苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练 专题2.19 等边三角形的轴对称性（直通中考）（附答案）

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专题2.19 等边三角形的轴对称性（直通中考）【要点回顾】【知识点一】等边三角形的定义三边都相等的三角形叫等边三角形.　　【知识点二】等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.【知识点三】等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识点三】含30°的直角三角形在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　一、单选题1．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）    A． B． C． D．2．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（    ）A． B． C．或 D．或3．（2023·河北·统考中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）  A． B． C． D．4．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，为等边三角形，，则等于（    ）A． B． C． D．5．（2021·福建·统考中考真题）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（    ）A． B． C． D．6．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（  ） A．1 B． C． D．7．（2018·福建·中考真题）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60°8．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）   A． B． C． D．9．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ） A． B． C． D．10．（2017·湖南常德·中考真题）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ．二、填空题11．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为 ．12．（2020·辽宁·中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是 ． 13．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 14．（2020·江苏常州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则 °． 15．（2016·广西贺州·中考真题）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为 ．16．（2013·广西贵港·中考真题）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．17．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．   三、解答题18．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．  20．（2021·湖北·统考中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当时，作的中线；（2）如图2，当时，作的中线．21．（2012·贵州遵义·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．22．（2020·四川凉山·统考中考真题）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．  （1）如图1，连接AQ、CP求证：（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．23．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．24．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.（1）问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2参考答案1．B【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，作于点D，  中,，，，，，故选B．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．2．C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，  ∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，  ∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．3．C【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得．【详解】如图，∵∴∵∴∵∴∵∴    故选：C．  【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．4．C【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：为等边三角形，，，，，，，解得，故选：C．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．5．C【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．【详解】∵是正五边形，∴∠ABC==108°，AB=BC，∵为等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC==66°，∴=∠AFB+∠BFC=126°，故选：C．【点拨】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．6．D【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．【点拨】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．7．A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故选A．【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．8．C【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．9．A【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，∵，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．10．0＜CD≤5．【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：（1）当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立，(2)当点D与点A重合时，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=CB，∴CD= BE=5，∴0＜CD≤5，故答案为：0＜CD≤5．【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．11．102°【分析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】三角形ABC为等边三角形故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．12．66°【分析】由是正五边形可得AB=AE以及∠EAB的度数，由△ABF是等边三角形可得AB=AF以及∠FAB的度数，进而可得AE=AF以及∠EAF的度数，进一步即可根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出答案．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴AB=AE，∠EAB=108°，∵△ABF是等边三角形，∴AB=AF，∠FAB=60°，∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，∴∠EFA=．故答案为：66°．【点拨】本题考查了正多边形的内角问题、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．12【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6