新人教版高中数学A版必修一第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷

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第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．2．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．3．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．，若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为（ ）①；②，其中为自然对数的底数；③函数恰有三个零点.A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．若不等式恒成立，则实数的范围是（ ）A． B． C． D．.6．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．7．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．已知函数，若，则（ ）A． B．C． D．10．已知函数，，若，则（ ）A．B．C．D．11．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）A． B． C． D．12．已知函数，则（ ）A．对任意的，函数都有零点.B．当时，对，都有成立.C．当时，方程有4个不同的实数根.D．当时，方程有2个不同的实数根.三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知关于的方程有解，则实数的取值范围是___________．14．已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.15．设函数，若存在实数､，使在上的值域为，则实数的取值范围是___________.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．18．设非空实数集中存在最大元素和最小元素，记.（1）已知，，且，求实数.（2）设，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在说明理由.（3）设，函数在区间上值域记为，若对任意，函数都满足，求的取值范围.19．对于定义在D上的函数，若对任意，不等式对一切恒成立，则称函数是“A控制函数”．（1）当，判断、是否是“A控制函数"；（2）当，，，若函数是“A控制函数”，求正数m的取值范围；（3）当，，D为整数集，若函数是“A控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t的值．20．已知函数．（1）在内，求函数的值域；（2）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．21．已知二次函数满足对任意，都有；；的图象与轴的两个交点之间的距离为.（1）求的解析式；（2）记，（i）若为单调函数，求的取值范围；（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.22．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数．例如：就是函数．（1）下列函数：①，②，③中，哪些是函数（只需写出判断结果）？（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论．（3）证明：对于任意实数a，b，函数都不是函数．（注：“”表示不超过x的最大整数）参考答案1．C【解析】当时，的值域为当时，的值域为所以的值域记为若存在实数，使，即，即,解得的取值范围为故答案为：C2．B【解析】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 故选：B3．A【解析】由分段函数知：时且递减；时且递增；时，且递减；时，且递增；∴的图象如下：有四个实数根，，，且，由图知：时有四个实数根，且，又，由对数函数的性质：，可得，∴令，且，由在上单增，可知，所以故选：A4．D【解析】解：函数的图像如图：，即直线与函数图像有4个交点，故，①正确；，不妨设，则必有， ，，则，且，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，，，②正确；函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，如图当时，函数与的图像有3个交点，当时，研究与是否相切即可，，令，则，则切点为，此时切线方程为，即，所以与图像相切，此时函数与的图像有3个交点，因为，故函数与的图像恒有3个交点，即函数恰有三个零点，③正确.故选：D.5．D【解析】题设不等式化为，即，，，易知是减函数，时，，所以由不等式上恒成立得.故选：D.6．D【解析】解：当时，令，则，因为在为增函数，所以当该方程在时无实数根时，，解得，①当时，时，有一个解，所以时，有一个解，即二次函数在时有1个解，且设为，则，而对称轴为，由于，所以，即在对称轴左侧，且二次函数开口向上，所以当时，函数是递减的，所以当时，，解得：，又因为，所以当时有一个解，所以成立；②当时，在时无解，而在时有两个解，所以时成立；③当时，在时无解，当时，，所以方程要在时有两个解，所以，解得或，因为，所以，设方程的两个解分别为，则，所以当时，，所以，所以，综上得：或，即实数的取值范围是.故选：D.7．C【解析】由图象知：在、上是减函数，在、上是增函数，且，.，，，互不相等，且，不妨设，则，由，得，，即，又，得，，令，由对勾函数的单调性可知：在上单调递增，∴，故选：.8．A【解析】由题设，当时，当时，当且仅当时等号成立，故，且上递增，上递减，当时单调递增，且，综上可得，如下函数图象：∴要使有三个不同的零点，则，由图知：有，当时令，则，有，，∴且，而在上递减，∴.故选：A9．AC【解析】A选项：成立，A选项正确；B选项：，，B选项错误；C选项：由，故在上单调递增，假设，则，故，即，C选项正确；D选项：，又，由基本不等式可知，且当时，当时，故当时，原式，即成立，当时，原式，即，故D选项错误；故选：AC.10．AC【解析】解：对选项A：因为，所以，故选项A正确；对选项B：因为，所以，故选项B错误；对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，不妨设，则，所以，即，故选项C正确；对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，又，所以由凹凸性有，所以有，即，即，故选项D错误；故选：AC.11．AB【解析】由已知，，即．则关于x的方程有正实根，所以．因为，则，所以．设，则二次函数的关于直线对称，且，．若是的一个较小零点，则，即；若是的一个较大零点，则，即.故选：AB．12．AC【解析】当时，；当时，；所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，时，函数只有个零点，故A正确；当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；当时，令，由得或，作出函数的图象如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；所以方程有4个不同的实数根，故C正确；当时，方程，则，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误．故选：AC13．或【解析】解：由题知，有解①当时，即化简得有解即整理得：无解②当时，即化简得解得即解得：或者③当时，即化简得：有解即化简得：无解综上，实数的取值范围为：或故答案为：或.14．【解析】由不等式可知，在上单调递增，又因为在上单调递减，则在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得．故答案为：15．【解析】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，∴，易知：，∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，∴对于，有，可得，∴综上，.故答案为：16．【解析】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，①当时，，此时，，解得，②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：17．（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6（2）18．（1）.（2）存在，.（3）.19．（1）是，不是（2）（3）1,3,520．（1）（2）（3）解：，由对勾函数的单调性可知，在上，单调递减，在上，单调递增．最小值为0，最大值为，则函数的值域为．（2）解：设，不等式可化为：问题等价于在时恒成立；即：＝在时恒成立，而此时，则的最小值为0，所以.（3）解：令，作出函数的图象，如图，由图象知时，有两解，时，有一解． 方程有三个不同的实数解关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1； 可化为：化简得：， 若方程有一根为1，则，此时方程为，方程有两个相等实根1，不合题意，因此它的两根分别介于和，只要，∴．21．（1）；（2）（i）；（ii）或.【解析】（1）设由题意知：对称轴，，又，则，，设的两根为，，则，，由已知：，解得.（2）（i），其对称轴为为单调函数，或，解得或.的取值范围是.（ii），，对称轴.①当，即时，在区间单调递增，.②当，即时，在区间单调递减，③当，即时，，函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示①当时，，或，解得或，有个零点；②当时，有唯一解，解得，有个零点；③当时，有两个不同解，，解得或，有4个零点；④当时，，，解得，有个零点；⑤当时，无解，无零点综上：当或时，有个零点.22．（1）只有是函数；（2）函数是函数；证明见解析 ；（3） 证明见解析．【解析】（1）解：只有是函数（2）解：函数是函数．证明如下：显然，，．不妨设，，由，可得，即，因为，恒有成立，所以一定存在，满足，所以设，总存在，满足，所以函数是函数．（3）证明：当时，有，所以函数都不是函数．当时，①若，有，所以函数都不是函数．②若，得，所以，都有，所以函数都不是函数．③若，令，则，所以一定存在正整数k，使得，所以，，使得，所以．又因为当时，，所以；当时，，所以，所以，都有，所以函数都不是函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数都不是函数．