人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练专题08二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】(原卷版+解析)

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专题08 二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】 【题型目录】【知识梳理】知识点：二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.知识点：二次函数与不等式【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】【例1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ）A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1【变式训练】1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ）A．2 B．－2 C．3 D．－32．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为______．  3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．  (1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】【例2】（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ）A．的解集是B．的解集是C．的解集是D．的解是或2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为______.3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：材料1．已知实数m、n满足，且，求的值．解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得，∴材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．所以方程的一个根所在的范围是．根据上述材料解决下面问题：  (1)已知实数m、n满足，，且，求的值．(2)已知实数p、q满足，，，且，求的值．(3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】【例3】（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式训练】1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（    ）①②当时，的值随值的增大而减小；③4是方程的一个根；④当时，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）．①若抛物线过，则；②若，则不等式的解为；③若，、为抛物线上两点，则时；④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方．3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．  通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)用类似的方法解一元二次不等式：．(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：  【经典例题四 抛物线交点问题的综合】【例4】（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（    ）  A． B．或C． D．或【变式训练】1．（2023·天津河东·一模）抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点都在抛物线上．(1)当时，求的值；(2)当时，求的取值范围；(3)在（1）的条件下，设抛物线与轴正半轴交于点A，与轴交于点B． 将抛物线沿着轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与轴交于C，D两点，与轴交于点E，且，． 求抛物线在的最高点的纵坐标．【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】【例5】（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ）．  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若方程两根为，，则．其中正确个数是（    ）  A．个 B．个 C．个 D．个2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于 _____．3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中， 　　(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：① 　　；② 　　．(4)关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　．【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】【例6】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ）A．1 B． C． D．2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．①若，求抛物线的解析式；②若，请直接写出m的取值范围．【重难点训练】1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且，，当时，该函数的最小值m与b的关系式是（    ）A． B． C． D．2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（     ）  A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（    ）A．或或 B．或C．或 D．或或4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（   ）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（　　）A． B． C． D．8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，若的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是（    ）A． B． C． D．  9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：则一元二次方程的解为____________．10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式的解集是__________．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为___________．12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为．若直线与图象恰好有3个交点，则___________． 13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，抛物线与y轴交于点C，与直线交于点，B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称．  (1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围．16．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图像上一对对称点，一次函数的图像过点、．  (1)直接写出点、的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)将二次函数向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；(4)根据图像求的解集．17．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．