2025届广东省惠州市惠东燕岭学校九上数学开学检测试题【含答案】

这是一份2025届广东省惠州市惠东燕岭学校九上数学开学检测试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在一组数据3，4，4，6，8中，下列说法错误的是（ ）
A．它的众数是4B．它的平均数是5
C．它的中位数是5D．它的众数等于中位数
2、（4分）一次函数的图象与轴、轴分别交于点,,点,分别是,的中点,是上一动点.则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
3、（4分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点.下面四个结论中正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
4、（4分）一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为②，④的两个小矩形为正方形，若要求出△ABC的面积，则需要知道下列哪个条件？ （ ）
A．⑥的面积B．③的面积C．⑤的面积D．⑤的周长
5、（4分）（2011•潼南县）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ ）
A、y=0.05xB、y=5x
C、y=100xD、y=0.05x+100
6、（4分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）已知点在第一象限，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列运算,正确的是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
10、（4分）已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为 ．
11、（4分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点D，则图中阴影△ADC′的面积等于______．
12、（4分） “对顶角相等”的逆命题是________命题（填真或假）
13、（4分）如图，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，将沿翻折，使点落在点处，点是线段的中点，射线交线段于点，若为直角三角形，则的值为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.
15、（8分）我市飞龙商贸城有甲、乙两家商店均出售白板和白板笔，并且标价相同，每块白板50元，每支白板笔4元．某校计划购买白板30块，白板笔若干支(白板笔数不少于90支)，恰好甲、乙两商店开展优惠活动，甲商店的优惠方式是白板打9折，白板笔打7折；乙商店的优惠方式是白板及白板笔都不打折，但每买2块白板送白板笔5支．
（1）以x(单位：支)表示该班购买的白板笔数量，y(单位：元)表示该班购买白板及白板笔所需金额．分别就这两家商店优惠方式写出y关于x的函数解析式；
（2）请根据白板笔数量变化为该校设计一种比较省钱的购买方案．
16、（8分）已知：如图，在中，。
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：是等腰三角形。
17、（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF、DE．
（1）请在图1中找出长度相等的两条线段？并说明理由．（AB＝AC除外）
（2）如图2，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD的度数．
（3）如图3，四边形CDEF是边长为2的菱形，求S四边形ABCD．
18、（10分）如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.
①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）要使式子有意义，则的取值范围是__________．
20、（4分）如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，D为x轴上一点，连接BD交y轴与点C，若C（0，-2）恰好为BD中点，且△ABD的面积为6，则B点坐标为__________.
21、（4分）如图，将正五边形 ABCDE 的 C 点固定，并按顺时针方向旋转一定的角度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的 顶点 D′落在直线 BC 上，则旋转的角度是______________度.
22、（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
23、（4分）如图，菱形ABCD的周长为16，若，E是AB的中点，则点E的坐标为_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷.如图1是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明（包含设计费与印刷费），乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图2所示.
（1）分别写出甲乙两公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式.
（2）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由.
25、（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的、两点，与、轴分别交于、两点，过点作轴于点，连接，且的面积为3，作点关于轴对称点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）连接、，求的面积．
26、（12分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
一组数据中出现次数最多的数为众数；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
根据平均数的定义求解．
【详解】
在这一组数据中4是出现次数最多的，故众数是4；
将这组数据已经从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是4，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4；
由平均数的公式的，=（3+4+4+6+8）÷5=5，平均数为5，
故选C．
本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
2、D
【解析】
作C点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求点P，用勾股定理可求得长度，可得PC+PD的最小值为，再根据CD=2，可得PC+PD+CD=
【详解】
解：如图，作C点关于y轴的对称点，连接交y轴与点P，此时PC+PD的值最小且
∵,分别是,的中点，,
∴C（1，0），D（1,2）
在Rt△中，由勾股定理可得
又∵D（1,2）
∴CD=2
∴此时周长为PC+PD+CD=
故选D
本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题.
3、A
【解析】
利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案.
【详解】
∵，经过第一、三象限，
∴a>0，故A正确；
∵与y轴交在负半轴，
∴b>0，故B错误；
∵正比例函数，经过原点，
∴当x2时, ，故D错误。
故选：A.
此题考查一次函数和正比例函数的图象与性质，解题关键在于结合函数图象进行判断.
4、A
【解析】
根据列式化简计算，即可得△ABC的面积等于⑥的面积.
【详解】
设矩形的各边长分别为a, b，x如图，则
∵=(a+b+x)(a+b)-a²-ab-b(b+x)= (a²+2ab+b²+ax+bx)-a²-ab-b²-bx
=ax
∴只要知道⑥的面积即可.故选A.
本题考查了推论与论证的知识，根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，这也是解答本题的关键．
5、：解：y=100×0.05x，
即y=5x．
故选B．
【解析】：每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．
6、C
【解析】
由直角三角形的性质可求得DF=BD= AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．
【详解】
解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF=DB=AB=6，
∴∠DBF=∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠CBF，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=10，
∴EF=DE−DF=10−6=4，
故选：C.
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.
7、B
【解析】
首先根据点所在象限确定横、纵坐标的符号，进一步可得关于m的不等式组，再解所得的不等式组即可求得正确的结果.
【详解】
解：因为第一象限内的点的坐标特点是（+，+），所以5－m＞0，m+3＞0，解得.
故选B.
