，不符合题意；
D．若，则x﹣1＝6，故不正确，不符合题意；
故选：B
【题型6等式的性质变形】
【典例7】有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：设“■”的质量为x，“▲”的质量为y，“●”的质量为m，
由A、B、C可得x＝2y，故B不处于平衡状态，符合题意；
故选：B．
【变式7-1】设“〇”“□”“△”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“〇”的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解答】解：设“〇”表示的数为x，“□”表示的数是y，“△”表示的数为z，
根据题意得：2x＝y+z，x+y＝z，
2x＝y+x+y，
即x＝2y，
即“？”处应该放“〇”的个数为2，
故选：D．
【变式7-2】如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（ ）
A．■■B．■■■C．■■■■D．■■■■■
【答案】D
【解答】解：由题意知，在第二个天平两边都加入一个■，对比第一个天平即可得出●＝■■，
把第二个天平中的●换成■■，则▲＝■■■，
∴●▲＝■■■■■，
故选：D．
【变式7-3】等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bcB．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+cD．如果a＝b，那么a2＝b2
【答案】C
【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．
故选：C．
【题型7 利用等式的性质解方程】
【典例8】利用等式的性质解下列方程．
（1）y+3＝2； （2）﹣y﹣2＝3；
（3）9x＝8x﹣6； （4）8m＝4m+1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y+3﹣3＝2﹣3，
y＝﹣1；
（2）﹣y﹣2+2＝3+2，
﹣y＝5，
y＝﹣10；
（3）9x﹣8x＝8x﹣6﹣8x，
x＝﹣6；
（4）8m﹣4m＝4m+1﹣4m，
4m＝1，
m＝．
【变式8】利用等式性质解方程：
（1）5x﹣2＝﹣7x+8； （2）3x+1＝x+9；
（3）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）移项合并得：12x＝10，
解得：x＝；
（2）移项合并得：2x＝8，
解得：x＝4；
（3）去分母得：﹣a﹣6＝10，
解得：a＝﹣16
【题型8 方程的解中遮挡问题】
【典例9】方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故选：A．
【变式9-1】方程3+＝2x，处被墨水盖住了，已知该方程的解是x＝0，那么处的数字是 ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝0代入方程，得3+▲＝0，
解得：▲＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【变式9-2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
【变式9-3】小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 5 ．
【答案】a＝5．
【解答】解：设“■”表示的数为a，
将代入方程得：，
解得a＝5，
即“■”表示的数为a＝5，
故答案为：a＝5．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【典例10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解，并写出检验过程．
（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；
（2）2（x﹣1）﹣（x+1）＝3（x+1）﹣（x﹣1）（x＝0）．
【答案】见解答过程．
【解答】解：（1）当x＝1时，
左边＝2×1+5＝2+5＝7，
右边＝10×1﹣3＝10﹣3＝7，
左边＝右边，
∴x＝1是方程的解；
（2）当x＝0时，
左边＝2×（0﹣1）﹣×（0+1）＝﹣2﹣＝﹣2.5，
右边＝3×（0+1）﹣×（0﹣1）＝3+＝，
左边≠右边，
∴x＝0不是此方程的解．
【变式10】检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．
（1）2x+5＝10x﹣3（x＝1）；
（2）0.52x﹣（1﹣0.52）x＝80（x＝1000）．
【答案】（1）是．
（2）不是．
【解答】解：（1）当x＝1，2x+5＝7，10x﹣3＝7，那么x＝1是该方程的解．
（2）当x＝1000，0.52x﹣（1﹣0.52）x＝520﹣480＝40≠80，那么x＝1000不是方程的解．
【题型10 方程的解的规律问题】
【典例11】观察下列方程：
①的解是x＝2，
②的解是x＝3，
③的解是x＝4，
…
（1）根据观察得到的规律，直接写出其中解是x＝6的方程，并检验．
（2）直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数）
【答案】（1）＝1﹣；（2）第n个方程为，它的解为n+1．
【解答】解：（1）＝1﹣的解是x＝6．
当x＝6时，左边＝＝1﹣＝右边，
所以x＝6是方程＝1﹣的解；
（2）由一列方程如下排列：
①的解是x＝2，
②的解是x＝3，
③的解是x＝4，
…
得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，
∴第n个方程为，它的解为n+1．
