苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练 专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）（附答案）

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专题2.7 角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】角的平分线的性质　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.特别提醒：（1）用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF; “点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 【知识点二】角的平分线的判定　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.特别提醒：（1）用符号语言表示角的平分线的判定：（2）若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB；“点到角两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度；角平分线的性质与判定是互逆的. 【知识点三】角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.　　（3）画射线OC.射线OC即为所求.【考点一】角平分线的性质定理【例1】如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．求证：； (2) 若，，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析 (2)10【分析】（1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证；（2）证明，可得，根据计算求解即可．（1）证明：（1）∵，∴，又∵BD是的平分线，，∴，，在和中，∵，∴，∴．（2）解：由（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵BD是的平分线，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴AB的长为10．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．【举一反三】【变式1】如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ） A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形的面积 故选B.【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长． 【答案】（1）见解析； （2）【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴，∵AB+AC＝10，∴DE＝3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．【考点二】角平分线的判定定理【例2】如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．解：如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点拨】考察了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．【举一反三】【变式1】点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（    ）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】A【分析】连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图， ∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，可得Rt△ONB≌Rt△OMB，∴∠OBN=∠OBM，∴BO是∠ABC的角平分线，同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：A．【点拨】此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．【变式2】如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． EC＝BF； (2) EC⊥BF； (3) 连接AM，求证：AM平分∠EMF．【分析】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD＝90°，从而得证．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；解：（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）根据（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： ∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．【考点三】角平分线性质定理与判定定理的综合【例3】如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． 若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；求证：点在的平分线上．【答案】(1) 5cm； (2) 见解析．【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．（1）解：过点作于，点在的平分线，，，cm，即点到直线的距离为；（2）证明：点在的平分线，，，，同理：，，，，点在的平分线上．【点拨】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键．【举一反三】【变式1】如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．平分 C． D．垂直平分【答案】D【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．解：对A、B、C选项，∵平分，，，∴，∵在和中，∴，∴，，∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；D．∵，，∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．【变式2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．求证： (1) AD平分∠BAC； (2) AC=AB+2BE.【分析】(1) 先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证；(2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，     ∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE与Rt△CDE中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE=DF， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE=AF， ∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．【点拨】本题主要考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点四】角平分线应用【例4】如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程） 【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案． 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，作∠MON的平分线OQ，OQ交直线l于P， P点即为所求．【点拨】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．【举一反三】【变式1】如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（   ） A．：： B．：：C．：： D．：：【答案】C【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，依据三角形面积公式求比值即可得．解：过点作于，于，于， 点是三条角平分线交点，，：：：：，故选：C．【点拨】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键．【变式2】如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： 直线是线段的________线，射线是的________线；求的度数．【答案】(1)线段垂直平分；角平分 (2)23°【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；（1）解：根据作图痕迹可知，直线是线段的线段垂直平分线；射线是的角平分线；（2）∵垂直平分∴∴∵∴∴∵平分∴【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．【考点五】角平分线与垂直平分线作图题【例4】如图，已知是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作的角平分线即可．解：如图，射线即为所求作． 【点拨】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．【举一反三】【变式1】如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B．C． D．【答案】B【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．解：根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，，，，综上，正确的是A、C、D选项，故选：B．【点拨】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】．如图，已知中，.请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE.（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：.请完成下面的证明过程：证明：∵AD平分，∴______，在与中∴，∴______，，AE=AC，∵______，且，∴，∴，∴______，∵，∴.【答案】(1)见详解； (2)∠DAE，∠AED，∠B，CD【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；（2）先证明，再结合∠B，且，即可得到结论．（1）解：如图所示即为所求； （2）证明：∵AD平分，∴∠DAE，在与中，∴，∴∠AED，，AE=AC，∵∠B，且，∴，∴，∴CD，∵，∴．故答案是：∠DAE，∠AED，∠B，CD．【点拨】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．