苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练 专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）（附答案）

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专题1.16 垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B.证明：∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C= P1C，∴△P1CA≌△P1CB (SAS).∴P1A= P1B.几何语言叙述：∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;∴PA=PB.【知识点2】线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 解答：点P在线段AB的垂直平分线上证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.线段垂直平分线性质的逆定理：几何语言叙述： ∵PA=PB;∴P点在AB的垂直平分线上.【知识点3】尺规作图——作线段垂直平分线如图所示，已知线段AB，作其垂直平分线步骤如下：（1）分别以AB为圆心，大于12AB为半径作弧，两弧交于点C、D，（2）作直线CD，则CD为所求 【考点一】角平分线➼➻角平分线性质证明角相等【例1】如图，在△ABC中,BC=5，AC=8,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长等于（    ）A．18 B．15 C．13 D．12【答案】C【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论．解：在中，，，是线段的垂直平分线，，的周长．故选C．【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．【举一反三】【变式】点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC (  )的交点.A．三条高 B．三条角平分线 C．三条中线 D．三边的垂直平分线【答案】D【分析】利用线段垂直平分线性质判断即可．解：因为点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选D．【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．【考点二】全等图形➼➻求正方形网格中的角度之和【例2】如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）   A．80° B．85° C．90° D．105°【答案】C【分析】根据条件求出AB=AC，转化角度即可解答.解：已知在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，故CE=CA=AB，∠ACB=∠ABC=∠CEA+∠CAE=60°，故∠CAB=60°，即∠BAE=∠CAB+∠CAE=60+30°=90°.故选C.【点拨】本题考查角度转换，关键是了解角平分线的知识.【举一反三】【变式】如图，在△ABC中，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若∠BAD=45°，则∠B的度数为（     ） A．75° B．65° C．55° D．45°【答案】A【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，所以∠DAC=∠C=30°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B=180°-75°-30°=75°．故选A．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．【考点三】全等图形➼➻把全等图形分割成几个全等图形【例3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．求证：BE＝CG；判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见分析；(2)BE+CF＞EF，见分析【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG；（2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF，（1）解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AB∥CG，∴∠B＝∠DCG，在△BDE和△CDG中，∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴BE＝CG；（2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG，∴EF＝GF，又∵△CFG中，CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键．【举一反三】【变式】如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E．若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长．【答案】(1)相等；(2)15.【分析】（1）由∠C=∠AED=90°，CD=DE，AD=AD，利用HL可以证明△ACD≌△AED，即可得到∠CAD=∠BAD；（2）由垂直平分线定理，得到AD=BD，则BC=AD+CD=10，即可得到△ACD的周长．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠C，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL）∴∠CAD=∠BAD；（2）∵AE=BE，DE⊥AB,∴DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴BC=BD+CD=AD+CD=10，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及垂直平分线定理，解题的关键是掌握垂直平分线定理.【考点四】全等三角形➼➻全等三角形的概念【例4】在中，.BD平分交AC于点D，又交延长线BD于点E.求证： 【分析】延长AE、BC交于点F，证明△AFC≌△BDC，所以AF=BD，再证明△ABE≌△FBE，可得AE=EF，从而可得BD=2AE.解： 证明：延长AE、BC交于点F，∵∠AED=∠ACB=90°，∴∠EDA=∠CDB，∵∠FAC=∠DBC，在△AFC和△DBC中， ∴△AFC≌△BDC（ASA），∴AF=BD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE与△FBE中， ∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE=EF，∴BD=AF=2AE.【点拨】本题考查了中垂线的性质，三角形全等的判定，解题的关键是判定三角形全等，从而找出对应边相等，即可得解.【举一反三】【变式1】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．已知：在中，，．作边上的高，作的平分线，与相交于点．求所作图形中的度数．【答案】(1)见分析；(2)【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点；（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果．解：（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线． （2），，，，是的角平分线，，线段是边上的高，，，，．【点拨】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．【变式2】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为___________． 【答案】/35度【分析】连接，则垂直平分，可得，再证明，即可得到．解：连接， ，，是的垂直平分线，，在和中，，故答案为：．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到是的垂直平分线再想到证明是解题的关键．【考点五】全等三角形➼➻全等三角形的性质【例5】如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度．   【答案】108【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：如图，连接OB、OC，  ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，故答案为108．【点拨】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【举一反三】【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝6，则BC的长为_____． 【答案】4．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，设BC=x，可知AB=2BC=2x，再由作法可知BC=CD=x，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD=AD=x，由AF=6，进而可得出结论．解：连接CD， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，设BC＝x，∴AB＝2BC＝2x．∵作法可知BC＝CD＝x，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD＝AD＝x，∴BF＝DF＝x，∴AF＝AD+DF＝x+x＝6．解得：x＝4．故答案为4【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．【变式2】如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是______． 【答案】①②【分析】①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题；②结合①利用HL证明；③连接MD，根据MA≠MD≠MB,即可得MB不平分；④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，据此解题．解：①是的垂直平分线上的点，故①正确；②在与中，故②正确；③如图，连接MD为的中点，不平分，故③错误； ④故④错误，综上所述，正确的是①②故答案为：①②．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．