(2)若方程两实数根为，，且满足，求二次函数的图象与轴的两个交点间的距离．18．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．  (1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；(3)已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．19．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)试确定的取值范围．(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．20．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，抛物线（）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．  (1)求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；(2)当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；(3)若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且，求m的取值范围．专题08 二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】 【题型目录】【知识梳理】知识点：二次函数与一元二次方程1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.知识点：二次函数与不等式【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】【例1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ）A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1【答案】C【分析】二次函数与x轴仅有一个交点，则，与y轴交于正半轴，则，求解满足条件的m即可．【详解】二次函数与x轴仅有一个交点，则，即，解得，又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则，将1和-7代入分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7，故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴、y轴交点问题，解决题目应熟练掌握判定二次函数与x轴交点个数的方法，以及判断二次函数图象与y轴交点位置的方法．【变式训练】1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ）A．2 B．－2 C．3 D．－3【答案】C【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可求出答案．【详解】解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，则与相同，由对称轴得：，解得，当时，由函数得；由函数得则， 将，代入得：，整理得： ，∵，∴，即，∴m的最小整数值为3，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．2．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为______．  【答案】【分析】先根据抛物线的解析式求出、坐标，再利用待定系数法求出的解析式，再设，则，得出，然后利用函数的性质求出的最大值即可．【详解】解：令，则，解得：，，，令，则，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设，则，在线段上方，，，，当时，有最大值，最大值为．故答案为：4.【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一次函数，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．  (1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）求出点B的坐标，根据图象写出m的取值范围即可；（3）先求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出二次函数有最大值4，分两种情况讨论，当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，当点在对称轴的右侧，即时，分别求出m的值即可．【详解】（1）解：把，代入抛物线得：，解得：，∴抛物线解析式为．（2）解：把代入得：，解得：，，∴点B的坐标为，∴当点P在x轴上方时，m的取值范围是．（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∵，∴二次函数有最大值4，当点在对称轴的左侧或对称轴上，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，∴，解得：；当点在对称轴的右侧，即时，抛物线在点P右侧部分图象的最高点就是点P，∴，解得：，（舍去）；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】【例2】（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是．【详解】解：时，；时，，关于的方程的一个解的范围是．故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ）A．的解集是B．的解集是C．的解集是D．的解是或【答案】D【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为______.【答案】【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定y的取值范围即可求解．【详解】∵抛物线经过点，∴，解得：，∴抛物线解析式为．一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，当时，．∵方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：材料1．已知实数m、n满足，且，求的值．解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得，∴材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．所以方程的一个根所在的范围是．根据上述材料解决下面问题：  (1)已知实数m、n满足，，且，求的值．(2)已知实数p、q满足，，，且，求的值．(3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可；（2）由变形得，仿照材料1的方法，利用一元二次方程根与系数的关系进行即可；（3）考虑二次函数，由题意知当时，，即可求得m的取值范围．【详解】（1）解：由题意知m、n是方程的两实数解，∴，，∴；（2）解：由，得，由，得，且则与为方程的两实数解，∴，∴．（3）解：∵一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，∴令，∴当时，，解得，．【点睛】本题是材料问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解不等式，求代数式的值等知识，理解题中材料解决问题的方法是问题的关键．【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】【例3】（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据对称轴可判断①不正确；根据二次函数的增减性可判断②正确；由抛物线经过点和对称轴可得，结合可判断③正确；求出点的对称点为，结合图象可判断④正确．【详解】解：∵对称轴，∴，∴，故①不正确；∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点的距离，∴，故②正确；∵抛物线经过点，∴，∵，∴，∵抛物线开口向上，∴，∴，故③正确；∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∵开口向上，∴，，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（    ）①②当时，的值随值的增大而减小；③4是方程的一个根；④当时，A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为：；可得，可判①；根据函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，可得当时，的值随值的增大而减小；可得②不符合题意；由可化为，可判断③符合题意；由时，可得或，可得当时，；可得④符合题意；从而可得答案．