人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练专题19正多边形与圆重难点题型专训(八大题型)(原卷版+解析)

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第二十四章 圆专题19 正多边形与圆重难点题型专训（八大题型） 【题型目录】题型一 正多边形与圆之求角的度数题型二 正多边形与圆之求线段长题型三 正多边形与圆之求半径题型四 正多边形与圆之求面积题型五 正多边形与圆之求周长题型六 正多边形与圆的实际应用题型七 正多边形与圆的规律问题题型八 正多边形与圆中的证明【知识梳理】知识点、正多边形与圆（一）正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。（二）正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于（2）正边形的每个中心角都等于（3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形的周长面积 【经典例题一 正多边形与圆之求角的度数】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ）  A． B． C． D．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（　　）  A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正五边形内接于，点在弧上，则的度数为 ．  4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，在正五边形中，是的中点，点在线段上运动，连接，当的周长最小时，的度数为 ．  5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G．(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)求的度数．6．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，正五边形的两条对角线相交于点F．(1)求的度数；(2)求证：四边形为菱形．【经典例题二 正多边形与圆之求线段长】1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距（    ）  A． B． C． D．32．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，在边长为的正六边形中，连接BE，，相交于点O，若点分别为，的中点，则的长为（    ）  A．6 B． C．8 D．93．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．  4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，正六边形的半径为，点在边上运动，连接，则的长度可以是 （只写出一个满足条件的值即可）．  5．（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．  (1)________°(2)若，的半径为10，小圆的半径都为1：①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；②当圆心H到l的距离等于时，求的长；③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值．6．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，的半径为4，将该圆等分成8份，连接，并延长交于点．(1)连接，直接写出和的位置关系___________；(2)求证：；(3)求的长；【经典例题三 正多边形与圆之求半径】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（    ）  A． B． C． D．2．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，的内接正方形的边长为4，则的半径为（    ）A． B． C． D．23．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的内切圆半径等于 ．4．（2023·浙江温州·校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图．两个正六边形的边与，与均在同一直线上．木板（木板厚度忽略不计），，则的长为 ．盆栽由矩形和圆弧组成，且，，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 ．5．（2022春·九年级课时练习）已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？6．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．  【经典例题四 正多边形与圆之求面积】1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知正六边形的边长为，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（   ）  A．0 B．1 C．3 D．22．（2023·重庆·九年级统考学业考试）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，若已知该外接圆的半径是4，则正六边形的面积是（   ）A． B．24 C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知的半径为2，则的内接正六边形的面积为 ．4．（2023·江苏·九年级假期作业）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为，若用的内接正六边形的面积来近似估计的面积，则的面积约为 ．5．（2023春·山东泰安·八年级肥城市实验中学校考期中）我们学习了平面图形的镶嵌，即用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有许多！如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，如果整个镶嵌图三角形ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是多少？  6．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．  (1)如图1，若，求的长．(2)如图2，若E为弦的中点，求证：．(3)连结、、，若是的内接正n边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．【经典例题五 正多边形与圆之求周长】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，若一个正六边形的对角线的长为10，则正六边形的周长（　　）  A．5 B．6 C．30 D．362．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的半径为6，则的周长是(     )A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点，，，，，分别是正六边形各边的中点，则六边形与六边形的周长比为 ．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 ．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．  (1)求证：是的切线；(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．6．（2021秋·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，有一个亭子．它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积．【经典例题六 正多边形与圆的实际应用】1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳1个顶点，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是（　　）  A．8 B． C．4 D．02．（2023春·山西·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点的坐标为（　　）  A． B． C． D．3．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图②是一部分巢房的截面图，建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则点的坐标为 ．  4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图1，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图2，按照图2所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图3所示的正八边形，将前下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，为的中点，连接．  （1）图1中的正方形纸片边长为 ；（2）将正方形绕点顺时针旋转 度，与重合，此时长为 ．5．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　．（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．6．（2021春·黑龙江鸡西·八年级统考期末）探究题：（1）　　都相等，　　都相等的多边形叫做正多边形；（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上，请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；（3）正六边形有　　条对角线，它的外角和为　　度．【经典例题七 正多边形与圆的规律问题】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第次相遇地点的坐标为（　　）  A． B． C． D．2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，．将正六边形绕原点顺时针旋转，每次旋转，经过第次旋转后，顶点的坐标为（    ）  A． B． C． D．3．（2023·河北沧州·模拟预测）某数学小组在一个半径为2的圆形场地上做探究实践活动．  （1）如图1，小组将圆形场地分为12等份．机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．