苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练 专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）（附答案）

这是一份苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练 专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）（附答案），共12页。

专题2.20 轴对称的最值问题（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】垂直线段最短问题；【知识点二】将军饮马问题；【知识点三】造桥选址问题．【考点一】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．【例1】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为5，故选D．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．【举一反三】【变式】如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是 ． 【答案】【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是锐角三角形∴R必在AC上∵N关于AD的对称点是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.【考点二】垂线段最短问题➼➻➸动点所在的直线隐藏型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短．【例2】通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．  【答案】9.5【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值．【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，    则，，，，，，∵，∴，∴，∵为的中点，，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，又，当D，M，N，E共线时，，∴的最大值为9.5．故答案为：9.5．【点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．【举一反三】【变式】小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 ．【答案】7【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值．解： ∵，点E为AB的中点，∴，∵，∴，∵将和分别沿CE、DE翻折得到和，∴，，，，，，∴，，∴是等边三角形，∴，∵∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即，【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．【考点三】将军饮马问题➼➻➸两定一动型方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．【例3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．【答案】15【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．解：如图，连接PC．∵EF垂直平分线段BC，∴PB=PC，∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，∴PA+PB的最小值为9，∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，故答案为：15． 【点拨】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．【举一反三】【变式】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是 cm． 【答案】12【分析】当点与重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长．解：∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴的周长为：，∵是垂直平分线，∴，又∵，∴，∴，故答案为：12． 【点拨】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．【考点三】将军饮马问题➼➻➸一定两动型方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．【例4】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为 .【答案】3【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．【举一反三】【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 【答案】【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．【知识点四】造桥选址问题．方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．【例4】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1）见解析； (2) 4； (3) 4【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．