【详解】解：当时，，则；当时，；当时，，则有，，；①，故①符合题意；②函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，∴当时，的值随值的增大而减小；故②不符合题意；③可化为，或；故③符合题意；④时，∴或，当时，；故④符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键．2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）．①若抛物线过，则；②若，则不等式的解为；③若，、为抛物线上两点，则时；④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方．【答案】①③④【分析】①由抛物线过和，则对称轴为直线，故，①对；②由得，抛物线对称轴为直线，抛物线过和，由图象得不等式的解为，②错；③设抛物线与x轴的另一个交点为，由得，，得，则对称轴在直线左边，由，可得，③对；④由得顶点坐标为，由得，，④对；【详解】解：∵抛物线经过和，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，即，故①正确；∵，∴抛物线对称轴为直线，∴抛物线经过和，∵抛物线开口向上，∴当时，抛物线的函数图象在直线的函数图象下方，即此时，故②错误；设抛物线与x轴的另一个交点为，∵抛物线开口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴抛物线对称轴在直线左边，∵，∴，故③正确；∵抛物线经过，，∴抛物线对称轴为直线，抛物线解析式为，∴顶点坐标为，∵，∴，∴，∴，∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．解：设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：．  通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．(2)用类似的方法解一元二次不等式：．(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．③结合函数图象，解决下列问题：解不等式：  【答案】(1)①，③(2)(3)①全体实数；；②见解析；③或或【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；（2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解；（3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解．【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；故答案为：①，③（2）解：，设，解得：，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示）．  由图象可知：当时函数图象位于轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：；（3）解：①自变量的取值范围是全体实数；当时，，即列表；故答案为：全体实数；；②描点，连线，函数图象如图：  ③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即．一元二次不等式的解集为：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．【经典例题四 抛物线交点问题的综合】【例4】（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（    ）  A． B．或C． D．或【答案】B【分析】先根据抛物线与直线交于点求出函数解析式，进而得出点B 坐标，分类求解确定的位置，进而求解．【详解】解：∵抛物线与直线交于点∴，解得：，即：抛物线为与直线 联立解析式得：解得或，∴点B的坐标为（﹣1，3），当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，∵，的距离为3，而、的水平距离是，若线段与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个交点，即； 当点M在点的左侧时，即时，线段与抛物线没有公共点； 当点M在点的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，当线段与抛物线只有一个公共点时， 或．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定的位置是解题的关键．【变式训练】1．（2023·天津河东·一模）抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．【详解】解：抛物线开口向下,把，代入得①，故①正确；②，故②正确；；③若方程有两个不相等的实数根，即，故③正确，即正确结论的个数是3，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】③④【分析】根据二次函数的性质逐个判断即可．【详解】令则，即该抛物线与y轴的交点坐标是；①错误；联立得：∴当时，，抛物线与直线有交点；②错误；抛物线顶点坐标为直线与坐标轴交点为∵该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界）∴解得∴③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，∵抛物线经过，且时，，∴抛物线与x轴一定有一个交点在点与之间．故④正确；综上所述，正确的有③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点都在抛物线上．(1)当时，求的值；(2)当时，求的取值范围；(3)在（1）的条件下，设抛物线与轴正半轴交于点A，与轴交于点B． 将抛物线沿着轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与轴交于C，D两点，与轴交于点E，且，． 求抛物线在的最高点的纵坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意可知点关于抛物线对称轴对称，由此利用抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）分当，即时，当，即时，两种情况根据抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大进行求解即可；（3）先求出点的坐标为，在求出抛物线H的解析式为，得到点E的坐标为，则；设，得到，，根据，推出，得到，求出点A的坐标为，得到，根据，求出或（舍去），得到，则抛物线H的解析式为，再根据二次函数的性质求出，即时，抛物线H的最高点的横坐标即可 ．【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且，∴点关于抛物线对称轴对称，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴；（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当，即时，∵，∴，∴，∴；当，即时，∵，∴，∴，∴；综上所述，；（3）解：由（1）得，抛物线G的解析式为，∴点的坐标为，∵将抛物线沿着轴向上平移个单位长度得到抛物线，∴抛物线H的解析式为，∴点E的坐标为，∴，设，∵抛物线与轴交于C，D两点，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，令，解得或，∴点A的坐标为，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴，∴∴，解得或（舍去），∴，∴抛物线H的解析式为，∵，∴，∵抛物线H的对称轴为直线，且其开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵当时，，∴抛物线在的最高点的纵坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数图象的平移，二次函数与x轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】【例5】（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ）．  