【变式11-1】一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程是 ，解为 x＝110 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：第1个方程是x+＝3，解为x＝2×1＝2；
第2个方程是，解为x＝2×3＝6；
第3个方程是，解为x＝3×4＝12；
…
可以发现，第n个方程为+＝2n+1
解为n（n+1）．
∴第10个方程是 +＝21，
解为：x＝10×11＝110．
故答案为：+＝21；x＝110．
【变式11-2】一列方程如下排列：
＝1的解是x＝2；
＝1的解是x＝3；
＝1的解是x＝4；
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2020的方程： +＝1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一列方程如下排列：
＝1的解是x＝2；
＝1的解是x＝3；
＝1的解是x＝4；
∴一列方程如下排列：
+＝1的解是x＝2；
+＝1的解是x＝3；
+＝1的解是x＝4；
…
∴+＝1，
∴方程为+＝1，
故答案为：+＝1
1．（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【答案】A
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故选：A．
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若＝，则a＝bB．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
3．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2
C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【解答】解：将等式I＝，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等式的基本性质2．
故选：B．
4．（2023•顺德区校级三模）下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝bB．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则D．若x＝2，则x2＝2x
【答案】B
【解答】解：A．∵a﹣3＝b﹣3，∴a＝b，故本选项不符合题意；
B．∵am＝bm，m≠0，∴a＝b，故本选项符合题意；
C．∵a＝b，∴，故本选项不符合题意；
D．∵x＝2，∴x2＝2x，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（2023•东河区模拟）如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（ ）
A．a＝bB．a＞bC．a≠bD．a＜b
【答案】D
【解答】解：依题意，得
﹣（a﹣b）＝|a﹣b|，
则a﹣b＜0，
所以a＜b．
故选：D．
6．（2023•岳麓区校级三模）下列变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+1＝b﹣1B．若a﹣b+1＝0，则a＝b+1
C．若a＝b，则D．若，则a＝b
【答案】D
【解答】解：A．若a＝b，则a+1＝b+1，故错误，本选项不符合题意；
B．若a﹣b+1＝0，则a＝b﹣1，故错误，本选项不符合题意；
C．当x≠0时，若a＝b，则，故错误，本选项不符合题意；
D．若，则a＝b，故正确，本选项符合题意．
故选：D．
7．（2023•英德市二模）下列方程中，解是x＝2的方程是（ ）
A．3x+6＝0B．2x+4＝0C．D．2x﹣4＝0
【答案】D
【解答】解：A．把x＝2代入方程3x+6＝0得：左边＝3×2+6＝6+6＝12，右边＝0，左边≠右边，所以x＝2不是方程3x+6＝0的解，故本选项不符合题意；
B．把x＝2代入方程2x+4＝0得：左边＝2×2+4＝8，右边＝0，左边≠右边，所以x＝2不是方程2x+4＝0的解，故本选项不符合题意；
C．把x＝2代入方程x＝﹣4得：左边＝×2＝1，右边＝﹣4，左边≠右边，所以x＝2不是方程x＝﹣4的解，故本选项不符合题意；
D．把x＝2代入方程2x﹣4＝0得：左边＝2×2﹣4＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝2是方程2x﹣4＝0的解，故本选项不符合题意；
故选：D．
8．（2023•广灵县模拟）下列等式变形正确的是（ ）
A．若x＝y，则B．若ac＝bc，则a＝b
C．若x2＝4x，则x＝4D．若，则a＝b
【答案】D
【解答】解：当z＝0时，A选项不成立，
故A不符合题意；
当c＝0时，B选项不成立，
故B不符合题意；
x2＝4x，可知x＝0或x＝4，
故C选项不符合题意；
∵，
∴a＝b，
故D符合题意，
故选：D．
9．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 x+2y＝32 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
10．（2021•重庆）若关于x的方程+a＝4的解是x＝2，则a的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：把x＝2代入方程+a＝4得：+a＝4，
解得：a＝3，
故答案为：3．
1．（2023春•泉州期中）下列各式是一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣1＝5B．x﹣y＝3C．x+3D．3x+y＝5
【答案】A
【解答】解：A、是一元一次方程、故正确；
B、含两个未知数，故错误．
C、不是整式方程，故错误；
D、含两个未知数，故错误．
故选：A．
2．（2022秋•永川区期末）如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．0D．﹣6