本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特点和解一元一次不等式组，解决问题的关键是熟记各象限内点的坐标符号特点并列出不等式组求解，具体来说：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）.
8、D
【解析】
分别根据同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则求出即可．
【详解】
A选项：m•m2•m3=m6，故此选项错误；
B选项：m2+m2=2m2，故此选项错误；
C选项：（m4）2=m8，故此选项错误；
D选项：（-2m）2÷2m3=，此选项正确．
故选：D．
考查了同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则等知识，熟练应用运算法则是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥-1
【解析】
根据二次根式的性质即可求解.
【详解】
依题意得x+1≥0，
解得x≥-1
故填：x≥-1
此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知根号内被开方数为非负数.
10、y=－x+1
【解析】
由函数的图象与直线y=-x+1平行，可得斜率，将点（8，2）代入即可人求解．
解：设所求一次函数的解析式为 y=kx+b，
∵函数的图象与直线y=-x+1平行，
∴k=-1，
又过点（8，2），有2=-1×8+b，
解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
故答案为y=-x+1．
11、
【解析】
由旋转的性质可得AB=AB'=，∠BAB'=15°，可得∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，由直角三角形的性质可得B'D=1，由三角形面积公式可求解．
【详解】
解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∴AB=AB'=，∠BAB'=15°，
∴∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，且∠B'=90°，
∵tan∠B'AD=,
∴AB'=B'D，
∴B'D=1，
∴阴影△ADC'的面积=，
故答案为：.
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，及锐角三角函数的知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
12、假
【解析】
先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【详解】
命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题.
故答案为:假.
考查命题与定理，写出原命题的逆命题是解题的关键.
13、-1
【解析】
根据一次函数解析式可得B点坐标为（0，），所以得出OB=，再由为直角三角形得出∠ADE为直角，结合是直角三角形斜边的中点进一步得出∠OBD=∠B0D=45°，∠DOA=∠DAO=45°，所以△AOB为等腰直角三角形，所以OA长度为，进而得出A点坐标，将其代入解析式即可得出k的值.
【详解】
由题意得：B点坐标为（0，），∴OB=，
∵在直角三角形AOB中，点是线段的中点，
∴OD=BD=AD，
又∵为直角三角形，
∴∠OBD=∠B0D=45°，∠DOA=∠DAO=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB=，
∴A点坐标为（，0），
∴，
解得k=-1.
故答案为：-1.
本题主要考查了一次函数与三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置.
【详解】
过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.

本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理.
15、（1）到甲商店购买所需金额为: y=2.8x+1350；到乙商店购买所需金额为：y=4x+1200；（2）购买白板笔在多于1支时到甲商店，少于1支时到乙商店，恰好购买1支时到甲商店和到乙商店一样
【解析】
（1）根据总价=单价×数量的关系，分别列出到甲、乙两商店购买所需金额y与白板笔数量x的关系式，化简即得y与x的一次函数关系式；
（2）根据两个商店购买的钱数，分别由甲大于乙，甲等于乙，甲小于乙列出一次不等式求解即可．
【详解】
（1）到甲商店购买所需金额为：y=50×0.9×30+4×0.7x=2.8x+1350，即y=2.8x+1350，
到乙商店购买30块白板可获赠=75支白板笔，实际应付款y=50×30+4(x-75)=4x+1200，即y=4x+1200.
（2）由2.8x+13501，
由2.8x+1350=4x+1200解得x=1，
由2.8x+1350>4x+1200解得x200时，甲公司的收费为y=1000+5×200+3（x-200）=3x+1400，
∴甲公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=,
根据图像设乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=kx，
根据图像可知函数图像经过点（200，1600），
∴1600=200k，
解得k=8，
∴乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=8x.
（2）当0≤x≤200时，5x+1000=8x，解得x=，（舍去）
当x>200时，3x+1400=8x，解得x=280，
∴当印刷数量为280张时，甲、乙公司的收费相同，
由（1）得到的关系式可画函数图象如下：
根据图像可知，当0≤x≤280时，选择乙公司比较合算，当时，选择两个公司一样合算，当时，选择甲公司比较合算
本题考查一次函数图象和应用，根据求出的关系式画出函数图象，并从图象上获取信息是解题关键.
25、（1）一次函数，反比例，（2）．
【解析】
（1）点C在反比例函数图象上，且△OCD的面积为3，并且图象在二、四象限，可求出的值，确定反比例函数的关系式，再确定点C的坐标，用A、C的坐标用待定系数法可确定一次函数的关系式， （2）利用一次函数的关系式可求出于坐标轴的交点坐标，与反比例函数关系式联立可求出F点坐标，利用对称可求出点E坐标，最后由三角形的面积公式求出结果．
【详解】
解：（1）∵点C在反比例函数图象上，且△OCD的面积为3，
∴ ， ∴，
∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴，
∴反比例函数的解析式为，
把C代入为： 得，， ∴C，
把A（0，4），C（3，-2）代入一次函数得：
，解得：， ∴一次函数的解析式为．
答：一次函数和反比例函数的解析式分别为：，．
（2）一次函数与轴的交点B（2，0）．
∵点B关于y轴对称点E， ∴点E（-2，0）， ∴BE=2+2=4，
一次函数和反比例函数的解析式联立得：，解得：
， ∴点，
∴．
答：△EFC的面积为1．
考查反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质以及方程组、三角形的面积等知识，理解反比例函数、一次函数图象上点的坐标的特征，是解决问题的关键．
26、（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分