①机器人从点走到点的路程为 ；②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线1：；路线2：，路线1的长记为，路线2的长记为，则 ；（填“>”“”“ 【分析】(1) ①根据中心角为，结合从点走到点其路径对的圆心角为，根据半径为2计算即可．②根据中心角为，得到继而判定都是等边三角形，，得到；根据，得到为圆的直径，根据中心角为，得到，，得到即，比较大小即可．（2）设多边形的中心角为，当转到时，,，根据，求得，再计算即可．【详解】(1) ①∵中心角为，∴从点走到点其路径对的圆心角为，∵，∴，故答案为：．②根据中心角为，∴，∴都是等边三角形，∴，∴；∵∴，∴为圆的直径，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．（2）设多边形的中心角为，当转到时，,，∵，∴，解得，∵半径相等，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了中心角的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，无理数的估算，等腰三角形的性质，熟练掌握中心角的计算是解题的关键．4．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为 ．  【答案】【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后点的坐标即可．【详解】解：∵正六边形边长为4，中心与原点O重合，轴，∴，∴，∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，∵，∴第2023次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．（2023秋·九年级单元测试）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．【答案】(1)(2)，(3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：；（2）解：假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴；设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴；（3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则．(1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．(2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积(3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过证明可得，则． （2）通过证明可得，则．（3）通过证明可得，则【详解】（1）解：如图2，∵为正方形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．（2）如图3，∵为正六边形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为．（3）如图4，∵为正多边形的中心角，∴，，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点∴，又∵，∴，∴．∵四边形面积为，∴正多边形的面积为．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．【经典例题八 正多边形与圆中的证明】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．（1）求证：AC∥ED；（2）求证：ME＝AE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，由∠EAC的度数等于的度数的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，则 ∠EAC+∠AED＝180°，即可证明ED∥AC；（2）由∠AEB的度数等于的度数的一半，得到∠AEB=36°，则∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可证明 EA＝EM．【详解】解：∵正多边形必有外接圆，∴作出正五边形的外接⊙O，则的度数为，∵ ∠EAC的度数等于的度数的一半，∴ ∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，∴ ∠EAC+∠AED＝180°，∴ ED∥AC；（2）∵∠AEB的度数等于的度数的一半，∴∠AEB=36°，∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，∴ EA＝EM．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知等腰中，AB＝AC．（1）如图1，若为的外接圆，求证：；（2）如图2，若，，I为的内心，连接IC，过点I作交AC于点D，求ID的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1) 连接OB、OC，可得AB＝AC,利用垂直平分线的判定可得;(2) 连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H, 通过，I为的内心，可知,利用勾股定理可求,设，由，可得： ,再设，则，再求解 证明,所以设，，利用勾股定理可得答案.【详解】（1）证明：连接OB、OC，∵AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分线上∴（2）连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H          ∵，I为的内心，∴，，∴设，由可得： ∴设，则，∴解得：  即∵，平分 ∴∴设，在中，∴解得：  ∴【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的内心和外心，以及勾股定理，掌握圆的内心和外心的性质是解题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：射线求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．∵ 为⊙的直径，∴__________．∵，∴等边三角形．∴．∵点，都在⊙上，∴．（ ）（填推理的依据）∴．即为所求的三角形．【答案】（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．【详解】解：（1）补全的图形如图所示：                   （2）证明：连接．∵ 为⊙的直径，∴90．∵，∴等边三角形．∴．∵点，都在⊙上，∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）∴．即为所求的三角形．故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ．【点睛】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．4．（2021·全国·九年级假期作业）如图，正方形内接于，为任意一点，连接、．（1）求的度数．（2）如图2，过点作交于点，连接，，，求的长度．【答案】（1）45°；（2）【分析】（1）如图1中，连接OA、OD．根据∠AED＝∠AOD，只要证明∠AOD＝90°即可解决问题；（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．首先证明CE＝AF＝1，求出AC、AD，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可解决问题.【详解】（1）如图1中，连接、．四边形是正方形，，．（2）如图2中，连接，，，，作于．，，，，，，，，，，，，，，，设，在中，，，解得或（舍弃），【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2022春·云南昆明·九年级昆明市第三中学统考阶段练习）已知正方形的边长为．(1)将正方形对折，折痕为，如图①把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为．①判断的形状，并说明理由；②求的长；(2)如图②当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出面积的取值范围．【答案】(1)①是等边三角形．理由见解析；②(2)面积的取值范围是【分析】（1）①连接，根据正方形的性质和折叠的性质证明是等边三角形；（2）作正方形的外接圆，连接，，，当点由点移动到中点的过程中，点在上运动，过点作于点，，当点与点重合时，点到的距离最短，为，此时，当，，三点共线时，点到的距离最长，为，此时，进而可得面积的取值范围．【详解】（1）①结论：是等边三角形．理由：如图，连接， 正方形对折，折痕为，是的垂直平分线，，由折叠可知：，，是等边三角形，②是等边三角形，，，，；（2）如图，作正方形的外接圆，连接，，，当点由点移动到中点的过程中，点在上运动， 正方形的边长为，正方形的对角线为，，过点作于点，，当点与点重合时，点到的距离最短，为，此时，当，，三点共线时，点到的距离最长，为，此时，面积的取值范围是．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，折叠的问题，解题关键是利用图形在折叠前后对应边相等，对应角的相等的特性．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F．(1)求证：(2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．(3)探究线段、、之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC；（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝60°，即可解答；（3）延长交于点，先证明是等边三角形，然后证明即可得出结论．【详解】（1）证明：连接PE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∴∠PEB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠PEB，∵，∴∠PBD＝∠PBE，∵BP＝BP，∴△ABP≌△EBP（AAS），∴AB＝EB，∴EB＝BC；（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，∵，∴∠DEP＝∠EBP，∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB＝∠PEB＝60°，∴∠BFD的度数为60°；（3），理由如下：延长交于点，，，，是等边三角形，，在和中，，，，连接，四边形是圆的内接四边形，，，，，是等边三角形，，，即，在和中，，，，，即．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　．克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　．