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．【详解】①∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，由图象可得时，，即，而，∴．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故，故②正确；③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；④∵函数图象经过，对称轴为直线，∴二次函数必然经过点，∴时，的取值范围，故④正确；综上，②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若方程两根为，，则．其中正确个数是（    ）  A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据图像与对称轴可判定结论①；根据抛物线与轴有两个交点，可判定结论②；根据函数图像当时可判定结论③；根据抛物线的对称轴，时可判定结论④；根据函数与轴有两个交点，韦达定理的知识可判定结论⑤；由此即可求解．【详解】解：结论①，根据题意可得，，，∵抛物线的对称轴为，∴，∴，∴，故结论①正确；结论②，∵抛物线与轴有两个交点，∴，故结论②正确；结论③，∵抛物线的对称轴为，∴当时，函数值随自变量的增大而增大，∴当是，，故结论③正确；结论④，∵抛物线对称轴为，∴，当时，，故结论④正确；结论⑤若方程两根为，，则，∵抛物线与轴有两个交点，，，∴，，且，∵，∴错误，故结论⑤错误；综上所述，正确的有①②③④，个，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与系数符号的关系，对称轴的计算方法，图像与轴交点的意义，根与系数的关系等知识的综合运用是解题的关键．2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于 _____．【答案】【分析】由题意可得、是方程的两个根，则有，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．【详解】解：点和在二次函数的图象上，、是方程的两个根，，将代入，，，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中， 　　(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：① 　　；② 　　．(4)关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　．【答案】(1)0(2)见解析(3)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大(4)【分析】（1）将代入函数解析式求解．（2）通过描点，连线作图．（3）由函数图象，写出两条函数的性质即可．（4）写出函数图象与直线有4个交点时求的取值范围即可．【详解】（1）将代入得，∴，故答案为：0．（2）如图所示：（3）由函数图象知：①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大，（4）由图象可得当直线与函数的图象有4个交点时．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是画出函数图像，掌握函数与方程的关系．【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】【例6】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，∴．∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数，∴这些整数为，，0，1，2，3，4.∵，∴当时，，当时，，∴且，∴，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝6，x1x2＝，∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴36﹣4×＝16，解得，a＝，故选：D．【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．【答案】2【分析】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，则．由根与系数的关系把x₁+x₂，x₁x₂用含m的代数式表示出来，再代入上式计算，再利用配方法求出AB的最小值即可．【详解】设A(x₁，0)，B(x₂，0)，由根与系数的关系得 x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2，则===当m=2时，(m-2) ²=0此时有最小值为，∴AB的长的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，以及用配方法求二次三项式的最小值．综合运用以上知识是解题的关键．3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．①若，求抛物线的解析式；②若，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得；（2）①先求出二次函数的对称轴和点的坐标，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；②设点的坐标分别为，则是关于的一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可得，，从而可求出的值，再根据建立不等式，解不等式即可得．【详解】（1）解：，则抛物线的顶点坐标为．（2）解：①二次函数的对称轴为直线，且开口向下，当时，，，∵抛物线的开口向下，点一定都位于轴的负半轴，，，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；②设点的坐标分别为，由题意得：是关于的一元二次方程的两个根，，，，，，即，又，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．【重难点训练】1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且，，当时，该函数的最小值m与b的关系式是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线与一元二次方程的关系求出抛物线与x轴两个交点，然后求出抛物线中参数b的值，进而利用端点来求函数的最小值即可．【详解】解：∵函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，∴，又， ∴，解得或（舍去），∴，∴，则，∴该函数的对称轴为直线，又该函数的图象开口向上，，∴当时，该函数有最小值，最小值，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的综合题，主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象与性质，利用韦达定理处理根和系数之间的关系，掌握抛物线的对称轴和增减性是解题的关键．2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（     ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的旋转，找到图像的循环特征，由循环特性分别找到当、时，对应的函数值，进行判定即可．【详解】解：由已知，则抛物线的顶点为，由旋转可知，抛物线的顶点为，则抛物线解析式为：，由题意可知，题干中的复合图像，每4个单位循环一次，由可知，的函数值等于时的函数值，∴时，，由可知，的函数值等于时的函数值，∴时，，故可知，点在图像上．故选：C【点睛】本题考查了与二次函数图像的旋转有关的规律探究问题，解答关键是通过图像的旋转要找到对应的函数解析式以及图像的循环规律．3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（    ）A．或或 B．或C．或 D．或或【答案】D【分析】先分别求出一元二次方程和的根的判别式，再根据的取值范围分类讨论即可得．【详解】解：一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式，当时，解得或（不符合题意，舍去），当时，解得，①当时，则，，所以，所以；②当时，则，所以；③当时，则，所以，所以；④当时，则，所以，所以；⑤当时，则，所以；综上，或或，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，正确分情况讨论是解题关键．