吉林省白城市通榆县毓才高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学（理科）试卷

这是一份吉林省白城市通榆县毓才高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学（理科）试卷，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，函数的大致图象为，已知正数满足，则的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合，常用逻辑用语，不等式，函数，导数，任意角和孤度制､三角函数概念､同角三角函数关系及诱导公式.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
2.已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3.若角的终边上有一点，且，则（ ）
A.4 B. C. D.
4.设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
A.随机变量的均值为8 B.随机变量的方差为16
C. D.
10.现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A.不同安排方案的种数为
B.若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C.若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D.若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
11.已知点是函数图象上两点，则（ ）
A.对任意点，存在无数个点，使得曲线在点处的切线倾斜角相等
B.若存在点，使得曲线在点处的切线垂直，则
C.若对于任意点，直线的斜率恒小于1，则的取值范围是）
D.若且曲线在点处的切线都过原点，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中，项的系数为__________.
13.设，则__________.
14.函数是数学中重要的概念之一，1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用functin这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将functin译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.已知对任意的整数均有，且，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数，若函数的图象上任意一点关于原点对称的点都在函数的图象上.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业.某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工万件玩具，需要流动成本万元.当年加工量不足15万件时，；当年加工量不低于15万件时，.通过市场分析，加工后的玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购.
（1）求年利润关于年加工量的解析式；（年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本）
（2）当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据：）
18.（本小题满分17分）
科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
（2）求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
19.（本小题满分17分）
定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ii）对于（i）中的正数，证明：.
通榆县毓才高级中学高三年级第一次月考试题·数学（理科）
参考答案､提示及评分细则
1.D 因为集合，所以或，所以或.故选D.
2.D 设扇形的半径为，又圆心角为3rad，所以扇形的周长，解得，所以扇形的面积.故选D.
3.C 由已知，得，解得.故选C.
4.C 当时，，所以成立，所以“（”是“”的充分条件；当时，（），所以“”不是“”的必要条件.故选C.
5.A 记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换，则，由条件概率公式可得.故选A.
6.B 的定义域为，且，所以为奇函数，排除A，C；当时，，则，当时，，所以在区间上单调递增，排除D.故选B.
7.B 由题意知，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以解得，即的取值范围是.故选B.
8.A 因为，所以，又，所以，所以，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以.故选A.
9.ACD 随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值为8，故A正确；随机变量的方差为256，标准差为16，故B错误；由正态分布的对称性知，，故C正确；由正态分布的对称性知，，所以，故D正确.故选ACD.
10.BD 若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则不同安排方案的种数为，故B正确；先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况，则不同安排方案的种数是，故C错误；第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，再将剩下的3人安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确.故选BD.
11.ABD 设，对于A，因为，要使，则的值有无数个，A正确；对于B，存在点，使得曲线在点处的切线垂直，即存在，使得，因为，所以，B正确；对于C，对于任意点，直线的斜率恒小于1，则，即，所以在上是减函数，所以，C错误；对于D，曲线在点处的切线都过原点，则，整理得，同理可得，所以，D正确.故选ABD.
12.135 展开式的通项公式，令，解得，所以项的系数为.
13. 因为，所以，所以.
14.2048285 在中，令，得，于是.在中，令，得.在中，令，得.，，上述等式左､右两边分别相加，得.
13.解：（1）因为，所以，
所以，即.
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）由解得，
所以；
所以.
16.解：（1）设为图象上任意一点，则是点关于原点的对称点，
因为在的图象上，所以，
即.故.
（2），即.
设，易知在上是增函数，所以，可得.
故实数的取值范围是.
17.解：（1）当时，，
当时，.
所以
（2）当时，，
所以在上单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当，即时取得等号.
因为，所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元.
18.解：（1）的所有可能取值为，
所以，
，
的分布列为：
所以.
（2）记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，
所以，
，
所以，
即甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.
19.（1）解：，
当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得，故函数在上单调递
减，在上单调递增.
（2）证明：（i）令，得，得，
设，则，设，则.
当时，单调递减.
即在上单调递减，且，
故，使得.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
因为，
所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点，
即函数与在上存在“单交点”.
（ii）因为，所以要证，即证，
即证，只需证.
因为，得，
所以只需证即可.
令，则.
当时，单调递增；当时，单调递减，
故，即，原不等式即证.0
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