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    云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷

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    云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷

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    这是一份云南省祥云县第一中学2024-2025学年高三上学期开学见面考数学试卷,共13页。试卷主要包含了已知,则在上的投影向量为,关于函数,下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
    本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷第1页至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
    第I卷(选择题,共58分)
    注意事项:
    1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
    2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    2.已知复数满足,为虚数单位,则复数的共轭复数( )
    A. B.
    C. D.
    3.已知双曲线的左、右焦点依次为,且,若点在双曲线的右支上,则( )
    A. B.6 C.8 D.10
    4.已知,则在上的投影向量为( )
    A. B. C. D.
    5.从甲队30人、乙队20人中,按照分层抽样的方法从两队共抽取10人,进行一轮答题.相关统计情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4,则这10人答对题目的方差为( )
    A.0.8
    6.已知,直线过函数图象的对称中心,则的最小值为( )
    A.9 B.8 C.6 D.5
    7.如图甲,一个长为、宽为2的长方形,取这个长方形的四条边的中点依次为,依次沿折叠,使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体,称为“萨默维尔四面体”,如图乙,则这个四面体的体积为( )
    A. B. C.1 D.2
    8.设函数若存在最小值,则的最大值为( )
    A.1 B. C. D.
    二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
    9.关于函数,下列说法正确的是( )
    A.最小正周期为 B.关于点中心对称
    C.最大值为 D.在区间上单调递减
    10.已知函数,则( )
    A.在上单调递增 B.是的零点
    C.的极小值为0 D.是奇函数
    11.抛物线的焦点为,经过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点,分别过点、点作抛物线的切线,两切线相交于点,则( )
    A.当时,
    B.面积的最小值为2
    C.点在一条定直线上
    D.设直线的倾斜角为为定值
    第Ⅱ卷(非选择题,共92分)
    注意事项:
    第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.
    三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
    12.已知数列为等差数列,构成等比数列,则的值是__________.(任写出一个即可)
    13.已知,且,则__________.
    14.已知为中不同数字的种类,如与视为不同的排列,则的不同排列有__________个(用数字作答);所有的排列所得的平均值为__________.(第一空2分,第二空3分)
    四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    15.(本小题满分13分)
    在中,角的对边分别为.
    (1)求角;
    (2)若的面积为边上的高为1,求的周长.
    16.(本小题满分15分)
    已知函数.
    (1)当时,求在处的切线方程;
    (2)当时,求的极值.
    17.(本小题满分15分)
    如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,平面平面分别为的中点,且在棱上,满足.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值.
    18.(本小题满分17分)
    甲、乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下:两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分,然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为.
    (1)求;
    (2)当时,求甲得分的分布列及数学期望.
    19.(本小题满分17分)
    已知椭圆的左焦点为,且点在椭圆上.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)已知,点为椭圆上一点.
    (i)若点在第一象限内,延长线交轴于点与的面积之比为,求点坐标;
    (ii)设直线与椭圆的另一个交点为点,直线与椭圆的另一个交点为点.设,求证:当点在椭圆上运动时,为定值.
    祥云县第一中学2025届高三年级上学期见面考
    数学参考答案
    第I卷(选择题,共58分)
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
    【解析】
    1.因为,所以,故选A.
    2.因为,所以,故选D.
    3.由题意得的方程为,点在双曲线的右支上,由双曲线的定义得,故选B.
    4.由,得,又,所以,所以在上的投影向量为,故选B.
    5.由分层抽样的定义可知,甲队抽取人,乙队抽取人,所以这10人答对题目的平均数为,所以这10人答对题目的方差为,故选C.
    6.因为为奇函数,所以函数图象关于中心对称,函数图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位可得函数的图象,所以的对称中心为,所以,所以,当且仅当,
    即时,等号成立,所以的最小值为9,故选A.
    7.如图,设折叠后的中点为,则
    根据折叠前后关系可得,