4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】抛物线的顶点坐标为，根据抛物线图像的性质，增减性，无理数比较大小的方法即可求解．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；抛物线与轴的交点坐标，，与轴的交点为，当时，，，点，，都在抛物线上，∴，则或，，则或，∵，∴，选项，若时，，，则，故选项错误，不符合题意；选项，若，，，则，故选项错误，不符合题意；选项，若时，，，则，故选项正确，符合题意；选项，若时，，，则，故选项错误，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质，无理数比较大小是解题的关键．5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将代入函数解析式即可判断⑤对错．【详解】解：图象开口向上，与轴交点在负半轴，，，图象对称轴在x轴负半轴， 、同号，，，①错误；对称轴为直线，，，②正确；对称轴为直线，且与的一个交点坐标为，图象与x轴的另一个交点坐标为，③正确；图象与x轴有两个交点，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，④错误；图象与x轴的两个交点为，，，，⑤正确，正确的结论有②③⑤，共3个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．6．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，顶点，由抛物线与轴交于，两点，得出抛物线开口向上，，距离对称轴越远，函数的值越大，根据，，判断，与对称轴之间的关系即可．【详解】解：抛物线，对称轴为，顶点为，抛物线与轴交于，两点，抛物线图象开口向上，，，，，即点距离对称轴更远，，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象以及性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的额性质解答．7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．【详解】解：如图，当时，，解得，，则，，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，即，当直线经过点时，，解得；当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，若的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是（    ）A． B． C． D．  【答案】A【分析】将代入可得，即；由，则；二次函数的图像的顶点在第一象限，则且，最后解不等式组即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1，∴，即，∵，∴，∵二次函数 的图像的顶点在第一象限，∴顶点坐标为 ∴且，将，代入上式得： ，解得．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：则一元二次方程的解为____________．【答案】【分析】利用时，；时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．【详解】解：对于二次函数，∵时，；时，，即方程一元二次方程的两根为，把一元二次方程看作关于的一元二次方程，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题考查通过表格确定二次函数图象与的交点坐标解一元二次方程．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和整体思想进行求解是解题的关键．10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式的解集是__________．【答案】【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标以及对应方程的实数根求得c、b，进而可求得方程的实数根，利用抛物线与x轴交点的横坐标，结合开口方向即可求解．【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，∴方程的两个实数根为和1，∴，，即，∴方程的两个实数根为和1，∴抛物线的开口向下，且与x轴交点的横坐标为和1， ∴不等式的解集是，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、解一元二次方程、二次函数与不等式的关系，能根据二次函数的图象与性质求解不等式的解集是解答的关键．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为___________．【答案】/【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得a的取值范围．【详解】∵抛物线与轴交于点，对称轴，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是，∴，∴，则．∵轴的交点在之间 （包含端点），∴， ∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点坐标与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为．若直线与图象恰好有3个交点，则___________． 【答案】1或【分析】将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，即解析式为；直线，看成直线，上下移动个单位所得，当经过点或与二次函数图象相切时，与图象恰好有3个交点，进而可求出的值．【详解】解：当时，解得：或，点的坐标为，点的坐标为，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，即解析式为；①当经过点，与图象恰好有3个交点，将代入，可得；②当直线图象与二次函数图象相切时，与图象恰好有3个交点，联立方程：，可得：，整理得：，∴，即，解得：，；综上所述，若直线与图象恰好有3个交点时，或．故答案为：1或．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，熟练掌握函数图象特点，用数形结合方法分析问题是解本题的关键，综合性较强，难度较大．13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．【答案】 或2 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；(2) 把点与点分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围．【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线得，，解得，，；故答案为：或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线；把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；把点代入解析式得，，解得，，；当时，抛物线与线段刚好有两个交点和，当时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是；故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．【答案】﹣＜a＜0或a＞1．　【分析】首先根据已知条件得到符合题意的一个一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得到a的大致范围，最后结合二次图象及方程两根小于1得到a的精确范围．【详解】解：根据题意，可得两个相异的二合点x1，x2是方程an2+n﹣1＝2﹣n的两个根，整理，得an2+2n﹣3＝0，△＞0，即4+12a＞0，解得a＞﹣．①当a＞0时，抛物线开口向上，∵x1＜x2＜1，当x＝1时，y＞0，即a+2﹣3＞0，解得a＞1．所以a＞1．②当a＜0时，抛物线开口向下，∵x1＜x2＜1，当x＝1时，y＜0，即a+2﹣3＜0，解得a＜1，所以﹣＜a＜0．综上所述：﹣＜a＜0或a＞1．故答案为﹣＜a＜0或a＞1．【点睛】本题考查二次函数、一元二次方程与一元一次不等式的综合运用，熟练掌握二次函数的图象、一元二次方程根的判别式及分类思想的运用是解题关键．