【答案】A
【解答】解：把x＝2代入方程x+a＝﹣1得：2×+a＝﹣1，
解得：a＝﹣2，
故选：A．
3．（2022秋•金华期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．350克B．300克C．250克D．200克
【答案】C
【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克，
∴2x+y＝350，x+2y＝400，
相加得：3x+3y＝750，
∴x+y＝250．
∴需要在天平右盘中放入砝码250克，
故选：C．
4．（2022秋•仪征市期末）若关于x的方程mx﹣2＝x+1的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【解答】解：把x＝3代入mx﹣2＝x+1，得
3m﹣2＝3+1，
解得m＝2，
故选：B．
5．（2022秋•丹东期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（ ）
A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2B．若3a＝2b，则9a＝4b
C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5D．若3a＝2b，则
【答案】B
【解答】解：A．∵3a＝2b，
∴3a+2＝2b+2，故本选项不符合题意；
B．∵3a＝2b，
∴9a＝6b≠4b，故本选项符合题意；
C．∵3a＝2b，
∴3a﹣5＝2b﹣5，故本选项不符合题意；
C．∵3a＝2b，
∴＝（等式两边都除以6），故本选项不符合题意；
D．当a＝0时，由a2＝6a不能推出a＝6，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2022秋•隆化县期末）小马虎在做作业，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是x＝9．请问这个被污染的常数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：设被污染的数字为y．
将x＝9代入得：2×6﹣y＝10．
解得：y＝2．
故选：B．
7．（2022秋•南昌期末）已知关于x的方程5x+3k＝21与5x+3＝0的解相同，则k的值是（ ）
A．﹣10B．7C．﹣9D．8
【答案】D
【解答】解：5x+3＝0，
解得x＝﹣0.6，
把x＝﹣0.6代入5x+3k＝21，得
5×（﹣0.6）+3k＝21，
解得k＝8，
故选：D．
8．（2023•余江区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： 7x+7＝9（x﹣1） ．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
9．（2022秋•白云区期末）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x，把1与x对调，新的两位数比原两位数小18，则依此题意所列的方程为 10x+1＝10+x+18 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，可得原数为10x+1，新数为10+x，
根据题意，得10x+1＝10+x+18，
故答案为：10x+1＝10+x+18．
10．（2022春•朝阳区校级期中）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）求该方程的解．
【答案】（1）m＝1；
（2）x＝﹣1．
【解答】解：（1）由题意知：m+1≠0，|m|＝1，
则m≠﹣1，
所以m＝1或m＝﹣1
所以m＝1；
（2）由（1）知，m＝1代入（m+1）x|m|+2＝0，得（1+1）x|1|+2＝0，即2x+2＝0．
解得x＝﹣1．
11．（2022•庐阳区校级三模）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2 ．
【答案】（1）22，32，32，42；
（2）1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
【解答】解：（1）第1个点阵 1+3+1＝12+22，
第2个点阵 1+3+5+3+1＝22+32，
第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1＝32+42．
故答案为：22，32，32，42；
（2）第n个点阵相对应的等式为：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
故答案为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．
12．利用等式的性质解方程，并检验．
（1）4x﹣6＝﹣10； （2）﹣5x＝﹣15；
（3）10x＝5x﹣3； （4）7x﹣6＝8x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程两边加上6得：4x＝﹣10+6，即4x＝﹣4，
方程两边除以4得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入方程左边得：﹣4﹣6＝﹣10，右边为﹣10，左边＝右边，
则x＝﹣1是方程的解；
（2）方程两边除以﹣5得：x＝3，
将x＝3代入方程左边得：﹣15，右边为﹣15，左边＝右边，
则x＝3是方程的解；
（3）方程两边减去5x得：10x﹣5x＝﹣3，即5x＝﹣3，
两边除以5得：x＝﹣，
将x＝﹣代入方程左边得：10×（﹣）＝﹣6，右边为﹣6，左边＝右边，
则x＝﹣是方程的解；
（4）方程两边减去7x得：7x﹣6﹣7x＝8x﹣7x，即x＝﹣6，
将x＝﹣6代入方程左边得：﹣42﹣6＝﹣48，右边为﹣48，
左边＝右边，即x＝﹣6是方程的解．