    平面,又易知,

    为直角三角形,所求四面体的体积为,故选B.
    8.当时,在上单调递增,此时无最小值,不合题意;当时,
    当时,;又时,存
    在最小值0,满足题意;当时,在上单调递减,在上单调递增,若存在最小值,则,解得;当时,在上单调递减,在上单调递增,若存在最小值,则,不等式无解;综上所述,实数的取值范围为,则的最大值为1,故选A.
    二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
    【解析】
    9.因为.对于A,
    的最小正周期为,故A错误;对于B,,故B正确;对于C,的最大值为,故C正确;对于D,,,则在区间上单调递增,故D错误,故选BC.
    10.由题意得的定义域为,当时,单
    调递增,当时,单调递减,所以的极小值为,故A错误,C正确;因为,所以是的零点,故B正确;因为的定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,故D错误,故选BC.
    11.易知抛物线的方程为,直线的方程为,将代入,整理得,设,则,所以,由,得,所以,所以或,所以A不正确;因为,当且仅当时,的面积有最小值2,故B正确;抛物线的方程为,求导得,切线的方程为,切线的方程为,联立可得点的坐标为,故点在一条定直线上,所以C正确;当时,显然;当时,因为,所以,这说明直线与直线互相垂直,所以,所以D正确,故选BCD.
    第II卷(非选择题,共92分)
    三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
    【解析】
    12.设等差数列的公差为,因为构成等比数列,所以,即,解得或,当时,,所以;当时,,所以.
    13.由,得,即,又,所以,从而.
    14.由题意可知,的不同排列有个;当时,,当时,,当时,,当时,,综上所述,所有的256个的排列所得的的平均值为:.
    四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    15.(本小题满分13分)
    解:(1)因为
    由正弦定理,得,

    因为在中,,所以,
    又因为,所以.
    (2)因为的面积为边上的高为1,
    所以,得,
    即,所以.
    由余弦定理,得
    即,化简得
    所以,即,
    所以的周长为.
    16.(本小题满分15分)
    解:(1)由得,,


    又,
    在处的切线方程为.
    (2)由得,可知函数的定义域为,

    设,
    在上单调递减,
    当时,,此时,
    故在上单调递增;
    当时,,此时,
    故在上单调递减,
    又,
    在处有极大值,函数无极小值.
    17.(本小题满分15分)
    (1)证明:在中,因为分别为的中点,,
    所以为的重心,所以,
    又,所以.
    平面平面,
    平面.
    (2)解:因为平面平面,平面平面平面,
    所以平面,
    连接,则,以为正交基底,
    建立如图所示的空间直角坐标系,
    不妨设,则,

    所以,
    设平面的一个法向量为,
    则取,则,
    所以平面的一个法向量为,
    所以,
    所以直线与平面所成角的正弦值为
    18.(本小题满分17分)
    解:(1)记“第次答题时为甲”,“甲积1分”,
    则,

    所以,
    则,解得.
    (2)由题意可知当时,可能的取值为,
    则由(1)可知:,

    的分布列为:
    随机变量的数学期望为.
    19.(本小题满分17分)
    (1)解:由题意知,
    解得,
    所以椭圆的方程为.
    (2)(i)解:由题意知,直线的斜率一定存在,如图,
    设其方程为,
    令,则,即,
    设点到直线的距离为,
    因为是的中点,所以点到直线的距离为,
    又与的面积之比为,
    所以,所以,即点是的中点,
    所以,
    因为点在椭圆上,
    所以,
    解得(舍正),
    所以.
    (ii)证明:设,
    直线的方程为,其中,
    联立得,
    所以,
    因为,所以,所以,
    所以,
    设直线的方程为,其中,
    同理可得,,
    所以
    ,为定值.题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    A
    D
    B
    B
    C
    A
    B
    A
    题号
    9
    10
    11
    答案
    BC
    BC
    BCD
    题号
    12
    13
    14
    答案
    1或(任写一个即正确)
    3

    0
    1
    2

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