15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，抛物线与y轴交于点C，与直线交于点，B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称．  (1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）由点A坐标求出抛物线解析式，从而可得点C及点B坐标，再通过待定系数法求直线解析式．（2）由图象开口方向及点A，B横坐标，利用图象法求解．【详解】（1）解：将代入得，解得，∴，令，则，∴点C坐标为，∵抛物线对称轴为直线，又∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，∴点B坐标为，将，代入得，解得，∴．（2）解：由图象可得的解集为或，∴满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围为或．【点睛】本题考查求二次函数和一次函数解析式，根据二次函数与一次函数图象交点求不等式解集，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．16．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图像上一对对称点，一次函数的图像过点、．  (1)直接写出点、的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)将二次函数向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；(4)根据图像求的解集．【答案】(1)，(2)二次函数解析式为(3)(4)或【分析】（1）由图象可得点坐标，根据抛物线的对称性可得点坐标；（2）根据待定系数法求抛物线解析式即可；（3）根据抛物线平移规律求解即可；（4）由抛物线在直线下方时的取值范围求解即可．【详解】（1）解：由图象可得点坐标为，∵抛物线经过、，∴抛物线对称轴为直线，∴点坐标为．（2）解：将、代入得，，解得：，∴二次函数的解析式为．（3）解：二次函数的图象向左平移2个单位后解析式为，再将抛物线向下移动2个单位后解析式为．（4）解：∵点坐标为，点坐标为，∴当或时，抛物线图象在直线下方，∴当或时，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．17．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．(2)若方程两实数根为，，且满足，求二次函数的图象与轴的两个交点间的距离．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根据一元二次方程有实数根知，解答即可；（2）先求出一元二次方程的两根．再根据二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标就是方程的两个根，求差的绝对值即可．【详解】（1）∵方程有实数根，∴，∴．（2）∵方程有两个实数根，∴．∵∴，∴二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为．【点睛】本题侧重考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系，掌握其关系是解决此题的关键．18．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．  (1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；(3)已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标；(2)或；(3)或．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即；②当时， ，当时，，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解．【详解】（1）∵抛物线过点,且对称轴为直线，∴∴∴；（2）由（1）知，令得，∴∴令得∴∴∴∴当直线过点C时，直线的表达式为：，该直线恰好过点B，观察函数图象知，不等式的解集为：或；  （3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：，则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即；②当时， ，当时，，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点，  当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点，故，综上，或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．19．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)试确定的取值范围．(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．【答案】(1)(2)，，；或【分析】（1）根据抛物线与轴有两个不同的交点，得方程有两个不同的实数根，根据根的判别式，即可；（2）把点代入抛物线中，求出抛物线的解析式，再根据，求出点的坐标，，求出点的坐标，即可；根据点，点的坐标，得是等腰直角三角形，得，根据为直角三角形，分类讨论：当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出，即可．【详解】（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴方程有两个不同的实数根，∴，∴．（2）点代入抛物线中，∴，∴，∴抛物线的解析式为：，当时，，∴点，当时，，，∴点；∵点，点，∴，∴是等腰直角三角形，∴，：当，，∴，，∴，∵动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，∴，，，∴，∴；当，，∴，，∴，∴，∴． 综上所述，当为直角三角形时，或．【点睛】本题考查二次函数和几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．20．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，抛物线（）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．  (1)求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；(2)当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；(3)若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且，求m的取值范围．【答案】(1)抛物线L的对称轴为直线，(2)(3)【分析】（1）根据的坐标可得抛物线对称轴，由对称轴即可得出含m的代数式表示n；（2）根据抛物线L的顶点在x轴上即抛物线与轴只有一个交点，进而得出，即可得出答案；（3）当时，抛物线开口向下，不妨设点P在点Q的左侧，结合抛物线与轴的交点可得此种情况不符合题意；当时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线．在x轴上关于抛物线的对称轴对称且距离为3的两点的坐标为、，然后根据，进而得出答案．【详解】（1）解：由抛物线解析式可得L与y轴交于点，将点A向右平移4个单位长度，得到点，∴抛物线L的对称轴为直线，即：，∴；（2）由（1）可得抛物线，当抛物线L的顶点在x轴上时，抛物线L与x轴只有一个交点，∴，解得（舍去），，∴当抛物线L的顶点在x轴上时，该抛物线的解析式为；（3）①当时，抛物线开口向下，不妨设点P在点Q的左侧，由（1）知，抛物线L与y轴的交点为．∵抛物线L的对称轴为直线，∴，．∴，∵，∴此种情况不符合题意；②当时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线．在x轴上关于抛物线的对称轴对称且距离为3的两点的坐标为、，∵．∴当时，，∴，∵抛物线与x轴有两个交点，，∴，∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 013353…401234……50010…01233003x…0135…y…77…判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 013353…401234……50010……01234……50010…01233003x…0135…y…77…